初中数学浙教版八年级上册1.1 认识三角形达标测试

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专题01 三角形的高与三角形的中线结合
1．如图，△ABC中，BD、BE分别是高和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE，交BD于点G，交BC于点H .下列结论：
①∠DBE=∠F；②∠F=∠BAC-∠C；
③2∠BEF=∠BAF+∠C；④∠BGH=∠ABE+∠C．其中正确的有（       ）

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
根据BD⊥FD，FH⊥BE和∠FGD=∠BGH，证明结论正确；
②证明∠DBE=∠BAC-∠C，根据①的结论，证明结论正确；
③根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确；
④根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确．
【详解】
①∵BD⊥FD，
∴∠FGD+∠F=90°，
∵FH⊥BE，
∴∠BGH+∠DBE=90°，
∵∠FGD=∠BGH，
∴∠DBE=∠F，
正确；
②

∠ABD=90°−∠BAC,
∠DBE=∠ABE−∠ABD=∠ABE−90°+∠BAC=∠CBD−∠DBE−90°+∠BAC，
∵∠CBD=90°−∠C，
∴∠DBE=∠BAC−∠C−∠DBE，
由①得，∠DBE=∠F，
∴∠F=∠BAC−∠C−∠DBE，
②错误；
③∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∠BEF=∠CBE+∠C，
∴2∠BEF=∠ABC+2∠C，
∠BAF=∠ABC+∠C，
∴2∠BEF=∠BAF+∠C，
③正确；
④∵∠AEB=∠EBC+∠C，
∵∠ABE=∠CBE，
∴∠AEB=∠ABE+∠C，
∵BD⊥FC，FH⊥BE，
∴∠FGD=∠FEB，
∴∠BGH=∠ABE+∠C，
④正确，
故答案为①③④.
【点睛】
本题主要考查三角形内角和定理, 三角形的角平分线、中线和高, 三角形的外角性质，熟悉掌握是关键.
2．如图，AD，AE分别是的高和角平分线，，，则______度．

【答案】15
【解析】
【分析】
先根据三角形内角和定理求出∠BAC，再根据角平分线定义和直角三角形的两锐角互余求得∠EAC和∠DAC的度数即可解答．
【详解】
∵，，
∴．
∵AE是角平分线，
∴．
∵AD是高，，
∴，
∴，
故答案为：15．
【点睛】
本题考查三角形内角和定理、三角形的角平分线与高、直角三角形两锐角互余，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
3．如图：中，，，于D，CE平分，于F，则______°．

【答案】80
【解析】
【分析】
先求解 再利用角平分线的定义求解 结合三角形的高求解 从而可得 再利用三角形的内角和定理可得答案.
【详解】
解： ，，

CE平分，

，，


，

故答案为：
【点睛】
本题考查的是三角形的高，角平分线的定义，三角形的内角和定理的应用，熟悉概念，掌握严谨的逻辑推理是解本题的关键.
4．如图，在中，BE平分，于点E，的面积为2，则的面积是______．

【答案】4
【解析】
【分析】
延长AE交BC于D，由已知条件得到，，根据全等三角形的判定和性质可得，利用等底同高找出面积相等的三角形即可得出结论．
【详解】
解：延长AE交BC于D，

∵BE平分，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，，
∴
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，正确的作出辅助线是解题的关键．
5．如图，在ABC中，∠ACB=90°，∠CDB=90°，CE是ABC的角平分线．已知∠CEB=105°，求∠ECB，∠ECD的大小．

【答案】∠ECB=45°，∠ECD=15°
【解析】
【分析】
由CE平分∠ACB，可得∠ECB的度数，根据CD是AB边的高可知∠CDE=90°，再根据三角形的外角性质有∠CEB=∠CDE+∠ECD，据此得∠ECD的度数．
【详解】
解：∵平分，，
∴
∵是边的高
∴
而，
∴
【点睛】
本题考查三角形的高，角平分线定义以及外角的性质，熟记这些性质是解题的关键．
6．已知，如图，在△中，分别是△的高和角平分线，若,;求的度数.

