第22练 简单几何体的表面积与体积-高考数学一轮复习小题多维练（新高考专用）

专题07  立体几何初步

第22练 简单几何体的表面积与体积

1．（2022·天津·南开中学模拟）圆柱内有一个球，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，已知圆柱的体积为，则球的体积为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】设球的半径为R，则圆柱的底面圆的半径为R，高为2R，

所以，解得：，

则球的体积为

故选：A

2．（2022·天津市新华中学模拟）已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱体积比是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】设球的半径为，则圆柱的底面半径为，高为，

因为，

所以．

故选：A

3．（2022·辽宁·二模）如图所示直三棱柱容器中，且，把容器装满水(容器厚度忽略不计)，将底面BCFE平放在桌面上，放水过程中当水面高度为AB的一半时，剩余水量与原来水量之比的比值为(       )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

如图，柱体体积公式是底面积乘高，高没变，没有水的部分底面积变为原来的，

故放出水量是原来水量的，剩余水量是原来水量的．

故选：A．

4．（2022·河北保定·一模）圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的表面积与圆柱的侧面积的比值为（       ）

A．1∶1 B．1∶2 C．2∶1 D．2∶3

【答案】A

【解析】设球的半径的r，依题意圆柱的底面半径也是r，高是2r，

圆柱的侧面积= ，球的表面积为 ，

其比例为1:1，

故选：A.

5．（2022·上海闵行·二模）已知一个圆柱的高不变，它的体积扩大为原来的4倍，则它的侧面积扩大为原来的___________倍.

【答案】2

【解析】设圆柱的高为，底面半径为，则体积为，体积扩大为原来的4倍，则扩大后的体积为，因为高不变，故体积，即底面半径扩大为原来的2倍，原来侧面积为，扩大后的圆柱侧面积为，故侧面积扩大为原来的2倍.

故答案为：2

6．（2022·江苏江苏·一模）已知圆柱和圆锥的底面重合，且母线长相等，该圆柱和圆锥的表面积分别为，，则__________.

【答案】

【解析】设圆柱与圆锥的半径均为，母线为，

故，，

所以，

故答案为：.

1．（2022·全国·高考真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】设正三棱台上下底面所在圆面的半径，所以，即，设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，所以，，故或，即或，解得符合题意，所以球的表面积为．

故选：A．

2．（2022·浙江·三模）某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积（单位：）是（       ）

A． B．2 C．3 D．

【答案】C

【解析】从三视图可以得到直观图为直六棱柱，如图所示，

在俯视图中，可以求出底面积为，从正视图和侧视图可知直六棱柱的高为1，所以该几何体的体积是.

故选：C.

3．（2022·福建省福州第一中学三模）已知，分别是圆柱上､下底面圆的直径，且，.，O分别为上､下底面的圆心，若圆柱的底面圆半径与母线长相等，且三棱锥的体积为18，则该圆柱的侧面积为（       ）

A．9 B．12 C．16 D．18

【答案】D

【解析】分别过作圆柱的母线，连接，设圆柱的底面半径为

则三棱锥的体积为两个全等四棱锥减去两个全等三棱锥

即，则

圆柱的侧面积为

故选：D．

4．（2022·山东临沂·三模）战国时期的铜镞是一种兵器，其由两部分组成，前段是高为3cm、底面边长为2cm的正三棱锥，后段是高为1cm的圆柱，圆柱底面圆与正三棱锥底面的正三角形内切，则此铜镞的体积为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】由题意，铜镞的直观图如图所示，

三棱锥的体积，

因为圆柱的底面圆与正三棱锥底面的正三角形内切，

所以圆柱的底面圆的半径，所以圆柱的体积

所以此铜镞的体积为

故选：A.

