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专题10 直线和圆的方程-高考数学一轮复习小题多维练（新高考专用）
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这是一份专题10 直线和圆的方程-高考数学一轮复习小题多维练（新高考专用）
专题10 直线和圆的方程1．（2022·福建·三明一中模拟）已知圆，圆，若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，使得，则实数的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题可知圆O 的半径为，圆M上存在点P，过点P作圆 O 的两条切线，切点分别为A，B，使得，则，在中，，所以点 在圆上，由于点 P 也在圆 M 上，故两圆有公共点.又圆 M 的半径等于1，圆心坐标，，∴，∴.故选：D.2．（2022·北京·首都师范大学附属中学三模）在圆中，过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积为（ ）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：圆，即，圆心为，半径，又，所以过点的最长弦，最短弦，且最短弦与最长弦互相垂直，所以；故选：B3．（2022·山东·烟台二中模拟）已知过点的动直线l与圆C：交于A，B两点，过A，B分别作C的切线，两切线交于点N．若动点，则的最小值为（ ）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【解析】易得圆心，半径为4，如图，连接，则，则四点在以为直径的圆上，设，则该圆的圆心为，半径为，圆的方程为，又该圆和圆的交点弦即为，故，整理得，又点在直线上，故，即点轨迹为，又在圆上，故的最小值为圆心到直线的距离减去半径1，即.故选：B.4．（2022·吉林长春·模拟（理））当圆截直线所得的弦长最短时，m的值为（ ）A． B． C．-1 D．1【答案】C【解析】直线过定点，圆的圆心为，半径，当时，圆截直线所得的弦长最短，由于，所以，即.故选：C5．（2022·湖北·荆州中学模拟）已知圆O：，已知直线l：与圆O的交点分别M，N，当直线l被圆O截得的弦长最小时，（ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】直线l：，即，所以直线过定点，，圆半径，点在圆内，所以当直线与垂直的时候，最短， 此时．故选：C．6．（2022·浙江·模拟）过x轴正半轴上一作圆的两条切线，切点分别为A，B，若，则的最小值为（ ）A．1 B． C．2 D．3【答案】A【解析】如图，连接交于点，易得，，由，最小时，最大，又，可得，即，最大时，最小，最小；又，则，故的最小值为1.故选：A.7．（2022·湖北武汉·模拟）2021年12月22日教育部提出五项管理“作业、睡眠、手机、课外阅读、健康管理”，体育锻炼是五项管理中一个非常重要的方面，各地中小学积极响应教育部政策，改善学生和教师锻炼设施设备.某中学建立“网红”气膜体育馆（图1），气膜体育馆具有现代感、美观、大气、舒适、环保的特点，深受学生和教师的喜爱.气膜体育馆从某个角度看，可以近似抽象为半椭球面形状，该体育馆设计图纸比例（长度比）为1∶20（单位：m），图纸中半椭球面的方程为（）（如图2），则该气膜体育馆占地面积为（ ）A．1000m2 B．540m2C．2000m2 D．1600m2【答案】D【解析】当时，在平面上的边缘投影为，即，所以投影是半径为2 m的圆，又体育馆设计图纸比例（长度比）为1∶20，故实际投影半径为40 m的圆，则面积为.故选：D8．（2022·广东·潮州市瓷都中学三模）圆C：上恰好存在2个点，它到直线的距离为1，则R的一个取值可能为（ ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】圆C：的圆心，半径R点C到直线的距离为圆C上恰好存在2个点到直线的距离为1，则故选：B9．（2022·山东省实验中学模拟）（多选题）对于平面直角坐标系内的任意两点，，定义它们之间的一种“距离”为．已知不同三点A，B，C满足，则下列结论正确的是（ ）A．A，B，C三点可能共线B．A，B，C三点可能构成锐角三角形C．A，B，C三点可能构成直角三角形D．A，B，C三点可能构成钝角三角形【答案】ACD【解析】令点，设点，则有，由得：，当时，A，B，C三点共线，且有成立，A正确；当时，则A，B，C三点不共线，若，有，且成立，为直角三角形，C正确；若，显然是钝角，且成立，为钝角三角形，D正确；若，不成立，显然A，B，C三点不可能构成锐角三角形，B不正确.故选：ACD10．（2022·河北沧州·二模）（多选题）已知直线，圆，则下列结论正确的有（ ）A．若，则直线恒过定点B．若，则圆可能过点C．若，则圆关于直线对称D．