【答案】
【解析】
【分析】
根据三角形内角和定理得到∠BAC+∠B+∠C=180°，而∠B=30°，∠C=50°，可求得∠BAC=180°-30°-50°=100°，根据△ABC的角平分线的定义得到∠EAC=∠BAC=50°，而AD为△的高，则∠ADC=90°，而∠C=50°，于是∠DAC=180°-90°-50°=40°，然后利用∠DAE=∠EAC-∠DAC计算即可．
【详解】
∵∠BAC+∠B+∠C=180°，
而∠B=30°,∠C=50°，
∴∠BAC=180°−30°−50°=100°，
∵AE是△ABC的角平分线，
∴∠EAC=∠BAC=50°，
又∵AD为△ABC的高，
∴∠ADC=90°，
而∠C=50°，
∴∠DAC=180°−90°−50°=40°，
∴∠DAE=∠EAC−∠DAC=50°−40°=10°.
故答案为10°.
【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理，解题的关键是熟练的掌握三角形的内角和定理并运用.
7．如图，AD是的高，CE是的角平分线．若，，求的度数．

【答案】
【解析】
【分析】
AD是的高，有；由知；CE是的角平分线可得；，；在中，．
【详解】
解：∵AD是的高
∴
∵
∴
∵CE是的角平分线
∴
∵
∴
∴在中，．
【点睛】
本题考查了角平分线．解题的关键在于正确表示各角度之间的数量关系．
8．在中，平分交于点D，，垂足为点H，若，，求的度数．

【答案】
【解析】
【分析】
根据三角形的角平分线算出，再根据三角形内角和定理算出，再根据算出，最后可算出．
【详解】
解：∵平分，
∴，
∵，
∴

，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了三角形的角平分线，三角形内角和定理和直角三角形的两个锐角互余，解题的关键是熟记三角形的角平分线，三角形内角和定理和直角三角形的两个锐角互余．
9．如图，已知是的角平分线，是的边上的高，与交于点，，，求和的度数．

【答案】，．
【解析】
【分析】
根据角平分线的定义可得，再根据直角三角形的两锐角互余可得，然后根据三角形的外角性质即可得．
【详解】
解：是的角平分线，且，
，
是的边上的高，且，
，
由三角形的外角性质得：．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义、直角三角形的两锐角互余、三角形的外角性质，熟练掌握角平分线的定义是解题关键．
10．如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB＝50°，∠C＝60°，求∠DAE和∠BOA的度数．

【答案】∠DAE＝5°，∠BOA＝120°
【解析】
【分析】
由∠CAB＝50°，∠C＝60°可求出∠ABC；由AE、BF是角平分线，得到∠CBF＝∠ABF＝35°，∠EAF＝∠EAB＝25°；由AD是高，得到∠DAC；从而计算得到∠DAE和∠BOA．
【详解】
∵∠CAB＝50°，∠C＝60°
∴∠ABC＝180°﹣50°﹣60°＝70°
∵AE、BF是角平分线
∴∠CBF＝∠ABF＝35°，∠EAF＝∠EAB＝25°
又∵AD是高
∴∠ADC＝90°
∴∠DAC＝180°﹣90°﹣∠C＝30°
∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAF＝5°
又∵∠ABF＝35°，∠EAB＝25°
∴∠BOA＝180°-∠EAB-∠ABF＝180°-25°-35°＝120°
∴∠DAE＝5°，∠BOA＝120°．
【点睛】
本题考查了三角形角平分线、直角三角形的知识；求解的关键是熟练掌握三角形以及直角三角形的性质，从而完成求解．
11．如图，在中，是边上的高，，分别是和的角平分线，它们相交于点，．求的度数．

【答案】．
【解析】
【分析】
根据角平分线的性质，由，得到，然后得到∠C，由余角的性质，即可求出答案.
【详解】
解：，分别是和的角平分线，
，．

，
，
．
是边上的高
，
．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质，三角形的内角和定理，以及余角的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确求出，从而求出答案.
12．如图，在中，是高，，分别是，的角平分线，它们相交于点，，，求和的度数.

