2022-2023学年广东省佛山市南海区高二上学期学业水平测试数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年广东省佛山市南海区高二上学期学业水平测试数学试题（解析版），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则（ ）
A．B．
C．D．与相交不垂直
【答案】C
【分析】根据题意得到，进而得到，即可求解.
【详解】由题意，直线的方向向量为，平面的法向量为，
可得，所以，所以.
故选：C.
2．若一个圆过三个点,,,则该圆的半径为（ ）
A．3B．4C．5D．10
【答案】C
【分析】根据已知三点确定圆心坐标，即可求解圆的半径。
【详解】圆过,,
圆心在直线上,
圆过点,,
圆心在直线上,
圆心坐标为,
则半径.
故选:C.
3．已知直线：和：互相平行，则实数m的值为（ ）
A．-2B．2或-4C．4或-2D．-4
【答案】A
【分析】利用两直线平行求解.
【详解】因为直线：和：互相平行，
所以，
解得或.
当时，：和：重合，不符合题意，
故.
故选：A
4．已知事件A与事件相互独立，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意两个相互独立事件的和事件的概率应该为两事件概率之和减去这两事件同时发生的概率，可得答案.
【详解】由题意事件A与事件相互独立，
,
故选：B．
5．已知直线的斜率为，直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据直线斜率可得倾斜角，再由倾斜角求倾斜角，即可得斜率.
【详解】直线的斜率为，即，所以倾斜角为，
所以直线的倾斜角为，
斜率．
故选：D
6．如图，用K、A1、A2三类不同的元件连接成一个系统．当K正常工作且A1、A2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K、A1、A2正常工作的概率依次是0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为
A．0.960B．0.864C．0.720D．0.576
【答案】B
【详解】A1、A2同时不能工作的概率为0.2×0.2＝0.04，所以A1、A2至少有一个正常工作的概率为1－0.04＝0.96，所以系统正常工作的概率为0.9×0.96＝0.864.故选B.
【解析】相互独立事件的概率.
7．如图所示，空间四边形中，，，，为中点，点在上，且，则等于（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据题意，可知，，根据几何图形和空间向量的加减法运算，即可求出结果.
【详解】解：由题可知，，，
.
故选：B.
8．一条光线从点射出，经直线反射后与圆相切，则反射光线所在直线的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据光学性质，点P（﹣2，4）关于直线x﹣y+2＝0对称的点在反射线所在直线上，设出所求直线方程，然后用点到直线的距离等于半径，求出斜率，舍去正值即可．
【详解】点P（﹣2，4）关于直线x﹣y+2＝0的对称点为Q（2，0），
设反射光线所在直线方程为：y＝k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k＝0，
依题意得：,
依题意舍去k＝
故反射线所在直线方程为：x+y﹣2＝0，
故选A．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系．属中档题．一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理．
二、多选题
9．甲､乙两各投掷一枚骰子，下列说法正确的是（ ）
A．事件“甲投得5点”与事件“甲投得4点”是互斥事件
B．事件“甲投得6点”与事件“乙投得5点”是相互独立事件
C．事件“甲､乙都投得6点”与事件“甲､乙都没有投得6点”是对立事件
D．事件“至少有1人投得6点”与事件“甲投得6点且乙没投得6点”是相互独立事件
【答案】AB
【分析】根据互斥事件，相互独立事件以及对立事件的定义即可根据选项逐一判断.
【详解】在A中，甲､乙两各投掷一枚骰子，“甲投得5点”与“甲投得4点”两个事件不可能同时发生，二者是互斥事件；
在B中，甲、乙各投掷一枚骰子，“甲投得6点”发生与否对事件“乙投得5点”的概率没有影响，二者是相互独立事件；
在C中，甲，乙各投掷一枚骰子，“甲､乙都投得6点”与事件“甲､乙都没有投得6点”不可能同时发生，二者是互斥事件，“甲､乙都投得6点”的对立事件为“至少有一个人没有投得6点”，故“甲､乙都没有投得6点”不是“甲､乙都投得6点”的对立事件；
在D中，设“至少有1人投得6点”为事件A，则事件A包括只有甲一人投得6点，或者只有乙一个人投得6点，以及甲乙两人都投得6点，而“甲投得6点且乙没投得6点”为事件，则，故A、B不独立，
故选：AB
10．空间直角坐标系中，设坐标原点为，定点A，B，C坐标分别是、、，则有（ ）
A．AB长度为B．是钝角三角形
C．点A到BC的距离为D．是平面的一个法向量
【答案】AC
【分析】对于A，直接用空间两点间距离公式计算；
对于B，求出的三边，用余弦定理判断角的大小；
对于C，用空间向量法求点到直线的距离；
对于D，检验与平面内的两相交直线是否垂直.