若，则直线与圆相交所得的弦长为2【答案】ACD【解析】当时，点恒在上，故选项正确；当时，将点代入，得，该方程无解，故选项错误；当时，直线恒过圆的圆心，故选项C正确；当时，与相交所得的弦长为2，故选项D正确.故选：ACD11．（2022·湖北·黄冈中学三模）（多选题）已知直线与圆交于、两点，且为锐角（其中为坐标原点），则实数的取值可以是（ ）A． B． C． D．【答案】BC【解析】设，则，可得，设圆心到直线的距离为，圆的圆心为原点，半径为，所以，，由点到直线的距离公式可得，所以，，解得或.故选：BC.12．（2022·广东·模拟）（多选题）已知圆和圆，过圆上任意一点作圆的两条切线，设两切点分别为，则（ ）A．线段的长度大于B．线段的长度小于C．当直线与圆相切时，原点到直线的距离为D．当直线平分圆的周长时，原点到直线的距离为【答案】AD【解析】如图示： ,根据直角三角形的等面积方法可得， ,由于，故，由于，故A正确，B错误；当直线与圆相切时，由题意可知AP斜率存在，故设AP方程为 ，则有 ，即 ， 即 或 ，设原点到直线的距离为d,则 ，当时， ；当时，，故C错误；当直线平分圆的周长时，即直线过点,AP斜率存在，设直线方程为，即 ，则 ，即，故原点到直线的距离为,则 ，故D正确；故选:AD13．（2022·上海虹口·二模）设，，三条直线：，：，：，则与的交点到的距离的最大值为_________.【答案】【解析】因为，所以，而直线：即过定点，：即过定点，所以与的交点在以为直径的圆上，圆方程为，即，所以到的距离的最大值为．故答案为：．14．（2022·江苏南京·模拟）已知中，，，点在直线上，的外接圆圆心为，则直线的方程为______．【答案】【解析】因为的外接圆圆心为，所以的外接圆半径为，即的外接圆方程为．联立，解得，或，所以或（与点重合），舍，所以直线的方程为，即．故答案为：.15．（2022·山东烟台·三模）已知动点到点的距离是到点的距离的2倍，记点的轨迹为，直线交于，两点，，若的面积为2，则实数的值为___________.【答案】或1【解析】设，则有整理得，即点的轨迹为以为圆心以2为半径的圆点到直线的距离直线交于，两点，则则的面积解之得或故答案为：或116．（2022·浙江省新昌中学模拟）瑞士著名数学家欧拉在年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在非等边中，，点坐标为，点坐标为，且其“欧拉线”与圆相切，则的“欧拉线”方程为____________，圆的半径____________．【答案】 【解析】线段的中点为，在非等边中，，所以，的“欧拉线”为线段的中垂线，，所以，的“欧拉线”方程为，即，由已知，圆与直线相切，故.故答案为：；.
专题10 直线和圆的方程1．（2022·福建·三明一中模拟）已知圆，圆，若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，使得，则实数的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题可知圆O 的半径为，圆M上存在点P，过点P作圆 O 的两条切线，切点分别为A，B，使得，则，在中，，所以点 在圆上，由于点 P 也在圆 M 上，故两圆有公共点.又圆 M 的半径等于1，圆心坐标，，∴，∴.故选：D.2．（2022·北京·首都师范大学附属中学三模）在圆中，过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积为（ ）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：圆，即，圆心为，半径，又，所以过点的最长弦，最短弦，且最短弦与最长弦互相垂直，所以；故选：B3．（2022·山东·烟台二中模拟）已知过点的动直线l与圆C：交于A，B两点，过A，B分别作C的切线，两切线交于点N．若动点，则的最小值为（ ）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【解析】易得圆心，半径为4，如图，连接，则，则四点在以为直径的圆上，设，则该圆的圆心为，半径为，圆的方程为，又该圆和圆的交点弦即为，故，整理得，又点在直线上，故，即点轨迹为，又在圆上，故的最小值为圆心到直线的距离减去半径1，即.故选：B.4．（2022·吉林长春·模拟（理））当圆截直线所得的弦长最短时，m的值为（ ）A． B． C．-1 D．1【答案】C【解析】直线过定点，圆的圆心为，半径，当时，圆截直线所得的弦长最短，由于，所以，即.故选：C5．（2022·湖北·荆州中学模拟）已知圆O：，已知直线l：与圆O的交点分别M，N，当直线l被圆O截得的弦长最小时，（ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】直线l：，即，所以直线过定点，，圆半径，点在圆内，所以当直线与垂直的时候，最短， 此时．故选：C．6．（2022·浙江·模拟）过x轴正半轴上一作圆的两条切线，切点分别为A，B，若，则的最小值为（ ）A．1 B． C．2 D．