北师大版八年级下册6 一元一次不等式组测试题

第5讲  不等式组的应用
 

知识点1 实际应用类问题

对具有多种不等关系的问题，应考虑列一元一次不等式组，并求解．
一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤：
（1）分析题意，找出不等关系；
（2）设未知数，列出不等式组；
（3）解不等式组；
（4）从不等式组的解集中找出符合题意的答案；
（5）作答．

【典例】

例1（2020秋•长沙月考）我市创全国卫生城市，梅溪湖社区积极响应，决定在街道内的所有小区安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买4个垃圾箱比购买5个温馨提示牌多350元，垃圾箱的单价是温馨提示牌单价的3倍．

（1）求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？

（2）如果该街道需购买温馨提示牌和垃圾箱共3000个．该街道计划费用不超过35万元，而且垃圾箱的个数不少于温馨提示牌的个数的1.5倍，求有几种可供选择的方案？并找出资金最少的方案，求出最少需多少元？

【方法总结】

本题考查了一元一次不等式组的应用、一元一次方程的应用以及一次函数的性质，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．

例2 （2020秋•雨花区月考）入汛以来，我国南方地区发生多轮降雨，造成的多地发生较重洪涝灾害．某爱心机构将为一受灾严重地区捐赠的物资打包成件，其中帐篷和食品共320件，帐篷比食品多80件．

（1）求打包成件的帐篷和食品各多少件？

（2）现计划租用甲、乙两种货车共8辆，一次性将这批帐篷和食品全部运往受灾地区．已知甲种货车最多可装帐篷40件和食品10件，乙种货车最多可装帐篷和食品各20件．安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来；

（3）在第（2）问的条件下，如果甲种货车每辆需付运输费2000元，乙种货车每辆需付运输费1800元，应选择哪种方案可使运输费最少？最少运输费是多少元？

【方法总结】

考查了一元一次方程的应用和一元一次不等式组的应用．关键是弄清题意，找出等量或者不等关系：帐篷件数+食品件数＝320，甲种货车辆数+乙种货车辆数＝8，得到乙种货车辆数＝8﹣甲种货车辆数，代入下面两个不等关系：甲种货车装运帐篷件数+乙种货车装运帐篷件数≥200，甲种货车装运食品件数+乙种货车装运食品件数≥120．

【随堂练习】

1．（2020•广西）某市为创建“全国文明城市”，计划购买甲、乙两种树苗绿化城区，购买50棵甲种树苗和20棵乙种树苗需要5000元，购买30棵甲种树苗和10棵乙种树苗需要2800元．

（1）求购买的甲、乙两种树苗每棵各需要多少元．

（2）经市绿化部门研究，决定用不超过42000元的费用购买甲、乙两种树苗共500棵，其中乙种树苗的数量不少于甲种树苗数量的，求甲种树苗数量的取值范围．

（3）在（2）的条件下，如何购买树苗才能使总费用最低？

2．某公司计划购买A，B两种型号的打印机共20台，通过市场调研发现，购买3台A型打印机和4台B型打印机需6180元；购买4台A型打印机和6台B型打印机需8840元．

（1）求购买A，B两种型号打印机每台的价格分别是多少元？

（2）根据公司实际情况，要求购买A型打印机的数量不低于B型打印机数量的，不超过B型打印机数量的一半，且购买这两种型号打印机的总费用不能超过17800元，求该公司按计划购买A，B两种型号打印机共有几种购买方案，哪种方案费用最低？并求出最低费用．

知识点2 表格图形类问题

在不等式组的应用问题中，表格图形类问题也是常考的重点，与实际应用问题类似，这类问题只是把一些条件用表格或者图形的形式展示出来，在做题过程中，我们需要先转换条件，再计算.