【答案】，
【解析】
【分析】
因为AD是高，所以∠ADC=90°，又因为∠C=∠BAC+20°= 70°，所以∠DAC度数可求；因为∠BAC=50°，∠C=70°，所以∠BAO=25°，∠ABC=60°，BF是∠ABC的角平分线，则∠ABO=30°，故∠BOA的度数可求．
【详解】
解：

∵，
∴，
∴，
∵在中，是高，
∴在中，，
∵，分别是，的角平分线，
∴，，
∴,
所以，，.
故答案为 ； .
【点睛】
本题考查三角形的内角和定理，高线、角平分线的定义，熟记定义并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
13．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=50°，AE，CF是角平分线，它们相交于为O，AD是高，求∠BAD和∠AOC的度数．

【答案】∠BAD=40°，∠AOC=115°．
【解析】
【分析】
先根据直角三角形的两个锐角互余，求得再根据角平分线的定义，求得最后根据三角形内角和定理，求得中的度数．
【详解】
∵AD是高,
中,

∴△ABC中,
∵AE，CF是角平分线，

∴△AOC中,
14．如图，在中，，，线段CD和CE分别为的角平分线和高线．求、的大小．

【答案】
【解析】
【分析】
根据三角形内角和和得出，再根据角平分线性质求解，再得出，最后根据三角形的一个外角等于不相邻的两个内角和求解即可.
【详解】
解：∵在中，，，
∴，
∵CD为的角平分线，
∴，
∴，
∵CE为的高线，
∴，
∵，
∴．
【点睛】
本题主要考查三角形的角平分线、高、外角的性质，熟练掌握定义和性质是关键.
15．如图，在△ABC中，AD是△ABC的高线，AE、BF是△ABC的角平分线，且两条角平分线交于点O，∠BAD＝60°，∠C＝70°．

(1)求∠EAD的度数；
(2)直接写出∠AOB＝　 　．
【答案】(1)∠EAD=20°
(2)125°
【解析】
【分析】
(1)根据垂直的定义，角平分线的定义，以及角的和差关系即可求解；
（2）根据角平分线的定义，以及三角形内角和定理即可求解．
(1)
∵AD是∆ABC的高，∠C=70°，
∴∠CAD=90°-∠C=20°
∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=60°+20°=80°
又∵AE是∆ABC的平分线
∴∠BAE=∠EAC=°=40°
∴∠EAD=∠EAC-∠CAD=40°-20°=20°
(2)
∵∠ABC+∠BAC+∠C=180°
∴∠ABC=180°-∠BAC-∠C=180°-80°-70°=30°
又∵BF是∆ABC的角平分线，
∴∠ABF=°=15°
∵∠ABO+∠AOB+∠BAO=180°
∴∠AOB=180°-∠ABO-∠BAO=180°-15°-40°=125°
【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理，角平分线定义，解题的关键是熟悉掌握利用角平分线的性质．
16．如图，已知，分别是的高和角平分线，，．

(1)求；
(2)若，求的长．
【答案】(1)5°；
(2)4.8cm；
【解析】
【分析】
（1）由角平分线得到，由直角三角形的性质，得到，即可求出答案；
（2）利用三角形的面积公式，即可求出答案．
(1)
解：∵平分，，
∴，
∵⊥，
∴，
∴，
∴；
(2)
解：∵，，
又∵，
∴，
∴cm；
【点睛】
本题考查了角平分线的定义，直角三角形的性质，三角形的面积公式，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的进行解题．
17．已知，如图，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线．
（1）若∠B＝30°，∠C＝50°，求∠DAE的度数；
（2）探索∠DAE与∠C－∠B的关系，并说明．

【答案】(1)∠DAE＝10°．（2）∠DAE＝（∠C−∠B）．
【解析】
【分析】
（1）先根据三角形内角和得到∠CAB＝180°−∠B−∠C＝100°，再根据角平分线与高线的定义得到∠CAE＝∠CAB＝50°，∠ADC＝90°，则∠CAD＝90°−∠C＝40°，然后利用∠DAE＝∠CAE−∠CAD计算即可．
（2）根据题意可以用∠B和∠C表示出∠CAD和∠CAE，从而可以得到∠DAE与∠C−∠B的关系．
【详解】
解：(1)∵∠B＝30°，∠C＝50°，
∴∠CAB＝180°−∠B−∠C＝100°，
∵AE是△ABC角平分线，
∴∠CAE＝∠CAB＝50°，
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CAD＝90°−∠C＝40°，
∴∠DAE＝∠CAE−∠CAD＝50°−40°＝10°．
（2）∠DAE＝（∠C−∠B），
理由：∵∠CAB+∠B+∠C=180°，
∴∠CAB =180°-∠B-∠C，
∵AE是△ABC角平分线，
∴∠CAE＝∠CAB＝，
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CAD＝90°−∠C，
∴∠DAE＝∠CAE−∠CAD
=．
＝
=
＝（∠C−∠B）．
【点睛】
本题考查三角形内角和定理、角的平分线的性质、直角三角形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
18．如图，在ABC中AD、AE、AF分别为△ABC的高、角平分线和中线，已知AFC的面积为10，AD＝4，∠DAE＝20°，∠C＝30°．
（1）求BC的长度；
（2）求∠B的度数．

