安徽省滁州市定远县育才学校2021-2022学年高二分层班下学期期中考试数学（理）试题（含答案）

2021-2022学年度第二学期高二分层班期中考试卷

理科数学试题

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题  每小题5分， 满分60分）

1．设数列的前n项和为，已知，，则（       ）

A．100 B．80 C．75 D．50

2．若数列满足(，为常数)，则称数列为“调和数列”.已知数列为“调和数列”，且，则（       ）

A．15 B．20 C．25 D．30

3．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，”（“钱”是古代一种质量单位），在这个问题中，甲得钱数为（       ）

A． B． C． D．

4．数列，，，，，中，有序实数对是（       ）

A． B．

C． D．

5．设某厂2020年的产值为1，从2021年起，该厂计划每年的产值比上年增长，则从2021年起到2030年底，该厂这十年的总产值为（       ）

A． B．

C． D．

6．已知函数的图象如图所示，是的导函数，则下列结论正确的是(       )

A．

B．

C．

D．

7．已知函数，，当时，恒成立，则实数a的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

8．已知函数在上可导，其部分图象如图所示，设，则下列不等式正确的是（        ）

A． B．

C． D．

9．已知为自然对数的底数，曲线在点处的切线与直线垂直，则实数

A． B． C． D．

10．已知函数的图象在点处的切线与直线垂直，则（       ）

A． B． C． D．

11．已知函数为偶函数，则的导函数的图象大致为(　　)

A． B．

C． D．

12．定义：如果函数在上存在，满足，，则称函数是上的“双中值函数”，已知函数是上“双中值函数”，则实数的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共20分）

13．已知数列的前n项和为，则的值为______.

14．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则实数b=__________.

15．分形几何学又被称为“大自然的几何学”，是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学.一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统，简单的说，分形就是研究无限复杂具备自相似结构的几何学.下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1，正三角形的边长为1，在各边取两个三等分点，往外再作一个正三角形，得到图2中的图形；对图2中的各边作相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形，记第个图形（图1为第一个图形）中的所有外围线段长的和为，则满足的最小正整数的值为______.（参考数据：，）

16．对于三次函数，定义：设是函数的导数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心．”请你将这一发现为条件，函数，则它的对称中心为______．

三、解答题（本大题共6小题，共70分）

17．（10分）已知是公差为d的等差数列，其前n项和是，且，.

(1)求数列的通项公式；

(2)若，求数列的前n项和.

18．（12分）设为数列{}的前n项和，且，．数列{}满足，．

(1)求数列{}的通项公式：

(2)设数列，求数列{}的前2n项和．

19．（12分）已知函数.

（1）求曲线y=f(x)在点P(1，-2)处的切线方程；

（2）过点P(2，2)作曲线y=f(x)的切线，求此切线的方程.

20．（12分）已知函数，．

（1）求函数的单调区间；

（2）设函数，存在实数，使得不等式成立，求的取值范围．

21．（12分）设等差数列的前n项和为，且，，

(1)求数列的通项公式：

(2)若数列满足，，求数列的前n项和为．

22．（12分）已知在函数（）的所有切线中，有且仅有一条切线与直线垂直．

（1）求的值和切线的方程；

（2）设曲线在任一点处的切线倾斜角为，求的取值范围．

参考答案

1．D   2．B  3．C  4．A  5．C  6．B  7．B  8．B 9．C  10．C 11．A  12．B

13．   14．.   15．9      16．

17．(1)

(2)

【解析】

 (1)由题意，，解得，

∴.

(2)由，

∴.

18．(1)；

(2).

(1)解：由，

因为，

所以当时，，

得：，所以，当时，也适合，

因此；

(2)解：因为，

所以当时，，

两式相减得：，

由（1）可知：，所以，

当时，，也适合上式，

故；

所以，

因此

.

所以.

19．（1）；（2）与.

解：（1）由题意可知，则在处的切线斜率，

则在点P(1，-2)处的切线方程为：，即切线方程为：.

（2）因为，所以设切点为，斜率为

则所求切线方程为： ①

因为切线过点P(2，2)，所以有

解得：或

代入①化简可得切线方程为：或.

20．（1）答案不唯一，具体见解析；（2）．

解：（1）∵，∴

（1）当时，∵，∴，，∴单减，∴减区间是．

时，，∴单增，∴增区间是．

（2）当时，∵，∴，∴的减区间是．

（3）当时，∵，∴的减区间是．

（4）当时，，∴，∴的增区间是，

，，∴的减区间是．

（2），因为存在实数，使得不等式成立，∴

，∵，，，单减，，，∴单增．∴，．

∴，∴，∵，∴．

21．(1)

(2)

(1)解：设等差数列的首项为，公差为，由，，

则，解得，所以；

(2)解：因为，

当时，即，

当时，

所以，即，

当时也成立，所以，

所以，

，

所以

，

所以.

22．（1）（2）或．

【解析】（1），由题意知，方程有两个相等的根，

∴，∴．

此时方程化为，得，

解得切点的纵坐标为，

∴切线的方程为，即．

（2）设曲线上任一点处的切线的斜率为（由题意知存在），

则由（1）知，

∴由正切函数的单调性可得的取值范围为或．