上海市三校2022-2023学年高三数学下学期3月联考试题（Word版附解析）

2023届高三年级阶段测试数学试卷 （三校联考试题）  2023.03

一、填空愿（本大题共有12题，淘分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）

考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．

1. 不等式的解集是___________.

【答案】

【解析】

【分析】根据绝对值的意义直接求解即可.

【详解】,

,

解得，

所以不等式的解集为.

故答案为：

2. 函数的定义域为______．

【答案】

【解析】

【分析】直接根据题意列出不等式即可.

【详解】由题意得，则定义域为，

故答案为：.

3. 已知复数满足（为虚数单位），则______．

【答案】

【解析】

【分析】根据复数的除法运算和模的定义求解.

【详解】由得，

所以，

故答案为: .

4. 对于正实数，代数式的最小值为______．

【答案】

【解析】

【分析】通过变形得，利用基本不等式即可求出最值.

【详解】，

，

当且仅当，即（负舍）时等号成立，

故答案为：5.

5. 已知角在第二象限，且则______．

【答案】##

【解析】

【分析】根据诱导公式得，根据所在象限和同角三角函数关系则可得到，再利用二倍角正切公式即可得到答案.

【详解】，即，则，

角在第二象限，则，则，

.

故答案为：.

6. 已知随机变量服从正态分布，且，则______．

【答案】

【解析】

【分析】根据正态分布的特点即可得到答案.

【详解】根据正态分布的对称性得

，

故答案为：0.12.

7. 记为等比数列的前项和，若则______．

【答案】

【解析】

【分析】根据给定条件，利用数列前n项和的意义及等比数列通项的性质计算作答.

【详解】等比数列的前项和为，设其公比为，

由得：，因此，

于是，

所以.

故答案为：52

8. 在中，为的中点，若，则的长为______．

【答案】

【解析】

【分析】根据给定条件，在中利用余弦定理求解作答.

【详解】在中，，，由余弦定理得：，

在中，由余弦定理得：，解得，

所以的长为2.

故答案为：2

9. 已知是双曲线与抛物线一个共同焦点，则的两条渐近线夹角的大小为______．

【答案】

【解析】

【分析】根据给定条件，求出点的坐标，进而求出双曲线及渐近线的方程，再求出渐近线夹角作答.

【详解】抛物线焦点，依题意，，双曲线的渐近线为，

显然直线的倾斜角为，所以的两条渐近线夹角的大小为.

故答案为：

10. 数学老师从6道习题中随机抽3道让同学检测，规定至少要解答正确2道题才能及格．某同学只能求解其中的4道题，则他能及格的概率是______________

【答案】

【解析】

【详解】由超几何分布的概率公式可得，他能及格的概率是：

.

点睛：超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：①考查对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体个数X的概率分布，超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．

11. 已知是的外心，且，则______．

【答案】##

【解析】

【分析】设外接圆半径为1，通过移项平方解得，，，再求出，，，再利用向量夹角公式即可求解.

【详解】，即，设，

两边同平方得，解得，

同理可得，，

，

，则，

，，

.

故答案为：.

12. 已知关于的方程有唯一实数根，则实数的取值范围为______．

【答案】或

【解析】

【分析】本题采用分离参数法得，利用导数研究函数在其定义域上的图象，通过直线与函数图象交点个数解决方程根的问题.

【详解】当时，显然不是方程的根，

，即，即，

设，，且定义域为，关于原点对称，

故为奇函数，则研究的图象，

，则，

令，解得，则此时单调递减，

令，解得，则此时单调递增，

故，

且当并趋近于0时，趋近于，

当趋近于时，趋近于，

再结合为奇函数，作出如下图象，

，

则，，

同理图像左侧，，解得.

则关于的方程有唯一实数根，则实数的取值范围为或.

故答案为：或.

【点睛】思路点睛：涉及含参的函数零点问题，利用导数分类讨论，研究函数的单调性、最值等，结合零点存在性定理，借助数形结合思想分析解决问题.