【典例】

例1（2020春•岳麓区校级期末）一方有难，八方支援．“新冠肺炎”疫情来袭，除了医务人员主动请缨逆行走向战场外，众多企业也伸出援助之手，某公司用甲，乙两种货车向武汉运送爱心物资．两次满载的运输情况如表：

（1）求甲、乙两种货车每次满载分别能运输多少吨物资；

（2）由于疫情的持续，该公司安排甲乙货车共10辆进行第三次物资的运送，运送的物资不少于48.4吨，其中每辆甲车一次运送花费500元，每辆乙车一次运送花费300元，请问该公司应如何安排车辆最节省费用？

【方法总结】

考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，一次函数的应用，体现了数学建模思想，考查了学生用方程解实际问题的能力，解题的关键是根据题意建立方程组，并利用不等式求解大货车的数量，解题时注意题意中一次运完的含义，此类试题常用的方法为建立方程，利用不等式或者一次函数性质确定方案．

例2（2020春•新宾县期末）列方程组或不等式解决实际问题

某汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车，上周和本周的销售情况如下表：

（1）每辆A型车和B型车的售价各为多少万元？

（2）甲公司拟向该店购买A，B两种型号的新能源汽车共7辆，且A型号车不少于2辆，购车费不少于154万元，则有哪几种购车方案？

【方法总结】

本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．

【随堂练习】

1．（2020春•侯马市期末）某爱心公司捐资购买了120吨物资打算运往山区，现有甲、乙两种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车都满载，但不超载）

（1）若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费9100元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？

（2）公司计划用甲、乙两种车型同时参与运送，且总运费控制在8600元以内，有几种用车方案？每种用车方案各需要多少元？

2．（2020春•济源期末）某校为做好初三年级复课工作，积极准备防疫物资，计划从某药房购买一批消毒液和酒精，已知两次购买同一种药品的价格相同，在这家药房购买消毒液和酒精的数量和费用，如表所示：

（1）求消毒液和酒精每瓶的价格分别是多少元？

（2）随着防疫常态化，恰逢药房实行促销活动：实行全场8折销售，学校决定趁此活动再储备一批消毒液和酒精共180瓶，因防疫需要，要求消毒液的数量不少于酒精数量的2倍，总费用不超过3140元，问可以有几种采购方案？请写出方案，并说明理由．

3．（2020春•安新县期末）养牛场的李大叔分三次购进若干头大牛和小牛，其中有一次购买大牛和小牛的价格同时打折，其余两次均按原价购买，三次购买的数量和总价如表：

（1）李大叔以折扣价购买大牛和小牛是第__________次；

（2）每头大牛和小牛的原价分别为多少元？

（3）如果李大叔第四次购买大牛和小牛共10头（其中小牛至少一头），仍按之前的折扣（大牛和小牛的折扣相同），且总价不低于8100元，那么他共有哪几种购买方案？

知识点3 新定义类问题

【典例】

例1（2020春•海淀区校级期中）先阅读材料在回答问题．

材料：对于三个数a，b，c，M{a，b，c}表示这三个数的平均数，计算方法为M{a，b，c}，min{a，b，c}表示a，b，c这三个数中最小的数，max{a，b，c]表示a，b，c这三个数中最大的数，例如：

M{﹣2，3，4}，min{﹣2，3，4}＝﹣2，max{﹣2，3，4}＝4．

M{﹣2，3，3}，min{﹣2，3，3}＝﹣2，max{﹣2，3，3}＝3．

M{﹣2，3，a}，min{﹣2，3，a}，max{﹣2，3，a}解决下列问题：

（1）填空：min{﹣1，﹣2，0}＝__________；

若x＜0，则max{2，x2+2，x+2}＝__________；

若min{2，x+1，4﹣2x}＝2，则x的取值范围是__________；

（2）①若M{2，x+1，2x]＝max{2，x+1，2x}，那么x＝__________；

②根据①，你发现结论“若M{a，b，c}＝max{a，b，c}，那么__________”（请a，b，c的大小关系）；

③运用②的结论填空：

若M{2x+y，x+3，3x﹣y}＝max{2x+y，x+3，3x﹣y}，则x+2y＝__________．

【方法总结】

本题考查了一元一次不等式的应用和二元一次方程组的应用，是一个新定义的题目，难度较大．

【随堂练习】

1．（2019秋•淮北期中）字母m、n分别表示一个有理数，且m≠n．现规定min{m，n}表示m、n中较小的数，例如：min{3，﹣1}＝﹣1，min{﹣1，0}＝﹣1．据此解决下列问题：

