上海市同济大学第一附属中学2023届高三三模数学试题及答案

同济一附中高三三模数学试卷

2023.05

一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）

1．已知全集，集合，则_______．

2．不等式的解集是__________

3．在的二项展开式中，含项的系数是________（结果用数值表示）

4．已知角是第二象限角，为其终边上一点，且，则_______

5．已知i是虚数单位，复数z满足，则_________

6．若实数满足，则的最小值为________

7．已知在上的数量投影为，其中点O为原点，则点B所在直线方程为______

8．春天是鼻炎和感冒的高发期，某人在春季里鼻炎发作的概率是，感冒发作的概率是，鼻炎发作且感冒发作的概率是，则此人在鼻炎发作的条件下感冒的概率是__________

9．是定义在上且周期为2的函数，当时，，其中，若，则________

10．已知边长为3的正三个顶点都在球O（O为球心）的表面上，且与平面所成的角为，则球O的体积为________

11．已知曲线，点是曲线C上任意两个不同点，若，则称两点心有灵犀，若始终心有灵犀，则的最小值的正切值_______

12．对任意两个非零的平面向量和，定义，若平面向量满足与的夹角，且和都在集合中，则_______

二、选择题（本大题共4题，满分20分）

13．某班级有50名学生，期中考试数学成绩，已知，则的人数为（    ）

A．5    B．10    C．20    D．30

14．将函数的图像上的各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再沿着x轴向右平移个单位，得到的函数的一个对称中心可以是（    ）

A．    B．    C．    D．

15．南宋数学家杨辉在《详解九章算术》中提出了高阶等差数列的问题，即一个数列本身不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列（则称数列为一阶等差数列），或者仍旧不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列（则称数列为二阶等差数列），依次类推，可以得到高阶等差数列．类比高阶等差数列的定义，我们亦可定义高阶等比数列，设数列…是一阶等比数列，则该数列的第8项是（    ）

A．    B．2    C．    D．

16．已知函数，设为实数，且，给出下列结论：①若，则；②若，则．则（    ）

A．①正确，②错误    B．①错误，②正确    C．①②都正确    D．①②都错误

三、解答题（本大题共有5题，满分76分）

17．如图，四棱锥的底面是矩形，底面，M为的中点，，直线与平面所成的角为．

（1）求四棱锥的体积；

（2）求异面直线与所成的角的大小．

18．记为等差数列的前n项和，已知．

（1）若，求的通项公式；

（2）若，求使得的n的取值范围．

19．为了减轻同学们的学习压力，班上决定进行一次减压游戏．班主任把8个小球（只是颜色有不同）放入一个袋子里，其中白色球与黄色球各3个，红色球与绿色球各1个．现甲、乙两位同学进行摸球得分比赛，摸到白球每个记1分，黄球每个记2分，红球每个记3分，绿球每个记4分，规定摸球人得分不低于8分为获胜，否则为负．并规定如下：

①一个人摸球，另一人不摸球；

②摸出的球不放回；

③摸球的人先从袋子中摸出1球，若摸出的是绿色球，则再从袋子里摸出2个球，若摸出的不是绿色球，则再从袋子里摸出3个球，摸球人的得分为两次摸出的球的记分之和；

（1）若由甲摸球，如果甲先摸出了绿色球，求该局甲获胜的概率；

（2）若由乙摸球，如果乙先摸出了红色球，求该局乙得分X的分布列和数学期望．

20．已知椭圆的右焦点为F，过F的直线l交于两点．

（1）若直线l垂直于x轴，求线段AB的长；

（2）若直线l与x轴不重合，O为坐标原点，求面积的最大值；

（3）若椭圆上存在点C使得，且的重心G在y轴上，求此时直线l的方程．

21．已知函数，令．

（1）当时，求函数在处的切线方程；

（2）当a为正数且时，，求a的最小值；

（3）若对一切都成立，求a的取值范围．

参考答案

一、填空题

1．    2．    3．80    4．    5．    6．    7．    8．

9．    10．    11．2    12．

二、选择题

13．D    14．A    15．C    16．C

三、解答题

17．（1）；（2）

18．（1）；（2）

19．（1）；（2）

20．（1）3；（2）；（3）或

21．（1）；（2）1；（3）