第3章　圆周运动 习题课 圆周运动的临界问题

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习题课:圆周运动的临界问题合格考达标练1.如图所示,长度均为L的两根轻绳,一端共同系住质量为m的小球,另一端分别固定在等高的A、B两点,A、B两点间的距离也为L。重力加速度大小为g。今使小球在竖直面内以AB为轴做圆周运动,若小球在最高点的速率为v时,两根绳的拉力恰好均为零,则小球在最高点的速率为2v时,每根绳的拉力大小为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　A.mg B.mg C.3mg D.2mg解析当小球在最高点的速率为v时,有mg=m,解得v=;当小球在最高点的速率为2v时,有F+mg=m,解得两绳拉力的合力F=3mg,由几何知识得每根绳的拉力T=mg。选项A正确。答案A2.如图所示,一水平放置的木板上放有砝码,砝码与木板间的动摩擦因数为μ,让木板在竖直平面内做半径为R的匀速圆周运动。假如运动中木板始终保持水平,砝码始终没有离开木板,最大静摩擦力等于滑动摩擦力,那么下列说法正确的是(　　)A.在通过轨道最高点时砝码处于超重状态B.在经过轨道最低点时砝码所需静摩擦力最大C.匀速圆周运动的速度小于D.在通过轨道最低点和最高点时,砝码对木板的压力之差为砝码重力的6倍解析在通过轨道最高点时,向心加速度竖直向下,砝码处于失重状态,选项A错误;木板和砝码在竖直平面内做匀速圆周运动,砝码受到重力mg,木板支持力N和静摩擦力f,所受合外力提供向心力,由于重力mg和支持力N在竖直方向上,因此只有当砝码所需向心力在水平方向上时静摩擦力有最大值,最大静摩擦力必须大于或等于砝码所需的向心力,即μN≥m,此时在竖直方向上N=mg,故v≤,选项B错误,C正确;在最低点,N1-mg=m,在最高点,mg-N2=m,则N1-N2=2m≤2μmg,选项D错误。答案C3.质量为m的小球在竖直平面内的圆形轨道内侧运动,若经最高点不脱离轨道的临界速度为v,则当小球以2v速度经过最高点时,小球对轨道的压力大小为(　　)A.0 B.mg C.3mg D.5mg解析当小球以速度v经内轨道最高点时,小球仅受重力,重力充当向心力,有mg=m,当小球以速度2v经内轨道最高点时,小球受重力mg和向下的支持力N,如图所示,合力充当向心力,有mg+N=m,又由牛顿第三定律得到,小球对轨道的压力与轨道对小球的支持力相等,N'=N,由以上三式得到,N'=3mg。故C正确。答案C4.如图所示,转动轴垂直于光滑水平面,交点O的上方h高处(A点)固定细绳的一端,细绳的另一端连接一质量为m的小球B,绳长l>h,重力加速度为g,转动轴带动小球在光滑水平面内做圆周运动。当转动的角速度ω逐渐增大时,下列说法正确的是(　　)A.小球始终受三个力的作用B.细绳上的拉力始终保持不变C.要使小球不离开水平面,角速度的最大值为D.若小球离开了水平面,则角速度为解析当转动的角速度ω逐渐增大时,小球可能只受重力和细绳的拉力,选项A错误;小球在水平面内做匀速圆周运动时,细绳的拉力在竖直方向的分力与水平面对小球的支持力的合力大小等于小球的重力大小,细绳的拉力在水平方向的分力提供小球运动的向心力,当转动的角速度ω逐渐增大时,所需向心力逐渐增大,细绳的拉力逐渐增大,而当小球离开水平面后,角速度增大时,绳子与竖直方向的夹角变大,拉力变大,选项B错误;要使小球刚好不离开水平面,则有mgtan θ=mω2r,其中tan θ=,r=,联立解得ω=,选项C正确;若小球离开了水平面,则角速度大于,选项D错误。答案C5.在一水平放置的圆盘上面放有一劲度系数为k的弹簧,如图所示,弹簧的一端固定于轴O上,另一端挂一质量为m的物体A,物体与盘面间的动摩擦因数为μ。开始时弹簧未发生形变,长度为R,设最大静摩擦等于滑动摩擦,求:(1)盘的转速n0多大时,物体A开始滑动?(2)当转速达到2n0时,弹簧的伸长量Δx是多少?(本题中各物理量单位都用国际单位制表示)解析(1)若圆盘转速较小,则静摩擦力提供向心力,当圆盘转速较大时,弹力与摩擦力的合力提供向心力。物体A开始滑动时,A所受最大静摩擦力提供向心力,则有μmg=m(2πn0)2R,解得n0=。(2)当转速达到2n0时,由牛顿第二定律得μmg+kΔx=m(2π·2n0)2(R+Δx)解得Δx=。答案(1)　(2)6.如图所示,长为L的轻杆,两端各连接一个质量都是m的小球,使它们以轻杆中点为轴在竖直平面内做匀速圆周运动,周期T=2π,求它们通过竖直位置时杆分别对上、下两球的作用力大小,并说明是拉力还是支持力。解析对小球受力分析,得在最低点处F1-mg=m2·,所以F1=mg,方向向上,为拉力。