2021-2022学年陕西省米脂中学高二下学期第一次月考数学（理）试题（解析版）

2021-2022学年陕西省米脂中学高二下学期第一次月考数学（理）试题

一、单选题

1．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．

甲：我的成绩比乙高．

乙：丙的成绩比我和甲的都高．

丙：我的成绩比乙高．

成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为  （ ）

A．甲、乙、丙 B．乙、甲、丙

C．丙、乙、甲 D．甲、丙、乙

【答案】A

【分析】利用逐一验证的方法进行求解.

【详解】若甲预测正确，则乙、丙预测错误，则甲比乙成绩高，丙比乙成绩低，故3人成绩由高到低依次为甲，乙，丙；若乙预测正确，则丙预测也正确，不符合题意；若丙预测正确，则甲必预测错误，丙比乙的成绩高，乙比甲成绩高，即丙比甲，乙成绩都高，即乙预测正确，不符合题意，故选A．

【点睛】本题将数学知识与时政结合，主要考查推理判断能力．题目有一定难度，注重了基础知识、逻辑推理能力的考查．

2．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术．得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟．”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”： ，，，…．按照以上规律，若有“穿墙术”，则（    ）

A．25 B．48 C．63 D．80

【答案】C

【分析】根据，，，…，归纳规律求解.

【详解】因为，

，

，…，

则按照以上规律：，

得.

故选：C.

3．在技术工程中，常用到双曲正弦函数和双曲余弦函数，其实双曲正弦函数和双曲余弦函数与我们学过的正弦和余弦函数相似，比如关于正、余弦函数有成立，而关于双曲正、余弦函数满足．请你类比关系式，下列得出关于双曲正弦、双曲余弦函数的关系中不正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据定义逐项验证即可.

【详解】因为，，

所以，，

所以，

所以，故，A正确；

，，B正确；

，D正确；

，，

，C错误；

故选：C.

4．用数学归纳法证明等式，当时，等式左端应在的基础上加上（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】写出和时的两式，然后比较可得．

【详解】时等式为，

时等式为，

当时，等式左端应在的基础上加上，

故选：B．

【点睛】本题考查数学归纳法，数学归纳法的关键、难点就在于用的假设结论证明的的结论，因此观察出与之间式子的关系至关重要．

5．利用反证法证明“若，则”时，应假设为（    ）

A．且 B．且x，y都不为0

C．且x，y不都为0 D．或

【答案】D

【分析】利用反证法证明规则即可得到应假设或.

【详解】利用反证法证明, 应先假设结论不成立，本题应假设或

故选：D

6．利用分析法证明是从求证的结论出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的（    ）

A．必要条件 B．充分条件 C．充要条件 D．必要条件或充要条件

【答案】B

【分析】利用分析法证明的原理即可得到正确选项.

【详解】利用分析法证明是从求证的结论出发，

一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件，

直到最后一个充分条件成立即可证明原式正确.

故选：B

7．函数的单调减区间为

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】对函数求导，让函数的导函数小于零，解不等式，即可得到原函数的单调减区间.

【详解】，所以函数的单调减区间为，故本题选D.

【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调减区间问题，正确求出导函数是解题的关键.

8．已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数），则下面四个图象中，的图象大致是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先利用函数的图象求得函数的单调区间，进而得到正确选项.

【详解】由题给函数的图象，可得

当时，，则，则单调递增；

当时，，则，则单调递减；

当时，，则，则单调递减；

当时，，则，则单调递增；

则单调递增区间为，；单调递减区间为

故仅选项C符合要求.

故选：C

9．函数在上的最大值为（  ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先求导函数，令导函数，得．讨论在与内的单调性，进而求得最大值．

【详解】对函数求导，得

令，得

当 时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减

所以在处取得极大值，也是最大值，为

故选：D

10．设直线与函数的图像分别交于点，则当达到最小时的值为

A．1 B． C． D．

【答案】D

【详解】由题，不妨令，则，令解得，因时，，当时，，所以当时，达到最小．即．

11．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为(　　)

A．[－3，6]

B．(－3，6)

C．(－∞，－3]∪[6，＋∞)

D．(－∞，－3)∪(6，＋∞)

【答案】D

【分析】先求出导数f′（x），由f（x）有极大值、极小值可知f′（x）=0有两个不等实根．

【详解】函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1，所以f′（x）=3x2+2ax+（a+6），

因为函数有极大值和极小值，所以方程f′（x）=0有两个不相等的实数根，

即3x2+2ax+（a+6）=0有两个不相等的实数根，

∴△＞0，∴（2a）2﹣4×3×（a+6）＞0，解得：a＜﹣3或a＞6．

故选D．

【点睛】本题以函数的极值为载体，考查导数在求函数极值的应用，将函数有极大值和极小值，转化为方程f′（x）=0有两个不相等的实数根是解题的关键．

12．设函数是奇函数（）的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】构造新函数,，当时.

所以在上单减，又，即.

所以可得,此时，

又为奇函数，所以在上的解集为：.

故选A.

点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，需要构造函数，例如，想到构造.一般：（1）条件含有，就构造,（2）若，就构造，（3），就构造，（4）就构造，等便于给出导数时联想构造函数.

二、填空题

13．设函数可导且在处的导数值为1，则__________．

【答案】

【分析】根据给定条件，利用导数的定义直接计算作答.

