专题11 圆锥曲线的方程-高考数学一轮复习小题多维练（新高考专用）

专题11 圆锥曲线的方程

1．（2022·山东烟台·三模）过双曲线：（，）的焦点且斜率不为0的直线交于A，两点，为中点，若，则的离心率为（       ）

A． B．2 C． D．

【答案】D

【解析】不妨设过双曲线的焦点且斜率不为0的直线为，令

由，整理得

则，

则，由，可得

则有，即，则双曲线的离心率

故选：D

2．（2022·北京市大兴区兴华中学三模）双曲线的两条渐近线互相垂直，则（       ）

A．1 B．2 C．-1 D．-2

【答案】C

【解析】因为双曲线的方程为，所以，

所以双曲线的渐近线方程为，

又双曲线的两条渐近线互相垂直，

所以，所以，

故选：C.

3．（2022·江苏省木渎高级中学模拟）第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年2月在北京和张家口举行，北京冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，运用中国书法的艺术形态，将厚重的东方文化底蕴与国际化的现代风格融为一体，呈现出新时代的中国新形象、新梦想．会徽图形上半部分展现滑冰运动员的造型，下半部分表现滑雪运动员的英姿．中间舞动的线条流畅且充满韵律，代表举办地起伏的山峦、赛场、冰雪滑道和节日飘舞的丝带，下部为奥运五环，不仅象征五大洲的团结，而且强调所有参赛运动员应以公正、坦诚的运动员精神在比赛场上相见．其中奥运五环的大小和间距按以下比例（如图）：若圆半径均为12，则相邻圆圆心水平距离为26，两排圆圆心垂直距离为11，设五个圆的圆心分别为，若双曲线C以为焦点、以直线为一条渐近线，则C的离心率为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】依题意，以点为原点，直线为x轴建立平面直角坐标系，如图，点，

设双曲线C的方程为，其渐近线为，因直线为一条渐近线，

则有，双曲线C的离心率为.

故选：B

4．（2022·吉林·东北师大附中模拟（文））过双曲线的右顶点A作一条渐近线的平行线，交另一条渐近线于点P，的面积为1（O为坐标原点），则双曲线C的离心率为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】解：双曲线的右顶点为，双曲线的渐近线方程为，

过与平行的直线方程为，

联立，解得，即，

则，解得．

双曲线，则，所以离心率．

故选：A．

5．（2022·湖北·黄冈中学模拟）已知抛物线E：（）的焦点为F，点A是抛物线E的准线与坐标轴的交点，点P在抛物线E上，若，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】过作准线的垂线，垂足为，由，可得，由题意如图所示：

在中，可，

由抛物线的性质可得，所以，

在中，由正弦定理可得：，

所以，

故选：B．

6．（2022·北京·北大附中三模）已知半径为的圆经过点，且与直线相切，则其圆心到直线距离的最小值为（       ）

A．1 B． C．2 D．

【答案】B

【解析】依题意，设圆的圆心，动点到点的距离等于到直线的距离，

根据抛物线的定义可得圆心的轨迹方程为，

设圆心到直线距离为，

当时,

故选：B

方法二：可以设与直线平行的抛物线的切线方程，联立方程，利用判别式等

于零，得到切线方程，再利用平行线的距离公式得解；

方法三：在第一象限分析问题，转化为求函数的切线与直线平行，再利用平行线的距离公式得解.

7．（2022·山东聊城·三模）2021年4月12日，四川省三星堆遗址考古发据3号坑出土一件完整的圆口方尊，这是经科学考古发据出土的首件完整圆口方尊（图1）.北京冬奥会火种台“承天载物”的设计理念正是来源于此，它的基座沉稳，象征“地载万物”，顶部舒展开翩，寓意迎接纯洁的奥林匹克火种，一种圆口方尊的上部（图2）外形近似为双曲线的一部分绕着虚轴所在的直线旋转形成的曲面，该曲面的高为50cm，上口直径为cm，下口直径为25cm，最小横截面的直径为20cm，则该双曲线的离心率为（       ）

A． B．2 C． D．

【答案】D

【解析】设双曲线的标准方程为，

则由题意最小横截面的直径为20cm，可知，

设点，

则

解得，

所以，

故选：D

8．（2022·安徽淮南·二模（理））从双曲线的左焦点引圆的切线，切点为T，延长交双曲线右支于P点，M为线段的中点，O为坐标原点，若，则双曲线的离心率为（       ）

A． B． C．2 D．

【答案】B

【解析】设双曲线的右焦点，连接,

则△中，,，则

由直线与圆相切，可得

又双曲线中，

则

又，则，整理得

两边平方整理得，则双曲线的离心率

故选：B

9．（2022·山东·济南市历城第二中学模拟）（多选题）设，F为椭圆的左、右焦点，P为椭圆上的动点，且椭圆上至少有17个不同的点，，，，…组成公差为d的递增等差数列，则（       ）

A．的最大值为

B．的面积最大时，

C．d的取值范围为

D．椭圆上存在点P，使

【答案】ABC

【解析】由椭圆方程 知， .

