2021-2022学年上海市同济大学第一附属中学高二下学期质量反馈数学试题 （解析版）

2021-2022学年上海市同济大学第一附属中学高二下学期质量反馈数学试题

一、单选题

1．已知点的坐标满足，则动点P的轨迹是（       ）

A．双曲线 B．双曲线一支 C．两条射线 D．一条射线

【答案】B

【分析】根据表示的几何意义，结合双曲线定义，可判断答案.

【详解】点的坐标满足,

即动点,到定点距离减去到的距离，差等于4，

即 ,且 ，

故动点P的轨迹是双曲线的一支，

故选：B

2．不论k为何值，直线kx－y＋1－3k＝0都与圆相交，则该圆的方程可以是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】直线 过定点 ，接下来只需要将点 分别代入各个选项的圆中，找出值小于25对应的圆即为答案

【详解】 ， 直线恒过点

将点 代入 中可得；

将点 代入 中可得；

将点 代入 中可得；

将点 代入 中可得；

所以直线恒过的定点 在 内，

所以当 为任意实数时，直线都与圆相交，

故选：B

3．已知双曲线，则其渐近线夹角的大小为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据双曲线方程求得渐近线方程，从而求得一条渐近线与轴的夹角，再求渐近线夹角即可.

【详解】由双曲线方程可得，故可得双曲线的渐近线方程为，

设与轴正方向的夹角为，则，故可得，

故渐近线的夹角为.

故选：B.

4．已知点，，，直线将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先求得直线（a＞0）与x轴的交点为M（，0），由0可得点M在射线OA上．求出直线和BC的交点N的坐标，①若点M和点A重合，求得b；②若点M在点O和点A之间，求得b； ③若点M在点A的左侧，求得b＞1．再把以上得到的三个b的范围取并集，可得结果．

【详解】由题意可得，三角形ABC的面积为 1，

由于直线与x轴的交点为M，

由直线将△ABC分割为面积相等的两部分，可得b＞0，

故0，故点M在射线OA上．

设直线和BC的交点为N，则由可得点N的坐标为，

①若点M和点A重合，如图：

则点N为线段BC的中点，故N（，），

把A、N两点的坐标代入直线，求得a＝b．

②若点M在点O和点A之间，如图：

此时，点N在点B和点C之间，由题意可得三角形NMB的面积等于，

即，即 ，可得a0，求得 b，

故有．

③若点M在点A的左侧，

则，由点M的横坐标1，求得b＞a．

设直线和AC的交点为P，则由 求得点P的坐标为，

此时，由题意可得，三角形CPN的面积等于，即 ，

即，化简可得 ．

由于此时 b＞a＞0，0＜a＜1，∴2（1﹣b）2＝|a2﹣1|＝1﹣a2 ．

两边开方可得 1，∴，化简可得，

故有1．

综上可得b的取值范围应是 ，

故选：B．

二、填空题

5．抛物线的焦点坐标为_____.

【答案】

【详解】试题分析：根据抛物线方程求得p，则根据抛物线性质可求得抛物线的焦点坐标．解：抛物线方程中p=2，∴抛物线焦点坐标为（-1，0）故填写

【解析】抛物线的简单性质

点评：本题主要考查了抛物线的简单性质．属基础题．

6．双曲线的渐近线方程为_________．

【答案】   （，或或或两个分开写，均给满分）

【解析】由渐近线方程公式直接求解.

【详解】由双曲线方程可知，，则

渐近线方程.

故答案为： （，或或）

7．过定点且倾斜角是直线x－y＋1＝0的倾斜角的两倍的直线一般方程为______．

【答案】

【分析】先求出直线x－y＋1＝0的倾斜角，从而得到所求直线的倾斜角，得到直线方程.

【详解】直线x－y＋1＝0的倾斜角为45°，故过定点的所求直线的倾斜角为90°，故所求直线方程为：.

故答案为：

8．已知直线，若，则.

【答案】1或-3

【分析】利用l1⊥l2，得出k•（k﹣1）+（1﹣k）•（2k+3）＝0，求出k的值即可．

【详解】解：因为l1⊥l2，所以k•（k﹣1）+（1﹣k）•（2k+3）＝0，

解得 k＝1或k＝﹣3

故答案为1或﹣3

【点睛】本题考查直线的垂直条件的应用，考查计算能力．

9．与椭圆有相等的焦距，且过圆的圆心的椭圆的标准方程为______．

【答案】或，

【分析】先求出椭圆的焦距，再设出椭圆方程，求出的圆心坐标，列方程组可求得答案

【详解】由，得，得，

圆的圆心坐标为，

当所求椭圆的焦点在轴上时，设椭圆方程为，则

解得，

所以椭圆方程为，

当所求椭圆的焦点在轴上时，设椭圆方程为，则

解得，

所以椭圆方程为，

综上，所求椭圆方程为或，

故答案为：或，

10．若方程表示的曲线是椭圆，则实数k的取值范围为______．

【答案】且

【分析】根据椭圆的标准方程中分母都大于且不能相等即可求解.

【详解】方程表示的曲线是椭圆，则：

，解得：且；

故答案为：.

11．已知双曲线渐近线方程为，且经过点，则双曲线标准方程为______．

【答案】

【分析】由双曲线的渐近线方程设双曲线的方程为,再代入点,求得双曲线方程

【详解】解：双曲线的渐近线方程为,

可设双曲线的方程为,

代入,可得,

则双曲线的方程为.

