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    上海市同济大学第一附属中学2023届高三数学下学期3月月考试题(Word版附解析)
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    上海市同济大学第一附属中学2023届高三数学下学期3月月考试题(Word版附解析)

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    这是一份上海市同济大学第一附属中学2023届高三数学下学期3月月考试题(Word版附解析),共17页。试卷主要包含了 给出如下命题等内容,欢迎下载使用。

    同济大学第一附属中学

    2022学年第二学期质控1高三年级数学试卷

    (本试卷满分150分,考试时间120分钟,可以使用计算器)

    、填空题(本大题满分54分,第1-6题每题4分,第7~12题每题5分)

    1. 函数的定义域是_________.

    【答案】

    【解析】

    【分析】根据函数有意义得,解不等式即可求解.

    【详解】解:由题意得:

    解得:

    定义域是.

    故答案为:.

    2. 已知复数是虚数单位),则复数的虚部为__________

    【答案】

    【解析】

    【分析】根据复数的除法运算求出,再根据复数虚部的定义即可得解.

    【详解】

    所以复数的虚部为.

    故答案为:.

    3. 已知实数,若幂函数为偶函数,且在上严格递减,则实数__________

    【答案】

    【解析】

    【分析】由偶函数,幂函数单调性可得答案.

    【详解】上单调递减,则;又为偶函数,则

    .

    故答案为:.

    4. 已知圆锥的母线长为4,母线与旋转轴的夹角为,则该圆锥的侧面积为________.

    【答案】.

    【解析】

    【分析】先利用圆锥的轴截面的性质求出底面的半径r,进而利用侧面积的计算公式计算即可.

    【详解】解:由题意,底面的半径

    ∴该圆椎的侧面积

    故答案为:.

    【点睛】本题考查圆锥的相关计算问题,熟练掌握圆锥的轴截面的性质和侧面积的计算公式是解题的关键,属于基础题.

    5. 在等比数列中,为其前项和,已知,则此数列的公比__________

    【答案】

    【解析】

    【详解】试题分析:将两式相减可得,即,整理可得,所以公比.

    考点:等比数列.

    6. 已知,则上的数量投影为__________

    【答案】

    【解析】

    【分析】根据题意,由向量的数量投影的定义,代入计算,即可得到结果.

    【详解】因为,设的夹角为

    上的数量投影为

    故答案为:

    7. 已知F是抛物线y2=x的焦点,AB是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段AB的中点到y轴的距离为__________.

    【答案】

    【解析】

    【分析】

    根据抛物线的方程求出准线方程,利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离,列出方程求出AB的中点横坐标,求出线段AB的中点到y轴的距离.

    【详解】由题意得,,准线方程为:

    因此

    线段的中点到轴的距离为.

    故答案为:.

    【点睛】本题考查抛物线的简单性质,将到焦点的距离转化为其到准线的距离是关键,考查分析运算能力,属于基础题.

    8. 的二项式中,所有项的二项式系数之和为,则常数项等于______

    【答案】112

    【解析】

    【详解】由题意可得:

    结合二项式展开式通项公式可得:

    可得:,则常数项为:.

    9. 给出如下命题:

    已知随机变量服从二项分布,若,则

    将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后,方差不变

    设随机变量服从正态分布,若,则

    若某次考试的标准分服从正态分布,则甲、乙、丙三人恰有2人的标准分超过90分的概率为

    其中正确的命题序号为___________

    【答案】②③④

    【解析】

    【分析】对于,根据二项分布的数学期望和方差的公式,直接计算;对于,根据数据方差的计算公式可以判断;对于,由正态分布的图象的对称性可以判断;对于,利用独立重复试验的概率计算公式计算即可.

    【详解】根据二项分布的数学期望和方差的公式,可得,解得,所以错误;

    根据数据方差的计算公式可知,将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后,方差不变,所以正确;

    由正态分布的图象的对称性可得,所以正确;

    甲、乙、丙三人恰有2人的标准分超过90分的概率,故正确.

    故答案为:②③④

    10. ,函数,若函数与函数图象有且仅有两个不同的公共点,则实数的取值范围是__________

    【答案】

    【解析】

    【分析】将函数图象的交点个数转化为方程根的个数,从而可得上有两同根,结合正弦函数的图象性质列出不等式即可.

    【详解】函数图象有且仅有两个不同的公共点,

    即方程有两同根,

    也就是有两同根,

    因为,所以上有两同根.

    因为,所以

    所以

    ,所以,仅有两解时,应有

    ,所以的取值范围是

    故答案为: .

