2021-2022学年河南省原阳县第三高级中学高一上学期第一次月考数学试题（解析版）

2021-2022学年河南省原阳县第三高级中学高一上学期第一次月考数学试题

一、单选题

1．集合可化简为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】通过解方程，根据的含义进行求解即可.

【详解】解方程,得，因为，

所以，

故选：B

2．如果且，那么的大小关系为（   ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】先解不等式求出的范围，再根据条件可得大小关系．

【详解】解：由解得，

由可得，

．

故选：C．

【点睛】本题考查代数式的大小比较，是基础题．

3．已知集合，若，则可以是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】先求出集合A，再由可得答案

【详解】解：由，得，所以，

因为，观察可知选D.

故选：D

4．已知、，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】将代数式因式分解，找出使得成立的等价条件，进而可得出结论.

【详解】，

对任意的，，

所以，.

因此，“”是“”的充要条件.

故选：C.

5．若a＞0，b＞0，a+b＝2，则下列不等式①ab≤1；  ②；  ③a2+b2≥2；  ④a3+b3≥3；  ⑤2，对一切满足条件的a，b恒成立的所有正确命题是（   ）

A．①②③ B．①③⑤ C．①②④ D．③④⑤

【答案】B

【分析】对于①，根据2＝a+b≥2，可得ab≤1；对于②，取可知②错误；对于③，将两边平方后，变形可得，根据①的结论可知③正确；对于④，取可知④错误；对于⑤，利用基本不等式和①的结论可知⑤正确.

【详解】①∵a＞0，b＞0，a+b＝2，∴2＝a+b≥2，解得ab≤1，∴①正确；

②当时，，∴②错误；

③∵,所以，即，而ab≤1，∴a2+b2≥2成立，∴③正确；

④当a＝b＝1时，满足a＞0，b＞0，a+b＝2，但a3+b3＝2，∴④错误．

⑤∵a＞0，b＞0，a+b＝2，且ab≤1，∴2，故⑤正确．

故正确的是①③⑤．

故选：B．

【点睛】本题考查了不等式的性质，考查了基本不等式，考查了特值排除法，属于基础题.

6．已知是任意实数，，且，则下列结论不正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】根据不等式的性质判断即可.

【详解】若，，则成立；

若，则成立；

若，则成立；

若，则不成立.

故选：D

【点睛】本题主要考查了由条件判断所给不等式是否正确，属于基础题.

7．设集合，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】根据分式不等式的解法，求得，，再结合集合的并集的运算，即可求解.

【详解】由题意，集合，，

根据集合的并集的概念及运算，可得.

故选：D.

【点睛】本题主要考查了集合的并集的概念及运算，以及分式不等式的求解，其中解答中正确求解集合，结合集合的并集的运算求解是解答的关键，着重考查运算与求解能力.

8．如果对于任意实数表示不超过的最大整数，那么“”是“成立”的（    ）.

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据的定义，结合已知条件，从充分性和必要性判断即可.

【详解】若，则，故

则，则，故充分性满足；

若，取，满足，但，故必要性不满足.

故“”是“成立”的充分不必要条件.

故选：.

二、多选题

9．下列四个选项中正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】CD

【分析】注意到空集和由空集构成的集合的不同，可以判定AD；注意到集合元素的无序性，可以判定C；注意到集合的元素的属性不同，可以否定B.

【详解】对于A选项，集合的元素是，集合的元素是，故没有包含关系，A选项错误；

对于B选项，集合的元素是点，集合的元素是，故两个集合不相等，B选项错误；

对于C选项，由集合的元素的无序性可知两个集合是相等的集合，故C选项正确；

对于D选项，空集是任何集合的子集，故D选项正确.

故选：CD.

10．若，则下列不等式恒成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【分析】根据作差法比较大小或者取特殊值举反例即可.

【详解】对于A选项, 由于,故,所以, 即,故A选项正确;

对于B选项, 由于,故, ,故,故B选项错误;

对于C选项, 因为,故,所以,所以,故C选项正确;

对于D选项,令,则,所以不成立,故D选项错误;

故选:AC

【点睛】本题考查不等式的性质，作差法比较大小，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于利用不等式的性质或者作差法比较大小，进而判断.

11．下列选项中，关于的不等式有实数解的充分条件有（    ）．

A． B．

C．或 D．

【答案】AD

【分析】根据题意进行分类讨论，然后求出或，结合充分条件的概念以及选项即可求出结果.

【详解】关于的不等式有实数解，

若，则，即，符合题意；

若，则，符合题意；

若，则，则需满足，即或，故或；

综上：或；

结合充分条件的概念以及选项可知选AD，

故选：AD

12．下列说法正确的是（    ）

A．命题“，”的否定是“，”；

B．命题“，”的否定是“，”；

C．，使得；

D．若集合是全集的子集，则命题“”与“”同时成立；

【答案】BD

【分析】A. 命题的否定是“，”，所以该选项错误；

B. 由特称命题的否定判定该选项正确；

C. 当时，不存在实数，使得，所以该选项错误；

D.利用子集和补集的定义可以判定该选项正确.