故答案为：

12．过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，若线段长为，为坐标原点，则的重心横坐标为______．

【答案】

【分析】由抛物线焦点弦长公式可求得，根据重心坐标公式可得结果.

【详解】由抛物线方程知：，设，，

直线过焦点，，解得：，

重心横坐标.

故答案为：.

13．若椭圆的弦AB被点平分，则AB所在的直线方程为______．

【答案】

【分析】设 和 点的坐标，代入椭圆方程，利用“点差法”即可求得直线 的斜率，利用点斜式方程，即可求得直线方程.

【详解】设直线与椭圆的交点为

为的中点， ；

两点在椭圆上，则

两式相减得 ；

则 ； ；

故所求直线的方程为 ，即 ；

故答案为：

14．若直线与直线平行，则与之间的距离为______．

【答案】

【分析】利用直线平行可求得，代入距离公式即可得出结果.

【详解】根据两直线平行，可得，解得，

所以两直线的方程为：，

根据平行线间的距离公式可得，两平行线间的距离，

故答案为：.

15．若直线l：y＝kx＋1与曲线C：有两个公共点，则实数k的取值范围是______．

【答案】

【分析】画出直线与曲线的图象，结合图象可得答案.

【详解】由曲线C：得，当时；当时；

直线l：恒过点，

所以直线与曲线的图象为

当直线与相切时，此时，

直线l与曲线C只有一个公共点；

当直线中时，直线与曲线有两个交点；

当直线与相切时，联立方程，

，整理的，

==0

解得，此时直线l与曲线C恰有两个公共点；

直线与曲线要恰有2个公共点，

可得，或或，

故答案为：

16．若动点在圆上运动，则动点的轨迹方程是________.

【答案】

【分析】设出的坐标，利用动点，在圆上运动，即，从而可得结论．

【详解】解：设，则，，

动点在圆上运动，

，

，

，

所求轨迹方程为：．

故答案为：：．

【点睛】本题考查轨迹方程，考查学生分析解决问题的能力，正确消去，是关键，属于中档题．

三、解答题

17．过点作圆的割线，割线被圆截得的弦长为，求该割线方程．

【答案】或

【分析】由于点在圆的外部，设割线方程为．根据圆心到割线的距离为，解得的值，可得割线的方程.

【详解】设割线方程为，即．

由于圆心到割线的距离为，解得，或，

故割线的方程为或．

18．已知点到等轴双曲线上的点的最短距离为，求此双曲线的标准方程．

【答案】或.

【分析】设点利用两点间距离公式，结合配方法进行求解即可.

【详解】设是等轴双曲线上的点，即，

，

当时，当时，有最小值，最小值为，于是有，

因为，所以解得，此时双曲线的标准方程为：；

当时，当时，有最小值，最小值为，

于是有，因为，所以解得，此时双曲线的标准方程为：，

综上所述：双曲线的标准方程为或.

19．已知点在圆上运动，

(1)求的取值范围；

(2)求2x＋y的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）从斜率角度考虑，可看作圆上的点与点连线的斜率，数形结合，利用点到直线距离公式进行求解；（2）设，数形结合，利用点到直线距离公式求解出的取值范围.

【详解】(1)可看作圆上的点与点连线的斜率，

从图中可看出，直线所求的斜率位于直线AB与AC之间，

设直线为，

则圆心到直线距离，解得：，

所以的取值范围为；

(2)设，z表示直线与y轴交点的纵坐标，则画出图象如下：

则圆心到直线的距离，解得：或，故2x＋y的取值范围为.

20．已知椭圆C：右焦点坐标，且椭圆C过点．

(1)求椭圆C的方程；

(2)若直线l：y＝x＋m分别与椭圆C交于A，B两点，且以AB为直径的圆经过坐标原点O，求实数m的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据已知列出的方程组直接求解可得；

（2）由题知，利用韦达定理将条件坐标化，直接计算可得.

【详解】(1)由题知，解得

所以椭圆C的方程为

(2)设

将y＝x＋m代入，整理得

则

，解得

因为以AB为直径的圆经过坐标原点O

所以

所以

解得

21．设椭圆，抛物线的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，并且经过点，过的焦点F作直线l，与交于A，B两点，

(1)求的标准方程；

(2)设M是准线上一点，直线MF的斜率为，MA、MB的斜率依次为、，请探究：与的关系；

(3)若l与交于C，D两点，为的左焦点，求的最小值．

【答案】(1)；

(2)；

(3).

【分析】（1）设出抛物线方程，根据其过点，待定系数，即可求得抛物线方程；

（2）设出直线的方程以及点的坐标，利用韦达定理结合斜率公式，求得以及，即可判断；

（3）根据（2）中所求求得，再联立直线方程和椭圆方程，利用韦达定理和弦长公式求得，构造面积之比关于参数的函数，求函数最小值即可.

【详解】(1)根据题意，设抛物线方程为，又其过点，

故可得，解得，故抛物线的方程为：.

(2)根据（1）中所求可得，点的坐标为，的准线方程为，

故可设的坐标为，又直线的斜率不为零，故设其方程为，

联立抛物线方程可得：，设坐标为，

故可得；

因为

；

又，则.

(3)由（2）中所求可得：；

联立直线方程与椭圆方程可得：

，设的坐标为，

故可得，

则；

又因为四点共线，故，当且仅当时取得等号.

即的最小值为.

【点睛】本题考察抛物线方程的求解，直线与抛物线相交时韦达定理的使用，以及范围问题的求解；解决第三问的关键是将面积之比转化为弦长之比，属综合中档题.