2021-2022学年重庆市长寿中学校高二下学期第一学段考数学试题（解析版）

2021-2022学年重庆市长寿中学校高二下学期第一学段考数学试题

一、单选题

1．已知曲线在点处的切线与直线平行，则实数的值为（       ）

A． B． C．2 D．

【答案】D

【分析】先求导，进而求出，利用切线与直线平行即可求出.

【详解】由题意可得，

∴所求曲线在点处的切线的斜率为，又切线与直线平行，

∴.

故选：D.

2．高二年级要从3名男生，2名女生中选派3人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案有（       ）

A．6种 B．7种 C．8种 D．9种

【答案】D

【分析】根据题意分三人中有一名女生和两名女生讨论即可得答案.

【详解】解：因为选派的3人中至少有1名女生，且总共有2名女生，

所以当选派的3人中有1名女生时，有种方案，

当选派的3人中有2名女生时，有种方案，

所以根据分类加法计数原理得共有：种不同的选派方案.

故选：D.

【点睛】本题考查分类加法计数原理和组合问题，是基础题.

3．已知函数的导函数为，且，则（       ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】B

【分析】根据题意求出导函数，令x=1，即可得解.

【详解】由题：函数的导函数为，且，

所以，

令，

解得.

故选：B

【点睛】此题考查根据导函数求参数的取值，关键在于熟练掌握导函数的公式和求导法则，根据法则进行计算求解.

4．设是可导函数，且，则（       ）

A． B． C．0 D．

【答案】B

【分析】根据导数的定义计算即可得出答案.

【详解】解：∵，

∴.

故选：B.

5．的展开式中的系数为（       ）

A． B． C．3 D．6

【答案】B

【分析】首先写出的二项展开式的通项公式，再进行整理化简，因为要求的是的系数，所以可得，进而可得结果.

【详解】的第项为：，

由得，

∴的展开式中的系数为.

故选：B.

6．若在上可导且，其导函数满足，则的解集是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先构造函数，由确定单调递减，

从而得到的解集，即为的解集.

【详解】设，则，

因为，所以在上恒成立，所以单调递减，

又得，由等价于，

所以，即的解集是.

故选：C.

7．某台晚会有ABCDEF这6个节目，其中A与C相邻且A排在C的前面，B与D不相邻且均不排在最后，则6个节目的不同排法有（       ）

A．72 B．48 C．36 D．24

【答案】C

【分析】先将与捆绑和排列，再将插空排列，即得解.

【详解】解：先将与捆绑在一起和另外两个确定的节目进行全排列，有种排法，

再将与插排在3个空里（最后1个空不排），有种排法，

由乘法分步原理得6个节目的不同排法有.

故选：C.

8．若，恒成立，则整数k的最大值为

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【分析】恒成立，即恒成立, 即的最小值大于k,再通过,二次求导可求得.

【详解】恒成立，即恒成立，即的最小值大于k，，令，则，∴在上单调递增，又，，∴存在唯一实根a，且满足，．当时，，；当时，，，∴，故整数k的最大值为3．故选C．

【点睛】本题考查了转化思想,构造法,以及不等式恒成立和利用导数求函数的最值,属难题.

二、多选题

9．函数的导函数的图象如图所示，给出下列命题，以下正确的命题（       ）

A．是函数的极值点

B．是函数的最小值点

C．在区间上单调递增

D．在处切线的斜率小于零

【答案】AC

【分析】根据导函数的图象判断出的单调性、极值点、最值点、切线的斜率，由此判断出命题错误的选项.

【详解】根据导函数图象可知当x∈（﹣∞,﹣3）时，，在时，，

∴函数y＝f（x）在（﹣∞,﹣3）上单调递减，在上单调递增，故C正确；

则﹣3是函数y＝f（x）的极小值点，故A正确；

∵在上单调递增，∴﹣1不是函数y＝f（x）的最小值点，故B不正确；

∵函数y＝f（x）在x＝0处的导数大于0，∴切线的斜率大于零，故D不正确；

故选：AC

10．关于的二项展开式中，下列说法正确的是（       ）

A．常数项为 B．各项系数和为

C．二项式系数和为64 D．项的系数为

【答案】AC

【分析】利用二项式的通项公式和赋值法求解判断.

【详解】的展开式的通项，

令，可得，所以，A正确；

令，得，即各项系数和为，B错误；

二项式系数和为，C正确；

令，得，故二项展开式中不存在项，D错误，

故选：AC.

11．已知函数的导函数的两个零点为1，2，则下列结论正确的有（       ）

A．abc＜0 B．在区间[0，3]的最大值为0

C．只有一个零点 D．的极大值是正数

【答案】BC

【解析】求导，根据的两个零点为1，2，由，，求得，，再逐项验证.

【详解】因为，且，，所以，化简得，解得，，因为，所以，所以abc>0，故A错误；

由，可知为开口向下的二次函数，且零点为1，2，则当时，，当时，，即在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，所以x=1为极小值点，x=2为极大值点，则的极大值为，故D错误；

由函数的单调性可知，函数在单调递减，在上单调递增，在上单调递减，且，，所以在区间[0，3]的最大值为0，故选项B正确；

函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，且，，，所以只有一个零点0，故C正确；

故选：BC.