二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第16-18题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所途答案的代号涂黑．

13. 下列函数在定义域中既是奇函数又是减函数的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据指对幂函数的性质依次判断各选项即可得答案.

【详解】解：对于A选项，函数为奇函数，在定义域上无单调性，故错误；

对于B选项，函数为奇函数，当时，为减函数，故函数在定义域内为减函数，故B正确；

对于C，由于函数均为增函数，故在定义域内为单调递增函数，故C错误；

对于D选项，函数为非奇非偶函数，故错误.

故选：B

14. 设复数z满足，z在复平面内对应的点为，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】依据复数模的定义即可求得之间的关系.

【详解】z在复平面内对应的点为，则复数，

则，由复数的模长公式可得，

故选：C．

15. 设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【详解】分析：作图，D为MO 与球的交点，点M为三角形ABC的中心，判断出当平面时，三棱锥体积最大，然后进行计算可得．

详解：如图所示，

点M为三角形ABC的中心，E为AC中点，

当平面时，三棱锥体积最大

此时，

,

点M为三角形ABC的中心

中，有

故选B.

点睛：本题主要考查三棱锥的外接球，考查了勾股定理，三角形的面积公式和三棱锥的体积公式，判断出当平面时，三棱锥体积最大很关键，由M为三角形ABC的重心，计算得到，再由勾股定理得到OM，进而得到结果，属于较难题型．

16. 设（其中），若点为函数图像的对称中心，B，C是图像上相邻的最高点与最低点，且，则下列结论正确的是（    ）

A. 函数的图象对称轴方程为 ；

B. 函数的图像关于坐标原点对称；

C. 函数在区间上是严格增函数；

D. 若函数在区间内有个零点，则它在此区间内有且有个极小值点．

【答案】D

【解析】

【分析】根据给定条件，求出点B，C的坐标，进而求出函数的解析式，再逐项判断作答.

【详解】在中，令得，

依题意，点，同理得点，

由得：，解得，又，则，

而，因此，，

由得，即函数的图象对称轴方程为，A错误；

因为，所以函数的图像关于坐标原点不对称， B错误；

当时，，而正弦函数在上不单调，所以函数在区间上不单调，C错误；

当时，，依题意，，

又正弦函数在内各有1个极小值点，在内无极小值点，

所以函数在区间内有且有个极小值点，D正确.

故选：D

【点睛】思路点睛：涉及求正(余)型函数在指定区间上的单调性问题，先根据给定的自变量取值区间求出相位的范围，再利用正(余)函数性质列出不等式求解即得.

三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤

17. 已知四棱锥的底面为矩形，底面，且，设、、分别为、、的中点，为的中点，如图．

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）证明出平面平面，利用面面平行的性质定理可证得结论成立；

（2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面所成角正弦值.

【小问1详解】

证明：、、分别为、、的中点，，，

平面，平面，平面，同理可证平面，

，、平面，平面平面，

平面，平面.

【小问2详解】

解：平面，四边形为矩形，

以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、、、、、，

，，，

设平面的法向量为，则，

取，可得，，

所以，直线与平面所成角的正弦值为.

18. 记，为数列的前n项和，已知，．

（1）求，并证明是等差数列；

（2）求．

【答案】（1），证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用与前n项和的关系，由可得的值，即可求得的值；根据相减法求得为常数，证明其为等差数列；

（2）由（1）中数列为等差数列，对进行奇偶讨论，即可求得.

【小问1详解】

解：已知，

当时，，；当时，，，所以．

因为①，所以②．

②－①得，，整理得，，

所以（常数），，

所以是首项为6，公差为4的等差数列．

【小问2详解】

解：由（1）知，，，．

当n为偶数时，；

当n奇数时，．

综上所述，.

