2021-2022学年河南省项城市第三高级中学高二上学期10月第一次段考数学试题（A）（解析版）

2021-2022学年河南省项城市第三高级中学高二上学期10月第一次段考数学试题（A）

一、单选题

1．若在中，角的对边分别为，则（    ）

A．或 B． C． D．以上都不对

【答案】C

【分析】在中，根据，利用正弦定理求解.

【详解】在中，已知，

由正弦定理得：，

所以，

因为，

所以，

所以，

故选：C

2．在中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，若，，则的面积是（    ）

A．3 B． C． D．

【答案】C

【分析】由已知结合余弦定理得出的值，即可根据面积公式得出答案.

【详解】，

即，

由余弦定理得，

解得：，

则，

故选：C.

3．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，，的面积为，则b=（ ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由已知条件中的等差数列和三角形面积计算出，再运用余弦定理计算出的值，即可得到结果.

【详解】，，成等差数列，，平方得，

又的面积为，且，故由，

得，，

由余弦定理得，

解得，又为边长，，

故选.

4．设A，B两点在河的两岸，为测量A，B两点间的距离，小明同学在A的同侧选定一点C，测出A，C两点间的距离为80米，，请你帮小明同学计算出A，B两点间的距离，距离为（    ）米．

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由正弦定理求解即可.

【详解】

由正弦定理可知

，

故选：B

5．若的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，则B的解的个数是（    ）

A．2 B．1 C．0 D．不确定

【答案】A

【分析】通过正弦定理求得，分别判断在锐角和钝角时，是否存在即可.

【详解】由正弦定理知，，即 ，解得，

又，由三角函数性质知角B由两个解，

当角B为锐角时，满足，即存在；

当角B为钝角时，，，

则满足，即存在；故有两个解.

故选：A

【点睛】关键点点睛：当正弦值可以取两个解时，需要讨论其存在情况.

6．已知数列的通项公式为，则数列各项中最大项是（    ）

A．第13项 B．第14项 C．第15项 D．第16项

【答案】C

【分析】由给定条件知数列首项不是最大项，利用数列最大项比它前一项和后一项都不小的特点列式即可作答.

【详解】依题意得，设数列的最大项为，于是有，

从而得，整理得：，解得，而，则，

所以数列各项中最大项是第15项.

故选：C

7．若数列，则a5－a4＝

A． B．－ C． D．

【答案】C

【详解】试题分析：由

可得

【解析】数列通项公式

8．在数列中，，，则的值为（    ）

A．52 B．51 C．50 D．49

【答案】A

【分析】由题判断出函数为等差数列，即可求出.

【详解】由题意，数列满足，即，

又由，所以数列为 首项为2，公差为的等差数列，

所以.

故选：A．

9．在等差数列中，公差，且，则（　　）

A．99 B．66 C．33 D．0

【答案】B

【分析】易知是以为首项，公差为3的等差数列，利用等差数列求和公式求和即可.

【详解】根据题意，

所以，所以，

而是以为首项，公差为3的等差数列，

所以，

故选：B.

10．已知等差数列的前项之和为，前项和为，则它的前项的和为（ ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】等差数列中也成等差数列，据此可解答﹒

【详解】由于等差数列中也成等差数列，即成等差数列，∴﹒

故选：C．

11．在等差数列中，，其前项和为，若，则的值等于

A．2011 B．-2012 C．2014 D．-2013

【答案】C

【详解】试题分析：等差数列中，即数列是首项为，公差为的等差数列；因为，，所以，，，

所以，，

选.

【解析】等差数列的求和公式，等差数列的通项公式.

12．南宋著名数学家秦九韶在其著作《数书九章》中创用了“三斜求积术”，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隅，开平方得积.”翻译一下这段文字，即已知三角形的三边长，可求三角形的面积为.若中，内角，，所对的边分别为，，，且，，，则用“三斜求积术”求得的面积为（    ）

A． B．1 C． D．

【答案】D

【分析】由正弦定理得，由得，进而可得的面积.

【详解】根据正弦定理，由，由得，

所以的面积.

故选：D.

二、填空题

13．已知数列对任意正整数都有，且，是方程的两个实根，则_________．

【答案】9

【分析】根据等差中项的定义可得数列是等差数列，再由等差数列的性质即可求解.

【详解】因为数列对任意正整数都有，所以数列是等差数列，

因为，是方程的两个实根，由根与系数的关系可得，

因为数列是等差数列，所以，，可得，

所以，

故答案为：9.