12．为了提高教学质量，省教育局派5位教研员去某地重点高中进行教学调研，现知该地有3所重点高中，则下列说法正确的有（       ）

A．每个教研员只能去1所学校调研，则不同的调研方案有243种

B．若每所重点高中至少去一位教研员，则不同的调研安排方案有150种

C．若每所重点高中至少去一位教研员，则不同的调研安排方案有300种

D．若每所重点高中至少去一位教研员，且甲､乙两位教研员不去同一所高中则不同的调研安排方案有有114种

【答案】ABD

【分析】利用乘法原理计算判定A；利用分组除序法计算判定BC；先利用捆绑法和分组除序法求得甲､乙两位教研员去同一所高中的排法种数，然后根据B的正确结果从反面得到D的正确结果.

【详解】对于A选项，每位教研员有三所学校可以选择，

故不同的调研安排有种，故A正确；

对于B，C选项，若每所重点高中至少去一位教研员，则可先将五位教研员分组，再分配，五位教研员的分组形式有两种：3，1，1；2，2，1，

分别有，种分组方法，

则不同的调研安排有种，故B正确，C错误；

对于D选项，将甲､乙两位教研员看成一人，则每所重点高中至少去一位教研员，且甲､乙两位教研员去同一所高中的排法有种，

则甲､乙两位教研员不去同一所高中的排法有种，D正确.

故选：ABD.

三、填空题

13．用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成没有重复数字的三位奇数的个数为__________（用数字作答）

【答案】

【分析】通过先分析个位数字的可能，再排列十位和千位即得答案.

【详解】根据题意，个位数字是1,3,5共有3种可能，由于还剩下4个数字，排列两个位置

故可以组成没有重复数字的三位奇数的个数为,故答案为36.

【点睛】本题主要考查排列组合相关知识，难度不大.

14．函数从1到的平均变化率为，则实数的值为___________.

【答案】9

【分析】根据平均变化率的概念列式可求出结果.

【详解】∵，，∴，，

∴从1到的平均变化率，解得，

故答案为：9.

15．设，若展开式中的系数为20，则___________.

【答案】1

【分析】先写出的通项，再由的系数为20建立方程，解即可.

【详解】由已知得：①

对于，其通项为，

分别令代入①式，可得项的系数为：，解得.

故答案为：1.

16．已知函数，若关于的不等式有且仅有1个整数解，则的取值范围为___________.

【答案】

【分析】利用导数，求出的单调性，通过讨论的符号；结合图象解关于的不等式，结合不等式解的个数求出的范围．

【详解】由，，

令，解得：，

令，解得：，

的递增区间为，递减区间为，故的最大值是；

时，，时，，，故在时，，在时，，

函数的图象如下：

①时，由不等式得或，

而时无整数解，的解集为，整数解有无数多个，不合题意；

②时，由不等式，得，解集为，，，

整数解有无数多个，不合题意；

③时，由不等式，得或，

的解集为无整数解，

因为在递增，在递减，且，

而的解集整数解只有一个，故这一个正整数解只能为1，

，；

综上，的取值范围是,

故答案为：

四、解答题

17．已知函数，求：

（1）函数的图象在点处的切线方程；

（2）的单调递减区间.

【答案】（1）；（2），.

【分析】（1）利用导数的几何意义可求得切线斜率，进而得到切线方程；

（2）根据导函数的正负即可确定所求的单调区间.

【详解】（1）由题意得：，

，又，

在处的切线方程为，即.

（2）由（1）知：，

当时，；当时，；

的单调递减区间为，.

【点睛】本题考查利用导数的几何意义求解在某一点处的切线方程、利用导数求解函数的单调区间的问题，属于导数部分知识的基础应用.

18．（1）解方程：

（2）计算

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）根据排列数的公式计算即可；

（2）由组合数的性质和公式计算即可

【详解】（1）∵，

∴，且，，

化简得，且，，

解得（舍），，∴.

（2）因为，所以.

19．已知的展开式中第2项与第3项的二项式系数之和是21，

(1)求的值；

(2)求展开式中项系数最大的项.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）直接由解方程即可；

（2）直接由求出，即可得到项系数最大的项.

【详解】(1)由题意可得，即，解得；

(2)由二项展开得到项系数为，

则设，化简为，解得，故，

因此项系数最大的为第三项，为.

20．已知函数.

(1)求极值点；

(2)若，证明：时，成立.

【答案】(1)极大值点为，无极小值点；

(2)证明见解析.

【分析】（1）利用导数求出函数的单调区间即得解；

（2）令，利用导数求出函数的最小值即得证.

【详解】(1)解：由题意，得，

令，得；，得；

列表如下：

所以极大值点为，无极小值点.

(2)证明：，

令，

∴.

当时，，，从而，

∴，在上是增函数，∴.

∴当时，成立.

21．已知函数

(1)求的最大值

(2)若恒成立，求的值

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求导求解单调性即可求出最值；

（2）要使成立必须，求单调性求解即可.

【详解】(1)因为，所以，

由得；得；

所以在上单调递增，在上单调递减，

故，即.

(2)要使成立必须，

因为，所以当，；当时，.

所以在上单调递减，在上单调递增.

所以，所以满足条件的只有，即.

【点睛】用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面：

(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域；

(2)不能随意将函数的2个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式；

(3)利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.

22．已知函数

(1)讨论的单调区间；

(2)设，若对任意的，存在，使成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)答案见解析

(2)

【分析】（1）由，按，进行分类讨论求解；

（2）由已知，转化为，由已知得，由此能求出实数a的取值范围．

【详解】(1)，

①当时，由于，故，，

所以的单调递增区间为；

②当时，由，得，

在区间上，在区间上，

所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；

(2)由题目知，只需要即可

又因为，所以只需要即可

即等价于恒成立，

由变量分离可知，，

令，下面求的最小值，

令，所以得，

所以在为减函数，为增函数，

所以，所以.