在最高点处,设球受杆拉力为F2,F2+mg=m2·。所以F2=-mg,故知F2方向向上,为支持力。答案mg,支持力　mg,拉力等级考提升练7.如图甲所示,用一轻质绳拴着一质量为m的小球,在竖直平面内做圆周运动(不计一切阻力),小球运动到最高点时绳对小球的拉力为T,小球在最高点的速度大小为v,其T-v2关系如图乙所示,则(　　)A.轻质绳长为B.当地的重力加速度为C.当v2=c时,轻质绳的拉力大小为+aD.v2<b时,小球能在竖直平面内做完整的圆周运动解析在最高点时,绳对小球的拉力和重力的合力提供向心力,则得mg+T=m,解得T=v2-mg,由图像知,T=0时,v2=b。图像的斜率k=,则,得绳长L=,选项A错误;当v2=0时,T=-a,可得-a=-mg,得g=,选项B正确;当v2=c时,可得T=·c-mg=-a,选项C错误;只有v2≥b,在最高点绳子的拉力T≥0,小球才能在竖直平面内做完整的圆周运动,选项D错误。答案B8.如图所示是半径为r的竖直光滑圆形轨道,将一玩具小车放到与轨道圆心O处于同一水平面的A点,并给小车一竖直向下的初速度,使小车沿轨道内侧做圆周运动。要使小车不脱离轨道,则在A处使小车获得竖直向下的最小初速度应为(　　)A. B.C. D.解析小车恰好不脱离轨道的条件是在最高点满足mg=m。小车沿轨道内侧做圆周运动的过程中,只有重力做功,机械能守恒。设小车在A处获得的最小初速度为vA,由机械能守恒定律得=mgr+mv2,解得vA=,选项C正确。答案C9.某兴趣小组设计了一个滚筒式炒栗子机器,滚筒内表面粗糙,内径为D。工作时滚筒绕固定的水平中心轴转动。为使栗子受热均匀,要使栗子到达滚筒最高处前与筒壁脱离,则(重力加速度为g)(　　)A.滚筒的角速度ω应满足ω<B.滚筒的角速度ω应满足ω>C.栗子脱离滚筒的位置与其质量有关D.若栗子到达最高点附近时脱离滚筒,栗子将自由下落解析栗子在最高点恰好不脱离时,有mg=,解得ω=,要使栗子到达滚筒最高处前与筒壁脱离,则ω<,故A正确,B错误;栗子脱离滚筒的位置与其质量无关,故C错误;若栗子到达最高点附近时脱离滚筒,由于栗子此时的速度不为零,因此栗子的运动不是自由落体运动,故D错误。答案A10.如图所示,可视为质点的木块A、B叠放在一起,放在水平转台上随转台一起绕固定转轴OO'匀速转动,木块A、B与转轴OO'的距离为1 m,A的质量为5 kg,B的质量为10 kg。已知A与B间的动摩擦因数为0.2,B与转台间的动摩擦因数为0.3,最大静摩擦力等于滑动摩擦力,g取10 m/s2。若木块A、B与转台始终保持相对静止,则转台角速度ω的最大值为(　　)A.1 rad/s B. rad/sC. rad/s D.3 rad/s解析由于A和A、B整体受到的静摩擦力均提供向心力,故对A,有μ1mAg≥mAω2r,对A、B整体,有(mA+mB)ω2r≤μ2(mA+mB)g,解得ω≤ rad/s,故选项B正确。答案B11.如图所示为某游乐场的过山车的轨道,竖直圆形轨道的半径为R。现有一节车厢(可视为质点)从高处由静止滑下,不计摩擦和空气阻力。设车厢的质量为m,重力加速度为g。(1)要使车厢能通过圆形轨道的最高点,车厢开始下滑时的高度至少应多高?(2)若车厢恰好能通过圆形轨道的最高点,则车厢在轨道最低处时对轨道的压力大小是多少?解析(1)设车厢开始下滑时的高度为h,运动到圆形轨道最高点时的最小速度为v。要使车厢通过圆形轨道的最高点,应有mg=m。车厢在下滑过程中,只有重力做功,故机械能守恒。选取轨道最低点所在平面为参考平面,由机械能守恒定律得mv2+mg·2R=mgh,联立以上两式得h=R。(2)设车厢到达轨道最低点时的速度为v',受到的支持力大小为F,则由机械能守恒定律得mv'2=mgh再由牛顿第二定律得F-mg=联立以上两式得F=6mg由牛顿第三定律知,在轨道最低处车厢对轨道的压力F'=F=6mg。答案(1)R　(2)6mg12.如图所示,两绳系着一个质量为m=0.1 kg的小球C,上面绳长l=2 m,两绳都拉直时与轴夹角分别为30°与45°。问球的角速度ω满足什么条件时,两绳始终张紧?(g取10 m/s2,保留三位有效数字)解析对小球受力分析,如图所示。当BC绳恰好拉直,但没有拉力存在时,有T1cos 30°=mgT1sin 30°=mlsin 30°·解得ω1=2.40 rad/s当AC绳恰好拉直,但没有拉力存在时,有T2cos 45°=mgT2sin 45°=mlsin 30°·解得ω2=3.16 rad/s所以要使两绳始终张紧,ω必须满足的条件是2.40 rad/s≤ω≤3.16 rad/s。答案2.40 rad/s≤ω≤3.16 rad/s