19. 社会实践是大学生课外教育的一个重要方面，在校大学生利用暑期参加社会实践活动，是认识社会、了解社会、提高自我能力的重要机会．某省统计了该省其中的4所大学 2023年毕业生的人数及参加过暑期社会实践活动的人数（单位：千人），得到如下表格：

（1）已知与具有较强的线性相关性，求关于的线性回归方程；

（2）假设该省对参加过暑期社会实践活动的大学生每人发放万元的补贴．

①若该省大学2023年毕业生人数为万人，估计该省要发放补贴的总金额；

②若2023年毕业生中小李、小王参加过暑期社会实践活动的概率分别为，该省对小李、小王两人补贴总金额的期望不超过万元，求的取值范围．

参考公式：

【答案】（1）；   

（2）①万元；②.

【解析】

【分析】（1）根据给定数表，结合最小二乘法公式计算即可作答.

（2）①利用（1）的结论估计补贴的总金额；②求出两个人参加实践活动的概率分布并求出期望，再利用期望的性质及已知列不等式，即可求解作答.

【小问1详解】

由数表知，，

，，

，

，因此，

所以关于的线性回归方程是.

【小问2详解】

①由（1）知，当千人时，（千人）

所以该省要发放补贴的总金额约为：万元；

②小李、小王参加过暑期社会实践活动的人数为，

，

，

，

，

因此，解得，而，即，于是，

所以的取值范围是.

20. 已知椭圆的离心率为 ，且点在椭圆上．

（1）求椭圆的方程；

（2）过点的直线与椭圆交于两点，已知，求直线的方程；

（3）点为椭圆上任意一点，过点作的切线与圆交于两点，设直线的斜率分别为． 证明：为定值，并求该定值．

【答案】（1）；   

（2）   

（3）证明见解析，

【解析】

【分析】（1）根据离心率和椭圆上的点坐标得到关于的方程组，解出即可；

（2）设直线，根据向量共线关系得到联立直线与椭圆方程得到韦达定理式，结合即可解出值，则得到直线方程；

（3）首先考虑直线的斜率不存在时的情况，设直线,联立椭圆得到，根据相切关系得，化简得，再将直线与圆联立得到韦达定理式，代入两直线斜率乘积表达式化简即可得到其为定值.

【小问1详解】

由题意得，，；

联立解得，则

【小问2详解】

直线与斜率不存在不合题意，设直线，

设则，

，则

，

则，解得，

则直线的方程

【小问3详解】

当直线的斜率不存在时，直线的方程为或，

若,则易得，

则，

若,则,,则.

当直线斜率存在时,设直线,

设，直线与椭圆联立得

，

由直线与椭圆相切,则，

化简得:，

直线与圆联立:,得:，

，

而的斜率分别为,

则，

将代入得，

将代入得，

综上:为定值,该定值为.

【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．

21. 已知函数．

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）若函数在处取得极小值，求的值；

（3）若存在正实数，使得对任意的，都有，求的取值范围．

【答案】（1）；   

（2）．   

（3）．

【解析】

【分析】（1）由导数的几何意义求解；

（2）由求得值，并验证此时是极小值点；

（3）求出导函数，，然后根据的正负或0分类，注意由导函数的连续性得出在（存在正实数）上与同号，从而得函数的单调性，得函数值的正负．

【小问1详解】

，，又，

∴切线方程为；

【小问2详解】

由（1），函数在处取得极小值，则，即，，

设，则，，由的图象的连续性知在附近是正值，

因此在附近是递增的，又，

所以在附近从左到右，由负变正，在左侧递减，在右侧递增，是极小值，符合题意；

所以．

【小问3详解】

，，

当，即时，由的图象的连续性知必存在，使得对任意，，对应递增，因此，不合题意，

当，即时，由的图象的连续性知必存在，使得对任意，，对应递减，因此，满足题意，

时，，时，，，恒成立，在上递增，，不合题意，

综上，的取值范围是．

【点睛】易错点点睛：本题考查导数的几何意义，导数与极值，不等式恒成立问题．在已知极值点求参数值时，是极小值点，在由求得参数后，一般需验证此时是极小值点，否则容易会出现错误．原因时，不一定是极值点，当值也可能不是极小值点．