第19练 复数的概念-高考数学一轮复习小题多维练（新高考专用）

专题06  复数

第19练 复数的概念和运算

1．（2022·浙江·高考真题）已知（为虚数单位），则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】，而为实数，故，

故选：B.

2．（2022·浙江·镇海中学模拟）已知复数是纯虚数（i为虚数单位），则（       ）

A．2或 B．2 C． D．0

【答案】C

【解析】因为复数是纯虚数，

所以且，

所以．

故选：C.

3．（2022·江苏南通·模拟）在复平面内，一个正方形的3个顶点对应的复数分别是1＋2i，－2＋i，0，则第4个顶点对应的复数为（       ）

A．－1＋2i B．－1＋3i C．3i D．

【答案】B

【解析】复数1＋2i，－2＋i，0所对应的点分别是A（1，2），B（－2，1），O（0，0），

由题意可知，正方形以为邻边，设另一点为D（x，y），

所以

则，解得，

∴.

故选：B．

4．（2022·江苏徐州·模拟）已知复数z满足（i为虚数单位），则（       ）

A． B．5 C． D．10

【答案】C

【解析】由题意有：，

从而有.

∴．

故选：C

5．（2022·上海青浦·二模）已知为虚数单位，复数，则_________．

【答案】

【解析】解：因为，

所以.

故答案为：.

6．（2022·黑龙江·哈九中二模（理））复数z满足（其中i为虚数单位），则______．

【答案】

【解析】∵，∴.

另解：.

故答案为：.

1．（2022·浙江·杭师大附中模拟）欧拉公式（其中i是虚数单位，e是自然对数的底数）是数学中的一个神奇公式．根据欧拉公式，复数在复平面上所对应的点在（       ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【解析】由欧拉公式，在复平面内对应点在第一象限．

故选：A．

2．（2022·江苏泰州·模拟）已知复数z满足，则|z|＝（       ）

A．1 B． C．2 D．2

【答案】C

【解析】解：由已知得，则，∴，

故选：C．

3．（2022·湖北·荆州中学模拟）设复数满足，则（        ）

A． B． C．1 D．

【答案】D

【解析】由题意得，，即，所以，

故选：D.

4．（2022·江苏南通·模拟）在复平面内，O为坐标原点，复数4i对应的向量为，将绕点O按逆时针方向旋转60°后，再将模变为原来的倍，得到向量，则对应的复数的实部是（       ）

A．6 B．－6 C． D．

【答案】B

【解析】绕O点逆时针方向旋转后变为再将模变为倍，得，对应的复数的实部是－6.

故选：B.

5．（2022·上海·模拟）对于复数a、b、c、d，若集合具有性质“对任意，必有”，则当时，_________．

【答案】

【解析】∵，则，即，则

若，则取，则

若，则取，则，

经检验满足题意

∴

故答案为：．

6．（2022·天津市第四中学模拟）设复数满足，的实部与虚部互为相反数，则___________.

【答案】或0

【解析】设，

因为复数满足，的实部与虚部互为相反数，

所以，解得或

所以或

所以或0

故答案为：或0

7．（2022·江苏·扬州中学模拟）写出一个虚数z，使得为纯虚数，则___________.

【答案】（答案不唯一）．

【解析】设（，，），则，因为为纯虚数，所以且.

任取不为零的实数，求出即可得，答案不确定，如，

故答案为：．

8．（2022·北京·潞河中学三模）若复数为纯虚数，则实数________.

【答案】-1

【解析】解：为纯虚数，

，解得．

故答案为：．

1．（2022·湖北·模拟）瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写下，被誉为“数学中的天桥”，据此（       ）

A．1 B． C．0 D．

【答案】B

【解析】

，

故选：B

2．（2022·辽宁沈阳·三模）已知复数和，则“”是“”的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】，复数和是实数，成立，

当时，例如，推不出，

所以“”是“”的充分不必要条件.

故选：A

3．（2022·山东·胜利一中模拟）若复数z满足，则的最大值为（       ）

A．1 B．2 C．5 D．6

【答案】C

【解析】设.

则表示复平面点到点的距离为3.

则的最大值为点到的距离加上3.

即.

故选：C.

4．（2022·江苏南京·模拟）当复数满足时，则的最大值是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】设，则，

所以，复数在复平面内对应的点的轨迹方程为，

圆的圆心坐标为，半径长为，

表示圆上的点到定点的距离，

因此，的最大值为.

故选：B

5．（2022·重庆市天星桥中学一模）复数在复平面内对应的点为，将点绕坐标原点逆时针旋转一定的角度，得到点，对应的复数为，则（       ）．

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】由题意知点的坐标为，

设射线是角的终边，则有，，

旋转后所得的射线为角的终边，设，

则，

，

∴，

故选：C．

6．（2022·北京·101中学模拟）满足条件的复数在复平面上对应点的轨迹是（     ）

A．一条直线 B．两条直线 C．圆 D．椭圆

【答案】C

【解析】因为，所以， 因此复数在复平面上对应点的轨迹是圆，选C.

7．（2022·湖北省仙桃中学模拟）已知单位向量分别对应复数，且，则可能为（       ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【解析】因为单位向量分别对应复数，

设复数，，

因为，所以，即，

所以，

故选：AD.

8．（2022·湖北·襄阳四中模拟）18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如，也即复数的模的几何意义为对应的点到原点的距离.下列说法正确的是（       ）

A．若，则或

B．复数与分别对应向量与，则向量对应的复数为9+i

C．若点的坐标为，则对应的点在第三象限

D．若复数满足，则复数对应的点所构成的图形面积为

【答案】BCD

【解析】对于选项A，设，只需即可，故错误；

对于选项B，复数与分别表示向量与，

表示向量的复数为，故正确；

对于选项C，点的坐标为，则对应的点为，在第三象限，故正确；

对于选项D，若复数满足，则复数对应的点在以原点为圆心，内圆半径为1，外圆半径为的圆环上，故所构成的图形面积为，故正确；

故选：BCD．

9．（2022·上海黄浦·二模）已知复数z满足，则的最大值为___________．

【答案】3

【解析】不妨设，

由可得，，故点在上运动，

又因为，

所以，即点与点之间的距离，

从而的最大值为点到上一点的最大距离，

又因为是以圆心，半径为1的圆，

故圆心与点之间的距离，

从而的最大值为.

故答案为：3.

10．（2022·江苏·扬中市第二高级中学模拟）若为虚数单位，复数满足，则的最大值为_______.

【答案】

【解析】复数满足，即

即复数对应的点到点的距离满足

设，表示复数对应的点到点的距离

数形结合可知的最大值

故答案为：