    11. 在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若= +,则+的最大值为__________

    【答案】

    【解析】

    【详解】分析:如图:以A为原点,以AB,AD所在的直线为x,y轴建立如图所示的坐标系,先求出圆的标准方程,再设点P的坐标为(cosθ+1,sinθ+2),根据,求出λ,μ,根据三角函数的性质即可求出最值.

    详解如图:以A为原点,以AB,AD所在的直线为x,y轴建立如图所示的坐标系,

    则A(0,0),B(1,0),D(0,2),C(1,2),

    动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上,

    设圆半径为r,

    ∵BC=2,CD=1,

    ∴BD==

    BC•CD=BD•r

    ∴r=

    圆的方程为(x﹣1)2+(y﹣2)2=

    设点P的坐标为(cosθ+1,sinθ+2),

    ∴(cosθ+1,sinθ+2)=λ(1,0)+μ(0,2)=(λ,2μ),

    cosθ+1=λ,sinθ+2=2μ,

    λ+μ=cosθ+sinθ+2=sin(θ+φ)+2,其中tanφ=2,

    ∵﹣1≤sin(θ+φ)≤1,

    ∴1≤λ+μ≤3,

    λ+μ的最大值为3,

    故答案为:3.

    点睛本题考查了向量的坐标运算以及圆的方程和三角函数的性质,关键是设点P的坐标,考查了学生的运算能力和转化能力,属于中档题.

    12. 已知函数,若对任意正数,当时,都有成立,则实数m的取值范围是______

    【答案】

    【解析】

    【分析】,进而原题等价于单调递增,从而转化为,在上恒成立,参变分离即可求出结果.

    【详解】得,

    ,∴

    单调递增,

    又∵

    ,在上恒成立,即

    ,则

    单调递减,又因为

    故答案为:.

    【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法:一是利用导数研究含参函数的单调性,常化为不等式成立问题.注意分类讨论与数形结合思想的应用;二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极()值问题处理.

    二、选择题(本大题满分20分,每题5分)

    13. 是关于x实系数方程的一个虚数根,则(   

    A.  B.  C.  D.

    【答案】D

    【解析】

    【分析】利用实系数一元二次的虚根成对原理、根与系数的关系即可得出.

    【详解】解:∵1i是关于x的实系数方程x2+bx+c0的一个复数根,

    1i是关于x的实系数方程x2+bx+c0的一个复数根,

    ,解得b=﹣2c3

    故选:D

    【点睛】本题考查了实系数一元二次的虚根成对原理、根与系数的关系,属于基础题.

    14. 表示直线,表示平面,下列命题正确的是(   

    A ,则 B. ,则

    C. ,则 D. ,则

    【答案】D

    【解析】

    【分析】根据线面之间的位置关系及面面垂直的判定定理逐一判断即可.

    【详解】对于A,若,则,故A错误;

    对于B,若,则,故B错误;

    对于C,若,则相交或平行或异面,故C错误;

    对于D,若,则,故D正确.

    故选:D.

    15. 已知函数是定义域为R的偶函数,当时, ,如果关于x的方程恰有7个不同的实数根,那么的值等于(   

    A. 2 B.  C. 4 D.

    【答案】C

    【解析】

    【分析】利用函数的性质结合解析式作出函数的大致图象,数形结合,采用换元法将方程恰有7个不同的实数根,转化为二次方程的根的问题,利用韦达定理求解,可得答案.

    【详解】函数是定义域为R的偶函数,当,

    作出的大致图象,如图示:

    ,由图象可知时,3个根,时,4个根,

    时,2个根,当时,6个根,

    故关于x的方程恰有7个不同的实数根,

    需为的两实数根,

    ,即

    ,故

    故选:C

    【点睛】本题考查了根据方程的根的个数求解参数问题,涉及到考查函数的奇偶性以及分段函数性质的应用,综合性强,解答的关键是利用数形结合,采用换元法将方程恰有7个不同的实数根,转化为二次方程的根的问题.

    16. ,点,设对一切都有不等式 成立,则正整数最小值为

    A.  B.  C.  D.

    【答案】A

    【解析】

    【分析】先求得,再求得左边的范围,只需,利用单调性解得t的范围.

    【详解】由题意知sin

    ,随n的增大而增大,∴,

    ,即,又f(t)=t上单增,f(2)= -1<0f(3)=2>0

    正整数的最小值为3.

    【点睛】本题考查了数列的通项及求和问题,考查了数列的单调性及不等式的解法,考查了转化思想,属于中档题.

    三、解答题(本大题满分76分)

    17. 已知四棱锥的底面为菱形,且相交于点

    1求证:底面

    2求直线PB与平面PCD所成角的大小的正弦值.

    【答案】1证明见解析   

    2

    【解析】

    【分析】(1)欲证明一条直线垂直于一个平面,只需证明该直线垂直于平面内两条相交的直线即可;

    (2)建立空间直角坐标系,用空间向量的数量积计算.