【详解】A. 命题“，”的否定是“，”，所以该选项错误；

B. 命题“，”的否定是“，”，所以该选项正确；

C. 当时，不存在实数，使得，所以该选项错误；

D. 若集合是全集的子集，则命题“”与“”同时成立,所以该选项正确.

故选：BD

三、填空题

13．已知，则的最小值为___________.

【答案】1

【分析】直接利用基本不等式即可求解.

【详解】因为，所以，

所以，

当且仅当即时等号成立，

所以的最小值为，

故答案为：.

14．已知集合，，若，则实数m的取值范围______________

【答案】

【分析】由得到，然后分B为空集和不是空集讨论，当B不是空集时利用端点值的关系列不等式求解．

【详解】解：，，

由，

，

当时，满足，

此时，

；

当时，

，

则，

解得．

综上，．

故答案为：．

15．不等式对任意恒成立的充要条件是__________．

【答案】

【分析】先根据一元二次不等式恒成立得，再根据充要条件概念即可得答案.

【详解】解：当时，显然满足条件，

当时，由一元二次不等式恒成立得：，解得：

综上，，

所以不等式对任意恒成立的充要条件是，

故答案为：

【点睛】本题考查充要条件的求解，一元二次不等式恒成立问题，是基础题.

16．对于实数，若，，则的最大值为___________.

【答案】5

【分析】根据几何概型的方法，作出可行域，先分析的范围，再求解即可.

【详解】由题意，，，故，作出可行域，设目标函数，则.易得过时取得最大值，过时取得最小值.故，，故 .

故的最大值为5.

故答案为：5

四、解答题

17．（1）解不等式.

（2）若不等式的解集为，求实数，的值；

【答案】（1）不等式的解集为或;（2）,.

【分析】（1）根据一元二次不等式的解法即可求出；

（2）根据函数与方程的思想即可求出.

【详解】（1）即为,而的两根为,所以不等式的解集为或.

（2）由题意可知的两根为,所以,

,解得,.

18．设集合，集合；

（1）当时，求；

（2）若，求实数的取值范围；

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）求出集合B，由交集的定义求；（2）因为，分情况讨论A为空集和A非空时的范围，求解即可.

【详解】解：（1）当时，，∴

（2）∵

当时，，即，

当时，

综上所述：

19．若a＞b＞0，m＞0，判断与的大小关系，并加以证明.

【答案】见解析

【详解】试题分析：解：

=

∵a>b>0，m>0，

∴b-a>0，a+m>0，

∴ ，

∴

【解析】本题考查比较大小-作差法

点评：解决本题的关键是掌握比较大小的方法，作差比较，注意作差后整理，再进行讨论

20．已知命题p：x2﹣4x﹣5≤0，命题q：x2﹣2x＋1﹣m2≤0(m＞0)．

（1）若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；

（2）若m＝5，命题p和q中有且只有一个真命题，求实数x的取值范围．

【答案】（1）[4，+∞)；（2，，.

【分析】（1）求出命题，成立时的的范围，利用充分条件，根据包含关系列出不等式求解即可．

（2）讨论p真q假或p假q真，分别利用命题的真假关系列出不等式组，求解即可．

【详解】(1)对于，，

对于，，是的充分条件，

可得，，，．

(2)若m＝5，命题p和q中有且只有一个真命题，

此时命题q对应得集合为B=，

则p真q假或p假q真，

所以①当p真q假时，x∈，且x∪(6，+∞)，则此时无解；

②当p假q真时，x∈∪(5，+∞)，且x∈，

，，．

综上所述，x的取值范围为，，．

【点睛】本题考查命题的真假的判断与应用，充要条件的应用，集合的关系，考查转化思想以及计算能力．

21．如图设计一幅矩形宣传画，要求画面（阴影部分）面积为，画面上下边要留空白，左右要留空白.

（1）设画面的高为，写出宣传画所用纸张面积关于高的函数关系式，并写出定义域.

（2）怎样确定画面的高与宽的尺寸，才能使宣传画所用纸张面积最小？

【答案】（1），；（2）当画面高为，宽为时，所用纸张面积最小.

【分析】（1）设画面高为，宽为，，从而可求出所需纸张面积的表达式；

（2）结合（1），利用基本不等式求解即可．

【详解】（1）设画面高为，宽为，

依意有，，

则所需纸张面积，

即，

（2），．

当且仅当，即，时等号成立．

即当画面高为，宽为时，所需纸张面积最小为

【点睛】本题考查函数的模型与应用，基本不等式的应用，考查转化思想与建模能力，考查计算能力，属于中档题．

22．已知命题：“，都有不等式成立”是真命题.

(1)求实数的取值集合；

(2)设不等式的解集为，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）参变分离后转化为最值问题求解，

（2）分类讨论解不等式得，由集合间关系列不等式求解，

【详解】（1）由题意得在时恒成立，

∴，得，即.

（2）不等式，

①当，即时，解集，

若是的充分不必要条件，则是的真子集，∴，此时；

②当，即时，解集，满足题设条件.

③当，即时，解集，

若是的充分不必要条件，则是的真子集，

∴，此时，

综上①②③可得.