【详解】根据题意，可知，，，，
对于A，，，，故A正确；
对于B，在中，，，，
中，为最大角，则且不等于1，
所以为锐角，所以是锐角三角形，故B错误；
对于C，，，故所求距离为，
故C正确；
对于D，因为，而，则，
可知与不垂直，则与平面不垂直，所以不是平面的一个法向量，故D错误；
故选：AC
11．圆和圆的交点为，，则有（ ）
A．公共弦所在直线方程为B．公共弦的长为
C．线段中垂线方程为D．四边形的面积为
【答案】ACD
【分析】两圆方程作差得到公共弦方程，即可判断A，再求出两圆圆心坐标，即可求出线段中垂线方程，即可判断C，再由弦长公式求出，即可判断C，再求出，由即可判断D.
【详解】解：因为圆和圆，
所以两圆方程作差得，故公共弦方程为，故A正确；
又圆，圆，
所以圆心，，所以所在直线斜率为，
所以线段的中垂线的方程为，即，故C正确；
圆的圆心为，半径，
圆心到直线的距离，
所以，故B错误．
因为，，
所以，故D正确；
故选：ACD．
12．如图，在正方体中，点是线段(含端点）上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．存在点，使
B．异面直线与所成的角最小值为
C．无论点在线段的什么位置，都有
D．无论点在线段的什么位置，都有平面
【答案】ACD
【分析】当点与点重合时，由于，，根据平行线的性质可知，从而有，即可判断A选项；由，可知异面直线与所成的角即为异面直线与所成的角，再通过几何法求出线面角的余弦值，即可判断B选项；建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，设，且，得出，再根据空间向量的坐标运算得出，即可判断C选项；由正方体的性质，可知平面平面，再根据面面平行的性质即可得出，从而可判断D选项.
【详解】解：对于A，当点与点重合时，，，
∴，即，故A正确；
对于B，∵，则异面直线与所成的角即为异面直线与所成的角，
进而得出与所成角的最小值即为与平面所成角，
所以与所成角的最小值即为与平面所成角，设为，
设正方体的棱长为1，则，
在正三棱锥中，底面的外接圆半径为，
所以，则，故B不正确；
对于C，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，
则，
设，且，则，
则，所以，故C正确；
对于D，易知平面平面，平面，所以，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题
13．若，且，则m的值为___________．
【答案】
【分析】根据空间向量垂直的坐标表示，列出方程，即可求得答案.
【详解】∵,,，∴,
故答案为：．
14．某用人单位从甲、乙、丙、丁4名应聘者中招聘2人，若每名应聘者被录用的机会均等，则甲、乙2人中至少有1入被录用的概率为 _______．
【答案】
【详解】试题分析：事件甲、乙2人中至少有1入被录用的对立事件为甲、乙2人中皆不被录用，其概率为，因此甲、乙2人中至少有1入被录用的概率为
【解析】古典概型概率
15．如图，二面角的棱上有两个点A，B，线段和分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱l．若，则平面与平面夹角的余弦值为________．
【答案】
【分析】设这个二面角的度数为，由题意得，从而得到．
【详解】解：设平面与平面的夹角的度数为，
由题意得，且 ，即
，
，
解得，
平面与平面的夹角的余弦值为．
故答案为：．
16．已知点P在圆上，，，则的最小值为___________.
【答案】##
【分析】设，再根据平面向量数量积的坐标运算结合三角函数的性质即可得出答案.
【详解】解：由点P在圆上，可设，
则，
所以，
当，即，即时，
取得最小值.
故答案为：.
四、解答题
17．平行四边形ABCD的一组邻边所在直线的方程分别为与，对角线的交点坐标为．
（1）求已知两直线的交点坐标；
（2）求此平行四边形另两边所在直线的方程．
【答案】（1）两直线的交点坐标是；（2）与．
【分析】（1）解方程组，求出交点坐标即可；
（2）求出与点相对的一个顶点为，根据平行四边形的性质求出另两边所在直线方程即可．
【详解】（1）由，解得：，
即两直线的交点坐标是；
（2）由（1）得已知两直线的交点坐标为，对角线的交点坐标为，
因此，与点相对的一个顶点为，
由平行四边形的性质得另两边与已知两边分别平行，
因此另两边所在直线方程分别是：与，即与．
18．一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4.
（1）从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；
（2）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求的概率
【答案】（1），（2）
【详解】（1）从袋子中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4，共6个，
从袋中随机取出的球的编号之和不大于4的事件共有1和2,1和3两个．
因此所求事件的概率为.
（2）先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，在从袋中随机取一个球，记下编号为n，
其中一切可能的结果（m，n）有：（1,1）（1,2），（1,3），（1,4），（2,1），（2,2），（2,3），（2,4），（3,1）（3， 2），（3,3）（3,4），（4,1），（4,2），（4,3），（4,4），共16个．
所有满足条件n≥m＋2的事件为（1,3）（1,4）（2,4），共3个，
所以满足条件n≥m＋2的事件的概率为P1＝
故满足条件n＜m＋2的事件的概率为1－P1＝1－＝.