    【小问1详解】

    是等腰三角形,OBD的中点,

    同理 ,又 平面ABCD 平面ABCD

    平面ABCD

    【小问2详解】

    四边形ABCD是菱形, ,以O为原点,直线BDx轴,ACy轴,POz轴,建立空间直角坐标系如下图:

    则有:

    设平面PCD的一个法向量为 ,则有 ,即

    ,则

    设直线PB与平面PCD的夹角为 ,则

    综上,直线PB与平面PCD的夹角的正弦值为 .

    18. 已知向量和向量,且.

    1)求函数最小正周期和最大值;

    2)已知△的三个内角分别为,若有,求△面积的最大值.

    【答案】1最小正周期为,最大值为2;(2.

    【解析】

    【分析】(1)利用向量平行的坐标表示可得的表达式,然后可求出最小正周期和最大值;

    (2)利用(1)中的以及可解得,再根据余弦定理可得以及重要不等式可得 ,再利用面积公式可得.

    【详解】(1)因为 向量和向量,且.

    所以,

    所以,

    所以最小正周期,最大值为2.

    (2)(1),所以,

    所以,

    因为,所以,所以,

    所以,

    在三角形,设三个内角分别为所对的边为,

    由余弦定理得,

    所以,

    所以(时等号成立),

    所以,

    所以△面积.

    所以△面积的最大值为.

    【点睛】本题考查了向量平行的坐标表示,三角函数的最小正周期,最大值,余弦定理,重要不等式,面积公式,属于中档题.

    19. 某地区森林原有木材存量为,且每年增长率为,因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为,设年后该地区森林木材的存量.

    1的表达式;

    2如果,为保护生态环境,大约经过多少年后,木材存储量能翻一番?(

    【答案】1   

    2

    【解析】

    【分析】1)根据题意可得,再利用构造法求通项即可;

    2)由题设可得,化为对数式,再利用换底公式结合题中数据即可得解.

    【小问1详解】

    由题意可得

    所以

    所以数列是以为首项,为公比的等比数列,

    所以

    所以

    【小问2详解】

    由题设可得,则

    所以

    所以大约经过多少年后,木材存储量能翻一番.

    20. 已知椭圆Ω9x2+y2m2m0),直线l不过原点O且不平行于坐标轴,lΩ有两个交点AB,线段AB的中点为M.

    1m3,点K在椭圆Ω上,F1F2分别为椭圆的两个焦点,求的范围;

    2证明:直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值;

    3l过点,射线OMΩ交于点P,四边形OAPB能否为平行四边形?若能,求此时l的斜率;若不能,说明理由.

    【答案】1   

    2证明见解析    3能为平行四边形,斜率为4+4

    【解析】

    【分析】1)设,用表示出,得出结论;

    2)设直线方程为,联立方程组,根据韦达定理求出点坐标得出结论;

    3)设直线斜率为,求出点坐标,令的中点得出的值.

    【小问1详解】

    时,椭圆方程为

    ,则

    范围是

    【小问2详解】

    设直线的方程为:

    联立方程组消元得

    直线的斜率与的斜率的乘积为定值

    【小问3详解】

    直线经过点

    直线不过原点且与有两个交点的充要条件是,且

    ,直线的方程为:,即

    由(2)可知直线的方程为:

    联立方程组,解得

    由(2)知

    若四边形为平行四边形,则的中点,

    ,即

    解得

    时,四边形为平行四边形.

    21. 已知函数

    1时,求函数过点的切线方程;

    2,求证:函数只有一个零点,且

    3时,记函数的零点为,若对任意,都有,求实数的最大值.

    【答案】1   

    2见解析    3

    【解析】

    【分析】1)将代入,解出切点坐标即可;

    2)当时,根据函数的单调性可以求极小值和极大值,再结合零点的存在性定理即可得证;

    3)将恒成立问题转化为最值问题,然后根据以及的范围,结合单调性,求出最小值即可.

    【小问1详解】

    时,

    设切点为

    切线方程为:

    代入切点,得:

    ,解得:

    所以切线方程为:

    【小问2详解】

    所以函数,函数单调递减;

    ,函数单调递增;

    函数单调递减,

    所以最多只有一个零点;

    所以函数只有一个零点,且

    【小问3详解】

    且对任意

    即:

    ,函数单调递增

    ,函数单调递减;

    时,

    所以成立,实数的最大值为.

    【点睛】本题考查函数的单调区间的求法,考查不等式的证明,考查满足条件的实数的最大值的求法,考查推理论证能力,考查等价转化思想,解题时要认真审题,注意导数性质的合理运用,属于难题。

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