5．（2022·山东淄博·三模）若球的半径为，一个内接圆台的两底面半径分别为和（球心在圆台的两底面之间），则圆台的体积为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】解：如图，

由题意可知，，，，

则，

，

圆台的高为，

圆台体积为．

故选：A．

6．（2022·湖北·黄冈中学三模）圆柱上、下底面的圆周都在一个体积为的球面上，圆柱底面直径为8，则该圆柱的体积为_______

【答案】

【解析】球的半径为，，解得，圆柱的高为：．可得．

故答案为：．

7．（2022·湖南岳阳·模拟）某球形巧克力设计了一种圆柱形包装盒，每盒可装7个球形巧克力，每盒只装一层，相邻的球形巧克力相切，与包装盒接触的6个球形巧克力与包装盒相切，如图是平行于底面且过圆柱母线中点的截面，设包装盒的底面半径为，球形巧克力的半径为，每个球形巧克力的体积为，包装盒的体积为，则 ________

【答案】

【解析】由图知，包装盒的高为，因此，，又，

所以.

故答案为：

8．（2022·湖北·模拟）表面积为的多面体的每一个面都与体积为的球相切，则这个多面体的体积为__________.

【答案】

【解析】解：因为球的体积为．

设球的半径为，所以，解．

因为表面积为的多面体的每一个面都与体积为的球相切，

所以球的半径就是球心到多面体面的距离，

所以多面体的体积为．

故答案为：．

9．（2022·山西吕梁·三模（文））已知球的一个截面面积为，若球上的点到该截面的最大距离为3，则球的表面积为__________．

【答案】

【解析】设球的半径为，截面圆的半径为到截面的距离为，

则由题意得 解得

所以球的表面积为

故答案为：

10．（2022·天津红桥·二模）两个圆锥的底面是一个球的同一个截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为1:3，则这两个圆锥的体积之和为______.

【答案】

【解析】设球的半径为，因为球的体积为，所以有，

设两个圆锥的高分别为，于是有且，

所以有，设圆锥的底面半径为，

所以有，

因此这两个圆锥的体积之和为，

故答案为：

1．（2022·北京二中模拟）如图所示，一套组合玩具需在一半径为3的球外罩上一个倒置圆锥，则圆锥体积的最小值为（       ）

A．64π B．40π C．84π D．72π

【答案】D

【解析】解：设母线与底面的夹角，底面半径，内切球半径，圆锥的高，

则：，，

圆锥的体积

，

而，，所以， 又因为：定值

所以，

当且仅当，即时，所以．

故选：D．

2．（2022·福建·三明一中模拟）已知一个圆柱的底面直径与高都等于球O的半径，则该圆柱的表面积与球O的表面积之比为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】设球的半径为,则该圆柱的底面半径为，高为

所以圆柱的表面积为：,球的表面积为：

则圆柱的表面积与球的表面积之比为

故选：C

3．（2022·山东泰安·模拟）在底面是正方形的四棱锥中，底面ABCD，且，则四棱锥内切球的表面积为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】解：由题意，设四棱锥内切球的半径为r，

因为，四棱锥的表面积，

所以，

所以四棱锥内切球的表面积为.

故选：B.

4．（2022·山东聊城·三模）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥.若一个直角圆锥的侧面积为，圆锥的底面圆周和顶点都在同一球面上，则该球的体积为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】设球半径为，圆锥的底面半径为，若一个直角圆锥的侧面积为，

设母线为，则，

所以直角圆锥的侧面积为：，

可得：，，圆锥的高，

由，解得：，

所以球的体积等于，

故选：B

5．（2022·广东·华南师大附中三模）已知圆锥的顶点为P，母线长为2，底面圆直径为，A，B，C为底面圆周上的三个不同的动点，M为母线PC上一点，则下列说法正确的是（       ）