14．已知，均为等差数列，其前项和分别为，，且，则_________.

【答案】

【详解】试题分析：由等差数列的性质求和公式可得：.

【解析】等差数列的前和的应用.

15．在中，，的外接圆的半径是，则角_____．

【答案】

【分析】根据条件结合正弦定理化简条件得，利用余弦定理求得角C.

【详解】三角形ABC外接圆半径，结合正弦定理知，

题设条件等价于，

即，由余弦定理知，

，又，故，

故答案为：

【点睛】方法点睛：利用正弦定理进行边角转化，化简得到边与边的关系，从而利用余弦定理求解角.

16．数列满足，，且数列满足从且只从第三项开始为递增数列，则实数的取值范围是________.

【答案】

【解析】结合二次函数的性质，求得的取值范围.

【详解】可以看做，对称轴为，

若数列满足从且只从第三项开始为递增数列，则只需.

故答案为：

【点睛】本小题主要考查数列的单调性，属于基础题.

三、解答题

17．在数列中，已知，且.

(1)求通项公式.

(2)求证：是递增数列.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据数列的通项将分别代入可计算出，可求得通项公式；（2）根据递增数列的定义，由即可得出证明.

【详解】（1）由，且可得

，解得；

因此.

所以，数列的通项公式为

（2）根据递增数列的定义可知，

，

即，

故是递增数列.

18．若的面积为，，且为锐角.

(1)求的值；

(2)求的值.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据面积公式求出sinA，再求出cosA；

（2）先用余弦定理求出边a，再将式子化简，求解即可.

【详解】（1）因为的面积为，所以 ，所以 ． 因为 中，为锐角，所以.

（2）在中，由余弦定理，，所以．

由正弦定理 ， 所以 .所以.

19．已知数列满足，，数列

（1）求证：等差数列；

（2）求数列的通项公式.

【答案】（1）证明见解析；（2）

【分析】（1）根据题意，计算，由等差数列的定义，即可证明结论成立；

（2）先由（1）求出，即可得出.

【详解】（1）由题可，且，

又因为

所以数列是以为首项，为公差的等差数列

（2）由（1）可知，

故.

【点睛】本题主要考查证明数列是等差数列，以及求数列的通项公式，属于基础题型.

20．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足.

（1）求角A；

（2）若的外接圆半径为1，求的面积S的最大值．

【答案】(1) ；(2)

【分析】（1）化简，再用余弦定理和三角形内角和，即可求出角A.

（2）根据正弦定理求出a，根据余弦定理结合基本不等式以及三角形的面积公式进行求解即可．

【详解】解：（1）由化简得，

由余弦定理

得

又因为，

所以.

（2）由正弦定理得

所以，

当且仅当时取等号．

故（时取等号）．

即面积S的最大值为

【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，基本不等式的性质在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．

21．设数列的前项和为.

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求.

【答案】（1），    ；（2），.

【分析】（1）利用求得数列的通项公式，进而求得数列的通项公式.

（2）利用分组求和法，结合分类讨论的数学思想，求得的表达式.

【详解】（1）当时，，当时，，所以，当是上式也符合，故数列的通项公式为.令，解得，故为负数，开始数列为正数.故.也即数列的通项公式为.

（2）当时，.

，.

当时，.

综上所述，.

【点睛】本小题主要考查等差数列和的关系式，考查含有绝对值的数列的通项公式和前项和公式的求法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.

22．如图，为方便市民游览市民中心附近的“网红桥”，现准备在河岸一侧建造一个观景台，已知射线，为两边夹角为的公路(长度均超过3千米)，在两条公路，上分别设立游客上下点，，从观景台到，建造两条观光线路，，测得千米，千米.

（1）求线段的长度；

（2）若，求两条观光线路与之和的最大值.

【答案】（1）3千米；（2）最大值为6千米．

【分析】（1），．用余弦定理，即可求出；

（2）设，，用正弦定理求出，，展开，结合辅助角公式可化为，由的取值范围，即可求解．

【详解】解：（1）在中，由余弦定理得，

，，

所以线段的长度为3千米；

（2）设，因为，所以，

在中，由正弦定理得，

.

所以，，

因此

，

因为，所以.

所以当，即时，取到最大值6.

所以两条观光线路与之和的最大值为6千米．

【点睛】解三角形应用题的一般步骤：

(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．

(2)根据题意将实际问题抽象成解三角形问题的模型．

(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．

(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等．