选项A：因为P为椭圆上的动点，所以，所以的最大值为

，故A正确；

选项B：当点P为短轴顶点时，的高最大，所以的面积最大，

此时，所以B正确；

选项C：设，，，…组成公差为d的等差数列为，所以，，，

故C正确；

选项D：因为

，又 ，

所以 ，而 ，

当且仅当 时取等号.此时 ，

故此时最大. 此时

故D不成立.

故选：ABC．

10．（2022·辽宁实验中学模拟）（多选题）若曲线C的方程为，则（       ）

A．当时，曲线C表示椭圆，离心率为

B．当时，曲线C表示双曲线，渐近线方程为

C．当时，曲线C表示圆，半径为1

D．当曲线C表示椭圆时，焦距的最大值为4

【答案】BC

【解析】选项A，时，曲线方程为，表示椭圆，其中，，则，离心率为，A错；

选项B，时曲线方程为表示双曲线，渐近线方程为，即，B正确；

选项C，时，曲线方程为，表示圆，半径为1，C正确；

选项D，曲线C表示椭圆时，或，

时，，，，

时，，，，

所以，即，无最大值．D错．

故选：BC．

11．（2022·山东泰安·模拟）（多选题）已知椭圆的左，右焦点分别为，A，B两点都在C上，且A，B关于坐标原点对称，则（       ）

A．的最大值为 B．为定值

C．C的焦距是短轴长的2倍 D．存在点A，使得

【答案】ABD

【解析】解：由题意，，

所以，，所以A正确，C错误；

由椭圆的对称性知，，所以B正确；

当A在y轴上时，，则为钝角，所以存在点A，使得，所以D正确.

故选：ABD.

12．（2022·福建省厦门集美中学模拟）（多选题）过抛物线的焦点F的直线l与C交于A，B两点，设、，已知，，则（       ）

A．若直线l垂直于x轴，则 

B．

C．若P为C上的动点，则的最小值为5 

D．若点N在以AB为直径的圆上，则直线l的斜率为2

【答案】ABD

【解析】直线l垂直于x轴时，其方程为，联立可得或，

所以，，所以，A对，

由已知可得直线l的斜率不为0，故可设其方程为，

联立化简可得，

，设，

则，，B对，

点N在以AB为直径的圆上，则，又

所以，又，

所以，

所以，

所以，故，此时直线l的斜率为2，D对，

过点作垂直与准线，垂足为，

过点作垂直与准线，垂足为，

则，

所以，

当且仅当点的坐标为时等号成立，

所以的最小值为4，C错，

故选：ABD.

13．（2022·河南洛阳·模拟（理））已知F是椭圆：（）的右焦点，A为椭圆的下顶点，双曲线：（，）与椭圆共焦点，若直线与双曲线的一条渐近线平行，，的离心率分别为，，则的最小值为______．

【答案】

【解析】解：设的半焦距为c（），则，又，

所以，又直线与的一条渐近线平行，

所以，所以，

所以，

所以，

所以，

又，

当且仅当，即，时等号成立，

即的最小值为．

故答案为：

14．（2022·江西·赣州市第三中学模拟（理））已知抛物线的焦点为F，准线为l，A为C上的点，过A作l的垂线．垂足为B，若，则___________．

【答案】

【解析】如图，抛物线的准线与轴交点为，由已知得，，

，又，则，在轴上方，，

所以，，

所以轴，从而是正方形，．

故答案为：．

15．（2022·上海长宁·二模）已知双曲线的左、右焦点分别为，过且斜率为的直线与双曲线的左支交于点． 若，则双曲线的渐近线方程为________．

【答案】

【解析】因为，故，即，故，根据双曲线的定义有，故，又直线斜率为，故，所以，根据等腰三角形的性质有，即，解得，故.

故双曲线的渐近线方程为

故答案为：

16．（2022·北京·人大附中模拟）已知双曲线的焦点为，过的直线与双曲线的右支交于两点．若是公比为2的等比数列，则__________．的离心率为__________．

【答案】     ；    

【解析】

第一空：设，则，连接，由双曲线的定义得，

即，则，则，即；

第二空：由可得，即，解得，设双曲线实轴长为，焦距为，

则，则的离心率为.

故答案为：；.