A．当A，B为底面圆直径的两个端点时，

B．△PAB面积的最大值为

C．当△PAB面积最大值时，三棱锥C-PAB的体积最大值为

D．当AB为直径且C为弧AB的中点时，的最小值为

【答案】ACD

【解析】对于A，记圆锥底面圆心为O，，所以，所以，故A正确；

对于B，设，则截面三角形的面积，故B不正确；

对于C，由选项B中推理可知，此时，所以点C到AB的距离的最大值为，从而可知三棱锥C-PAB的体积最大值为，故C选项正确；

对于D，由题意可得△PAC和△PBC全等，在△PAC中，，，所以，进而，

记PC边上的高为h（垂足为Q），则，所以，当M与Q重合时取等号，故D选项正确；

故选：ACD．

6．（2022·湖南师大附中三模）如图，水平桌面上放置一个棱长为4的正方体水槽，水面高度为2，水槽侧面上有一个小孔E，点E到直线CD的距离为3，将该水槽绕CD倾斜（CD始终在桌面上）至恰有水从小孔流出，则在倾斜过程中，下列说法正确的有（     ）

A．没水的部分始终呈四棱柱形

B．水面始终经过水槽的外接球的球心

C．水面的面积为定值

D．E到桌面的最小距离为

【答案】AB

【解析】设水面与棱交于点，与棱交于点，与棱交于点，与棱交于点，

由四棱柱的定义，几何体为直四棱柱，故A正确；

水槽绕CD倾斜至恰有水从小孔流出过程中，

水的体积不变，，

所以线段分别恒过正方形的中心，即水面恒过正方体体心，又因为正方体体心为其外接球球心，B显然正确；

对于C选项：水面的面积，由于不为定值，所以水面面积不为定值，故C错误；对于D选项；易知水槽绕CD倾斜至恰有水从小孔流出时E到桌面的距离最小，如图，桌面，到桌面的距离等于到桌面的距离，，故D错误.

故选：AB.

7．（2022·广东广州·三模）某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面中，，且，则（       ）

A．该圆台的高为

B．该圆台轴截面面积为

C．该圆台的体积为

D．一只小虫从点沿着该圆台的侧面爬行到的中点，所经过的最短路程为

【答案】BCD

【解析】

如图，作交于，易得，则，则圆台的高为，A错误；

圆台的轴截面面积为，B正确；圆台的体积为，C正确；

将圆台一半侧面展开，如下图中，设为中点，圆台对应的圆锥一半侧面展开为扇形，

由可得，则，，又，则，

即点到的中点所经过的最短路程为，D正确.

故选：BCD.

8．（2022·辽宁·抚顺市第二中学三模）已知空间四边形，，，，，球心O在平面ABC上，且与直线PA、直线PB、直线PC都相切，则球O的半径为__________．（直线与球面有唯一公共点称为直线与球相切）

【答案】

【解析】过点作平面,垂足为，

∴△≌△≌△,

∴,

∴为△外接圆的圆心，

又∵△为正三角形，

∴为△外接圆的中心，

由对称性可知点和重合，

由已知得,

过点作边上的垂线,垂足为，即,

,   ,

设与球心O相切于点，则,

,

则球O的半径为,

故答案为：.

9．（2022·河北·模拟）如图，在正三棱柱中，与平面所成的角为，则该三棱柱外接球的表面积为___________.

【答案】

【解析】

如图，取BC的中点M，连结A1M，AM，因为是正三棱柱，所以球心O在上下底面中心O1O2连线的中点，即外接球的半径R=OA1，

又因为与平面所成的角为，所以AA1与平面所成的角为，

又因为是正三棱柱，所以∠AA1M=45°，所以，

所以

所以外接球面积为.

故答案为：.

10．（2022·福建省福州第一中学三模）在三棱锥中，平面，，，则三棱锥外接球的表面积为___________；若动点M在该三棱锥外接球上，且，则点M的轨迹长为___________.

【答案】         

【解析】由平面，得，三棱锥为直三棱锥，其外接球相当于以为棱的长方体的外接球，故外接球半径为，故三棱锥外接球的表面积为；

如图，中点为F，则易得以为棱的正方体，由正方体的对称性，要使，则M在的角平分面上，即面，故M的轨迹为面与外接球相交出的圆.

取AP、HE中点I、J，由正方体的对称性易得面面，且，故，故IJ上的高，故M的轨迹圆的半径，故轨迹长为.

故答案为：；