（1）min{，}＝__________．

（2）若min{，2）＝﹣1，求x的值；

（3）若min{2x﹣5，x+3}＝﹣2，求x的值．

2．（2019春•岳麓区校级期中）阅读以下材料：对于三个数a，b，c，用M{a，b，c}表示这三个数的

平均数，用min{a，b，c}表示这三个数中最小的数．例如：M{﹣1，2，3}；min{﹣1，2，3}＝﹣1；min{﹣1，2，a}解决下列问题：

（1）min{，，}＝__________若min{2，2x+2，4﹣2x}＝2，则x的范围为__________；

（2）①如果M{2，x+1，2x}＝min{2，x+1，2x}，求x；

②根据①，你发现了结论“如果M{a，b，c}＝min{a，b，c}，那么__________（填a，b，c的大小关系）”．证明你发现的结论；

③运用②的结论，填空：

若M{2x+y+2，x+2y，2x﹣y}＝min{2x+y+2，x+2y，2x﹣y}，则x+y＝__________．

综合运用

1．（2020秋•中原区校级期中）某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克m元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克n元，售价每千克18元．

（1）该超市购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜5千克需要170元；购进甲种蔬菜6千克和乙种蔬菜10千克需要200元．求m，n的值．

（2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买甲种蔬菜x千克（x为整数），求有哪几种购买方案．

（3）在（2）的条件下，求超市在获得的利润的最大值．

2．（2020秋•开福区校级期中）为更好地推进长沙市生活垃圾分类工作，改善城市生态环境，2019年12月17日，长沙市政府召开了长沙市生活垃圾分类推进会，意味着长沙垃圾分类战役的全面打响．某小区准备购买A、B两种型号的垃圾箱，通过市场调研得知：购买3个A型垃圾箱和2个B型垃圾箱共需540元，购买2个A型垃圾箱比购买3个B型垃圾箱少用160元．

（1）每个A型垃圾箱和B型垃圾箱分别是多少元？

（2）若该小区物业计划用低于2150元的资金购买A、B两种型号的垃圾箱共20个，且至少购买6个B型垃圾箱，请问有几种购买方案？

3．（2020春•三水区期末）三水某工厂最近准备复工复产，需要面向社会招聘A，B两个工种的工人共150人．现要求B工种的人数不少于A工种人数的2倍，且B工种的人数比A工种人数多出的数量不超过54人．请回答以下问题：

（1）若设A工种工人人数为x，那么B工种工人人数为____________________；

（2）请利用不等式的知识求出招聘的所有方案；

（3）若A，B两个工种的工人的月工资分别是5000和8000元，怎样招聘可使每月所付的工资总额最少，最少工资总额是多少？

4．（2020春•昭通期末）某工厂计划生产A，B两种产品共10件，其生产成本和利润如表：

（1）若工厂计划获利13万元，问A，B两种产品应分别生产多少件？

（2）若工厂投入资金不超过45万元，且获利不少于15万元，问该工厂有哪几种生产方案？

（3）在（2）条件下，求出最大利润．

5．（2020春•阜平县期末）某储运站现有甲种货物1530吨，乙种货物1150吨，安排用一列货车将这批货物运往青岛，这列货车可挂A，B两种不同规格的货厢50节．已知甲种货物35吨和乙种货物15吨可装满一节A型货厢，甲种货物25吨和乙种货物35吨可装满一节B型货厢，按此要求安排A，B两种货厢的节数，有哪几种运输方案？（先填写表格，再设计方案）．

设用A型货厢x节，则用B型货厢（50﹣x）节．

6．（2020•张家界）阅读下面的材料：

对于实数a，b，我们定义符号min{a，b}的意义为：当a＜b时，min{a，b}＝a；当a≥b时，min{a，b}＝b，如：min{4，﹣2}＝﹣2，min{5，5}＝5．

根据上面的材料回答下列问题：

（1）min{﹣1，3}＝__________；

（2）当min时，求x的取值范围．