19．如图，已知长方体，，，E为BD上一点且满足，M为上一点且满足，F为的中点．
(1)证明：A，E，F，M四点共面；
(2)求点A到平面BDF的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，分别求出，证明即可；
（2）采用向量法，求出平面BDF的法向量和，则点A到平面BDF的距离为，代入计算即可求解.
【详解】（1）在长方体中，以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系．
由已知，，且，得，
又，
从而易得可得，，，，
，．
∵，，
∴，∴，
∴，，，四点共面；
（2）设是平面的一个法向量．
，，，
由，∴，即，取，
所以点到平面的距离，
20．甲乙两人组成“星队”参加猜谜语活动，每轮活动由甲乙各猜一个谜语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为，．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．甲和乙在第一轮都猜错的概率为，“星队”在第二轮中只猜对一个谜语的概率为.
（1）求，；
（2）求“星队”在前两轮活动中猜对3个谜语的概率．
【答案】（1），；（2）.
【分析】（1）由题意可得解方程组可得答案；
（2）方法一，设，分别表示甲两轮猜对1个，2个谜语的事件，，分别表示乙两轮猜对1个，2个谜语的事件，由独立事件的概率求法和互斥事件的概率求法求出,设表示“星队”在前两轮活动中猜对3个谜语的事件，则，从而可求得答案；方法二，设，分别表示第一轮两人猜对1个，2个谜语的事件，，分别表示第二轮两人猜对1个，2个谜语的事件，然后求出，设表示“星队”在前两轮活动中猜对3个谜语的事件，则，从而可求得答案
【详解】解：（1）由题意，得
解得，.
所以，是方程的两个实根．
又，解得，.
（2）解法一：设，分别表示甲两轮猜对1个，2个谜语的事件，
，分别表示乙两轮猜对1个，2个谜语的事件，则
，
，.
设表示“星队”在前两轮活动中猜对3个谜语的事件，
由题意，
.
解法二：设，分别表示第一轮两人猜对1个，2个谜语的事件，
，分别表示第二轮两人猜对1个，2个谜语的事件，则
，，
，.
设表示“星队”在前两轮活动中猜对3个谜语的事件，
由题意，
.
21．如图，四棱锥中，，底面为矩形，，为的中点．
(1)证明：∥平面；
(2)设平面与平面的夹角为60°，求三棱锥的体积
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）连接交于点，连接，证明，再由线面平行的判定定理得证；
（2）建立空间直角坐标系，设，，根据夹角公式求出，利用三棱锥体积公式求解.
【详解】（1）证明：连接交于点，连接．
因为为矩形，所以为的中点．
又为的中点，所以．
因为平面，平面，
所以平面．
（2）因为平面，为矩形，所以，，两两垂直．
如图，以为坐标原点，，，所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则，，
设，，则，，．
设为平面的法向量，
则，即 ，令，可得．
又为平面的法向量，
由题设易知平面与平面的夹角的余弦值
，解得．
因为为的中点，所以三棱锥的高为．
三棱锥的体积．
22．（1）如图，已知点与直线，证明：点P到直线l的距离为；
（2）已知点与原点O，动点M满足与点O的距离是它与点A的距离的倍，求动点M到直线的距离最大值．
【答案】（1）证明见解析 ；（2） ．
【分析】（1）方法一：点到直线的距离，就是从点到直线的垂线段的长度，其中是垂足，因此求出垂足的坐标，利用两点间距离公式求出就可得到点P到直线l的距离.
方法二：点到直线的距离，就是向量的模．设是直线上的任意一点，是与直线的方向向量垂直的单位向量，则是在上的投影向量，只需求即可.
（2）由得的轨迹为圆，圆上点到直线距离的最大值为圆心到直线距离加半径.
【详解】（1）方法1：
设，．由，以及直线的斜率为，可得的垂线的斜率为，
因此，垂线的方程为，即．
解方程组，
得与的交点坐标，即垂足的坐标为：
于是
因此，点到直线的距离
当时，点到直线的距离为
公式也成立．
同理当时，上式公式也成立．
方法2：
如图，点到直线的距离，就是向量的模．
设是直线上的任意一点，是与直线的方向向量垂直的单位向量，
则是在上的投影向量，
设，是直线上的任意两点，
则是直线的方向向量．
把，两式相减，
得
由平面向量的数量积运算可知，向量与向量垂直．
向量就是与直线的方向向量垂直的一个单位向量．
我们取，
从而
因为点在直线上，所以．所以．代入上式，
得．
因此．
（2）设坐标为，由，得
∴的轨迹为，
即轨迹为以为圆心，为半径的圆
圆心到直线的距离为，
故所求距离最大值为．