【详解】依题意，，

所以.

故答案为：

14．已知曲线，则与直线垂直的曲线的切线方程为_________．

【答案】

【分析】求导数，利用切线与直线垂直，求出切点坐标，即可求解

【详解】设切点为，

因为，所以，

因为曲线的切线与直线垂直，

所以，

解得，

又点在曲线上，则，

所以切点坐标为，

所以曲线的与直线垂直的切线方程为：

，

即

故答案为：.

15．曲线在点处的切线与轴、直线所围成的三角形的面积为，则________.

【答案】

【分析】求出函数的导数，求出切线方程，利用三角形的面积列出方程，求解即可．

【详解】解：，

，

，

曲线在点处的切线方程为，

即，令，得，

切线与轴，直线所围成的三角形的面积为，解得．

故答案为：．

16．已知点在曲线上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是____

【答案】

【分析】利用导数在切点处的值是曲线的切线斜率，再根据斜率等于倾斜角的正切值求出角的范围．

【详解】由已知函数的导数为

，，

即，，，即答案为：．

【点睛】本题主要考查直线的斜率、导数的几何意义．属于基础题

三、解答题

17．求下列函数的导数．

(1)

(2)

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用导数运算规则即可求得该式的导数；

（2）利用复合函数的导数及导数运算规则即可求得该式的导数.

【详解】（1）

（2）

18．（1）求曲线，在点处的切线方程；

（2）求过点的抛物线的切线方程．

【答案】（1）；（2）或．

【分析】（1）利用导数几何意义即可求得曲线在点处的切线方程；

（2）先设出切点坐标为，再利用导数几何意义即可求得过点的抛物线的切线方程．

【详解】（1），可知所求切线的斜率

故所求切线的方程为，即．

（2）设切点坐标为，，可知所求切线的斜率

∵切线过点和点，∴，

解得或，∴切线的斜率为2或6

故所求切线的方程为或，

即或．

19．（1）求证：；

（2）若方程和中至少有一个方程有实数根，求实数的取值范围．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【分析】（1）利用分析法即可证明；

（2）先求得两个方程均有实根时实数的取值范围，进而利用补集思想求得至少有一个方程有实数根时实数的取值范围.

【详解】（1）要证，只需证，

只需证，即证，只需证，

只需证12>10，这显然成立故原不等式得证.

（2）当方程和都没有实数根时，

有，解得，

故当方程和中至少有一个方程有实数根时，

实数的取值范围为．

20．用数学归纳法证明：．

【答案】见解析

【分析】利用数学归纳法，先证明当时，等式成立，假设当时成立，证明当时等式成立即可.

【详解】解：（1）当时，左边=，右边=，等式成立，

（2）假设当时，等式成立，即＋…＋＝，

当时，

＋…＋+

，

即当时等式也成立.，

由（1）（2）可知：等式对任何都成立，

故.

21．已知函数在和处取得极值.

（1）求f（x）的表达式和极值．

（2）若f（x）在区间[m，m+4]上是单调函数，试求m的取值范围．

【答案】（1）f（x）=2x3-3x2-12x+3,当x=-1时，有极大值10；当x=2时，有极小值-17（2）m≤-5或m≥2

【分析】（1）由题意得和2为导函数两个零点，根据韦达定理可求，列表分析导函数符号变化规律，确定极值；

（2）由（1）可得函数单调区间，根据为单调区间一个子集可得不等式或或，解不等式即可.

【详解】解：（1）的两根为和2，∴，得，

∴，∴，

令，得或；令，得，

所以的极大值是，极小值是.

（2）由（1）知，在和上单调递增，在上单调递减，

∴或或，∴或，则的取值范围是.

【点睛】方法点睛：函数极值问题的常见类型及解题策略：

(1)知图判断函数极值的情况.先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号.

(2)已知函数求极值.求→求方程的根→列表检验在的根的附近两侧的符号→下结论.

(3)已知极值求参数.若函数在点处取得极值，则，且在该点左、右两侧的导数值符号相反.

22．已知函数.

（Ⅰ）讨论函数的单调性；

（Ⅱ）设，证明：对任意，．

【答案】（Ⅰ）答案不唯一，具体见解析（Ⅱ）见解析

【详解】试题分析：（Ⅰ）借助题设条件运用导数和单调性的关系分类求解；（Ⅱ）借助题设条件构造函数运用导数的知识推证.

试题解析：

（Ⅰ）解：的定义域为 ，．

当时， ，故在 单调递增；

当时， ，故在 单调递减；

当时，令 ，解得 ．由于 在上单调递减，故当时， ，故在 单调递增；当 时， ，故在 单调递减．

（Ⅱ）证明：不妨假设．由于 ，故 在 单调递减．

∴等价于 ．

即．

令，则．

于是．

从而在 单调递减，故，

即，故对任意 ．

【解析】导数在研究函数的单调性和极值等方面的综合运用．

【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具．本题就是以含参数的函数解析式为背景，考查的是导数知识在研究函数单调性和极值等方面的综合运用和分析问题解决问题的能力．本题的第一问求解时借助导数与函数单调性的关系，运用分类整合的数学思想分类求出其单调区间和单调性；第二问的求解中则先构造函数，然后再对函数求导，运用导数的知识研究函数的单调性，然后运用函数的单调性，从而使得问题简捷巧妙获证．