八年级下数学点关于直线的对称点的坐标两种求法

问题：求点A(3,0)关于直线y=2x的对称点B的坐标.首先我们要在平面直角坐标系中画出直线y=2x的图形，描出点A，然后作出点A的对称点B显然直接由图形看出B点坐标不太可能，事实上添加网格后我们可以看出，点B的横坐标和纵坐标都不是整数。思路我们首先能想到两条基本思路：①直线y=kx+b，斜率是K，已知点是a（a,b)，设对称点是P(x,y),则aP中点坐标是x'=(x+a)/2,y'=(y+b),一定在y=kx+b上，代入得一方程（1）又aP一定与y=kx+b垂直，则aP斜率=-1/k,即（y-b)/(x-a)=-1/k,(2)(1)(2)解得P坐标。解题步骤①设所求对称点a的坐标为(a，b)。②根据所设对称点a(a，b)和已知点B(c，d)，可以表示出a、B两点之间中点的坐标为((a+c)/2，(b+d)/2)，且此中点在已知直线上。将此点坐标代入已知直线方程，可以得到一个关于a，b的二元一次方程(1)。因为a、B两点关于已知直线对称，所以直线aB与该已知直线垂直。③又因为两条垂直相交直线的斜率相乘积为-1，即k1*k2=-1。设已知直线的斜率为k1(已知)，则直线aB的斜率k2为-1/k1。把a、B两点坐标代入直线斜率公式：k2=(b-d)/(a-c)=-1/k1，得到一个关于a，b的二元一次方程(2)。④联立二元一次方程(1)、(2)，得二元一次方程组，解得a、b值，即所求对称点a的坐标(a，b)。②如果直接求线段长有难度，不妨先把B点坐标设出来，两个未知数只要能找到两个方程就可以解出来，此处利用了方程组的思想，列方程需要等量关系，等量关系又要从图形关系上找，也要用到数形结合思想。解答如图，设AB与直线y=2x的交于点D，分别过B、D作x轴的垂线，分别交x轴于点C、E。按照思路①，如果能求出BC和OC长度，就可以得到B点坐标，但已知点坐标只有点A，此路不通。换思路②，设B(a,b).列方程我们可以把B点坐标当已知点来用，现在知道了A和B两个点的坐标，只需找到两个等量关系。等量关系一：AB中点D在直线y=2x上由中点坐标公式，可得 D((3+a)/2,b/2)，代入y=2x得 b/2=a+3 ……方程①等量关系二：tanB=tan∠DOE易证△AOD∽△ABC，∴∠B=∠DOE∴tanB=tan∠DOE=2∵AC=3-a，BC=b∴3-a=2b ……方程②联立方程①②，可得 a=-9/5，b=12/5∴B(-9/5,12/5)小结1、点的坐标与线段可相互转化已知点的坐标可求出相应线段长度，已知线段长度也可得出对应点的坐标。2、方程与函数思想的运用设出未知点的坐标，列方程组求解也是一种惯用的方法，另外在某些题中还会构造函数来求最值。