3【答案】A【解析】如图，连接交于点，易得，，由，最小时，最大，又，可得，即，最大时，最小，最小；又，则，故的最小值为1.故选：A.7．（2022·湖北武汉·模拟）2021年12月22日教育部提出五项管理“作业、睡眠、手机、课外阅读、健康管理”，体育锻炼是五项管理中一个非常重要的方面，各地中小学积极响应教育部政策，改善学生和教师锻炼设施设备.某中学建立“网红”气膜体育馆（图1），气膜体育馆具有现代感、美观、大气、舒适、环保的特点，深受学生和教师的喜爱.气膜体育馆从某个角度看，可以近似抽象为半椭球面形状，该体育馆设计图纸比例（长度比）为1∶20（单位：m），图纸中半椭球面的方程为（）（如图2），则该气膜体育馆占地面积为（ ）A．1000m2 B．540m2C．2000m2 D．1600m2【答案】D【解析】当时，在平面上的边缘投影为，即，所以投影是半径为2 m的圆，又体育馆设计图纸比例（长度比）为1∶20，故实际投影半径为40 m的圆，则面积为.故选：D8．（2022·广东·潮州市瓷都中学三模）圆C：上恰好存在2个点，它到直线的距离为1，则R的一个取值可能为（ ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】圆C：的圆心，半径R点C到直线的距离为圆C上恰好存在2个点到直线的距离为1，则故选：B9．（2022·山东省实验中学模拟）（多选题）对于平面直角坐标系内的任意两点，，定义它们之间的一种“距离”为．已知不同三点A，B，C满足，则下列结论正确的是（ ）A．A，B，C三点可能共线B．A，B，C三点可能构成锐角三角形C．A，B，C三点可能构成直角三角形D．A，B，C三点可能构成钝角三角形【答案】ACD【解析】令点，设点，则有，由得：，当时，A，B，C三点共线，且有成立，A正确；当时，则A，B，C三点不共线，若，有，且成立，为直角三角形，C正确；若，显然是钝角，且成立，为钝角三角形，D正确；若，不成立，显然A，B，C三点不可能构成锐角三角形，B不正确.故选：ACD10．（2022·河北沧州·二模）（多选题）已知直线，圆，则下列结论正确的有（ ）A．若，则直线恒过定点B．若，则圆可能过点C．若，则圆关于直线对称D．若，则直线与圆相交所得的弦长为2【答案】ACD【解析】当时，点恒在上，故选项正确；当时，将点代入，得，该方程无解，故选项错误；当时，直线恒过圆的圆心，故选项C正确；当时，与相交所得的弦长为2，故选项D正确.故选：ACD11．（2022·湖北·黄冈中学三模）（多选题）已知直线与圆交于、两点，且为锐角（其中为坐标原点），则实数的取值可以是（ ）A． B． C． D．【答案】BC【解析】设，则，可得，设圆心到直线的距离为，圆的圆心为原点，半径为，所以，，由点到直线的距离公式可得，所以，，解得或.故选：BC.12．（2022·广东·模拟）（多选题）已知圆和圆，过圆上任意一点作圆的两条切线，设两切点分别为，则（ ）A．线段的长度大于B．线段的长度小于C．当直线与圆相切时，原点到直线的距离为D．当直线平分圆的周长时，原点到直线的距离为【答案】AD【解析】如图示： ,根据直角三角形的等面积方法可得， ,由于，故，由于，故A正确，B错误；当直线与圆相切时，由题意可知AP斜率存在，故设AP方程为 ，则有 ，即 ， 即 或 ，设原点到直线的距离为d,则 ，当时， ；当时，，故C错误；当直线平分圆的周长时，即直线过点,AP斜率存在，设直线方程为，即 ，则 ，即，故原点到直线的距离为,则 ，故D正确；故选:AD13．（2022·上海虹口·二模）设，，三条直线：，：，：，则与的交点到的距离的最大值为_________.【答案】【解析】因为，所以，而直线：即过定点，：即过定点，所以与的交点在以为直径的圆上，圆方程为，即，所以到的距离的最大值为．故答案为：．14．（2022·江苏南京·模拟）已知中，，，点在直线上，的外接圆圆心为，则直线的方程为______．【答案】【解析】因为的外接圆圆心为，所以的外接圆半径为，即的外接圆方程为．联立，解得，或，所以或（与点重合），舍，所以直线的方程为，即．故答案为：.15．（2022·山东烟台·三模）已知动点到点的距离是到点的距离的2倍，记点的轨迹为，直线交于，两点，，若的面积为2，则实数的值为___________.【答案】或1【解析】设，则有整理得，即点的轨迹为以为圆心以2为半径的圆点到直线的距离直线交于，两点，则则的面积解之得或故答案为：或116．（2022·浙江省新昌中学模拟）瑞士著名数学家欧拉在年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在非等边中，，点坐标为，点坐标为，且其“欧拉线”与圆相切，则的“欧拉线”方程为____________，圆的半径____________．【答案】 【解析】线段的中点为，在非等边中，，所以，的“欧拉线”为线段的中垂线，，所以，的“欧拉线”方程为，即，由已知，圆与直线相切，故.故答案为：；.
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