【答案】（1）10；（2）70°
【解析】
【分析】
（1）求出△ABF和△ACF的面积相等，根据三角形的面积求出BF，再求出BC即可；
（2）求出∠AED的度数，根据三角形的外角性质求出∠CAE，根据角平行线的定义求出∠BAC，根据三角形内角和定理求出∠B即可．
【详解】
解：（1）∵AF是△ABC的中线，
∴BC＝2BF＝2CF，BF＝CF，
∴△ABF和△ACF的面积相等，
∵△AFC的面积为10，
∴∠ABF的面积为10，
∵AD＝4，
∴＝10，
∴BF＝5，
∴BC＝2BF＝10；
（2）∵AD是△ABC的高，
∴∠ADC＝90°，
∵∠DAE＝20°，
∴∠AED＝180°﹣90°﹣20°＝70°，
∵∠C＝30°，
∴∠CAE＝∠AED﹣∠C＝40°，
∵AE是△ABC的角平分线，
∴∠BAC＝2∠CAE＝80°，
∴∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝180°﹣80°﹣30°＝70°．
【点睛】
本题考查了三角形的角平分线、中线、高，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，三角形的面积等知识点，能求出BF的长和∠CAE的度数是解此题的关键．
19．已知，如图，在中，，，分别是的高线和角平分线．

（1）若，求的度数；
（2）试写出与有何关系？（不必证明）
【答案】（1）∠DAE=10°；（2）∠DAE=
【解析】
【分析】
（1）根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再根据角平分线和高线分别求出∠CAE和∠CAD，则∠DAE=∠CAE-∠CAD；
（2）根据（1）的方法分别表示出∠CAE和∠CAD，即可得出∠DAE与∠C-∠B的关系．
【详解】
（1）在△ABC中，
∵∠B=30°，∠C=50°，
∴∠BAC=180°-30°-50°=100°
∵AE平分∠BAC
∴∠CAE=∠BAC=50°，
∵AD⊥BC
∴∠CAD=90°-∠C=90°-50°=40°
∴∠DAE=∠CAE-∠CAD=50°-40°=10°
（2）在△ABC中，
∠BAC=
∵AE平分∠BAC
∴∠CAE=∠BAC=，
∵AD⊥BC
∴∠CAD=90°-∠C
∴∠DAE=∠CAE-∠CAD==
【点睛】
本题考查三角形中的角度计算，熟练掌握三角形内角和定理，角平分线和高线的定义是解题的关键．
20．如图，在中，是边上的高，是的平分线.

（1）若，，求的度数；
（2）若，，求的度数（用含，的式子表示）
（3）当线段沿方向平移时，平移后的线段与线段交于点，与交于点，若，，求与、的数量关系.
【答案】（1）∠DCE＝18°；；（2） (β－α)；（3）∠HGE＝ (β－α)．
【解析】
【分析】
（1）根据三角形的内角和得到∠ACB=64°，根据角平分线的定义得到∠ECB=∠ACB=32°，根据余角的定义得到∠DCE=90°-∠DEC=184°，于是得到结论；
（2）根据角平分线的定义得到∠ACB=180°-α-β，根据角平分线的定义得到∠ECB=∠ACB=（180°-α-β），根据余角的定义得到∠BCD=90°-∠B=90°-β，于是得到结论；
（3）作出平移图，因为GH∥CD，所以∠HGE＝∠DCE，由（2）得到∠DCE＝ (β－α)，进而得到∠HGE＝ (β－α)
【详解】
解：（1）∵ ∠A＝40°，∠B＝76°，
∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝180°－40°－76°＝64°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE＝∠ACB＝×64°＝32°，
∴∠DEC＝∠A＋∠ACE＝40°＋32°＝72°，
∵CD是AB边上的高，
∴∠CDE＝90°，
∴∠DCE＝90°－∠DEC＝90°－72°＝18°；
（2）∵∠A＝α，∠B＝β，
∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝180°－α－β，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE＝∠ACB＝ (180°－α－β)＝90°－α－β，
∴∠DEC＝∠A＋∠ACE＝α＋90°－α－β=90°＋α－β，
∵CE是AB边上的高，
∴∠CDE＝90°，
∴∠ECD＝90°－∠DEC
＝90°－(90°＋α－β)＝β－α
＝ (β－α)；
（3）如图，由平移知GH∥CD，所以∠HGE＝∠DCE，

由（2）知∠DCE＝ (β－α)，
所以∠HGE＝∠DCE ＝ (β－α)，
即∠HGE与α，β的数量关系
为∠HGE＝ (β－α)．
【点睛】
本题考查了三角形的内角和，角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和是解题的关键．
21．如图①，平分，⊥，∠B=450,∠C=730．
（1） 求的度数；
（2） 如图②，若把“⊥”变成“点F在DA的延长线上，”，其它条件不变，求 的度数；
（3） 如图③，若把“⊥”变成“平分”，其它条件不变，的大小是否变化，并请说明理由．

【答案】（1）∠DAE =14°；（2）∠DFE =14°；（3）∠DAE 的大小不变，∠DAE =14°，证明详见解析.
【解析】
【分析】
（1）求出∠ADE的度数，利用∠DAE=90°-∠ADE即可求出∠DAE的度数．
（2）求出∠ADE的度数，利用∠DFE=90°-∠ADE即可求出∠DAE的度数．
（3）利用AE平分∠BEC，AD平分∠BAC，求出∠DFE=15°即是最好的证明．
【详解】
（1）∵∠B=45°，∠C=73°，
∴∠BAC=62°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD=31°，
∴∠ADE=∠B+∠BAD=45°+31°=76°，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB=90°，
∴∠DAE=90°-∠ADE=14°．
（2）同（1），可得，∠ADE=76°，
∵FE⊥BC，
∴∠FEB=90°，
∴∠DFE=90°-∠ADE=14°．
（3）的大小不变.=14°
理由：∵   AD平分∠ BAC，AE平分∠BEC
∴∠BAC=2∠BAD，∠BEC=2∠AEB
∵   ∠BAC+∠B+∠BEC+∠C =360°
∴2∠BAD+2∠AEB=360°-∠B-∠C=242°
∴∠BAD+∠AEB=121°
∵   ∠ADE=∠B+∠BAD
∴∠ADE=45°+∠BAD
∴∠DAE=180°-∠AEB-∠ADE=180°-∠AEB-45°-∠BAD=135°-（∠AEB+∠BAD）=135°-121°=14°
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理和三角形外角的性质，熟练掌握性质是解题的关键.
22．如图，在中，是高，是角平分线，，．

（）求、和的度数．
（）若图形发生了变化，已知的两个角度数改为：当，，则__________．
当，时，则__________．
当，时，则__________．
当，时，则__________．
（）若和的度数改为用字母和来表示，你能找到与和之间的关系吗？请直接写出你发现的结论．
【答案】（1）30°，70°，20°；（2）15°，5°，0°，5°；（3）当时，；当时，．
【解析】
【分析】
（1）先利用三角形内角和定理求出的度数，再根据角平分线和高的性质分别得出和的度数，进而可求和的度数；
（2）先利用三角形内角和定理求出的度数，再根据角平分线和高的性质分别得出和的度数，则前三问利用即可得出答案，第4问利用即可得出答案；
（3）按照（2）的方法，将相应的数换成字母即可得出答案．
【详解】
（1）∵，，
∴ ．
∵平分，
∴．
∵是高，
，
，
，
．
（2）当，时，
∵，，
∴．
∵平分，
∴．
∵是高，
，
，
；
当，时，
∵，，
∴ ．
∵平分，
∴．
∵是高，
，
，
；
当，时，
∵，，
∴．
∵平分，
∴．
∵是高，
，
，
；
当，时，
∵，，
∴．
∵平分，
∴．
∵是高，
，
，
．
（3）当 时，即时，
∵，，
∴ ．
∵平分，
∴．
∵是高，
，
，
；
当 时，即时，
∵，，
∴ ．
∵平分，
∴．
∵是高，
，
，
；
综上所述，当时，；当时，．
【点睛】
本题主要考查三角形内角和定理和三角形的角平分线，高，掌握三角形内角和定理和直角三角形两锐角互余是解题的关键．