高中数学新教材必修第一册 第3章 3.2.1　第1课时　函数的单调性课件PPT

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高中数学新教材 同步课件（必修第一册）第1课时　函数的单调性第三章　3.2.1　单调性与最大(小)值1.能借助函数图象理解函数在某区间上单调递增(或递减)和增函数、 减函数的概念.2.理解函数在某区间上具有(严格的)单调性和单调区间的概念.3.能运用定义法证明函数的单调性.学习目标同学们，大家有没有体验过过山车？我可是过山车的资深体验师哦，风驰电掣、疯狂刺激的上升与下落伴随着呐喊声和尖叫声，简直是一场视觉与听觉的盛宴.当然，过山车的设计可是离不开数学家的身影，我们今天的这节课就和这刺激的游戏有关哦.导语随堂演练课时对点练一、直观感知函数的单调性二、利用定义证明函数的单调性三、函数单调性的简单应用内容索引一、直观感知函数的单调性问题1　观察下面三个函数图形，他们的图象有什么变化规律？这反映了相应函数值的哪些变化规律？提示　函数y＝x的图象从左向右看是上升的；函数y＝x2的图象在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上升的；函数y＝－x2的图象在y轴左侧是上升的，在y轴右侧是下降的.问题2　如何理解函数图象是上升的？提示　按从左向右的方向看函数的图象，意味着图象上点的横坐标逐渐增大即函数的自变量逐渐增大.图象是上升的意味着图象上点的纵坐标逐渐变大，也就是对应的函数值逐渐增大.也就是说从左向右看图象上升，反映了函数值随着自变量的增大而增大.函数的单调性一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：如果∀x1，x2∈D，当x1 x2时，都有f(x1) f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增.特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数.如果∀x1，x2∈D，当x1 x2时，都有f(x1) f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减.特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数.<<<>注意点：①区间D可以是整个定义域I，也可以是定义域的真子集；②同区间性，即x1，x2∈D；③任意性，即不可以用区间D上的特殊值代替；④有序性，即要规定x1，x2的大小；⑤“单调递增(递减)”“x1，x2的大小”“f(x1)与f(x2)的大小”知二求一，但自变量和函数值的不等方向要一致，简称为“步调一致增(减)函数”；⑥单调递增(递减)是函数的局部性质，增(减)函数是函数的整体性质.例1　已知函数f(x)＝x2－4|x|＋3，x∈R.根据图象写出它的单调区间.如图.由图象可知，函数的单调递增区间为[－2,0)，[2，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－2)，[0,2).反思感悟　(1)求函数单调区间时，若所给函数是常见的一次函数、二次函数、反比例函数等，可根据其单调性写出函数的单调区间，若函数不是上述函数且函数图象容易作出，可作出其图象，根据图象写出其单调区间.(2)一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接两个单调区间，而要用“和”或“，”连接.跟踪训练1　画出函数y＝|x|(x－2)的图象，并指出函数的单调区间.函数的图象如图实线部分所示.由函数的图象知，函数的单调递增区间为(－∞，0]和[1，＋∞)，单调递减区间为(0,1).二、利用定义证明函数的单调性例2　证明函数f(x)＝ 在区间(2，＋∞)上单调递减.证明　∀x1，x2∈(2，＋∞)，且x10，即f(x1)>f(x2).反思感悟　利用定义证明函数单调性的步骤(1)取值并规定大小：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x10，所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)f(5x－6)，则实数x的取值范围为__________.(－∞，1)解析　∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，且f(2x－3)>f(5x－6)，∴2x－3>5x－6，即x<1.∴实数x的取值范围为(－∞，1).延伸探究1.在本例(1)中，若函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3的单调递增区间是(－∞，3]，则实数a的值为_____.－4解析　f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3＝－(x＋a＋1)2＋(a＋1)2＋3.因此函数的单调递增区间为(－∞，－a－1]，由题意得－a－1＝3，a＝－4.2.若本例(2)的函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，求x的取值范围.反思感悟　由函数单调性求参数范围的处理方法(1)由函数解析式求参数若为二次函数——判断开口方向与对称轴——利用单调性确定参数满足的条件.若为一次函数——由一次项系数的正负决定单调性.若为复合函数y＝|f(x)|或y＝f(|x|)——数形结合，探求参数满足的条件.(2)当函数f(x)的解析式未知时，欲求解不等式，可以依据函数单调性的定义和性质，将符号“f”去掉，列出关于自变量的不等式(组)，然后求解，此时注意函数的定义域.跟踪训练3　已知函数f(x)＝ 若f(x)是R上的增函数，则实数a的取值范围为______.[4,8)解析　因为f(x)是R上的增函数，解得4≤a<8.1.知识清单：(1)增函数、减函数的定义.(2)函数的单调区间.2.方法归纳：数形结合法.3.常见误区：(1)函数的单调区间不能用并集.(2)利用函数的单调性求参数的取值范围忽略函数的定义域.课堂小结随堂演练1234解析　由图象知单调递增区间为[－3,1].1.函数y＝f(x)，x∈[－4,4]的图象如图所示，则f(x)的单调递增区间是A.[－4,4] B.[－4，－3]∪[1,4]C.[－3,1] D.[－3,4]√12342.若函数f(x)在R上是减函数，则有A.f(3)f(5) D.f(3)≥f(5)√解析　因为函数f(x)在R上是减函数，3<5，所以f(3)>f(5).1234√12344.已知f(x)是定义在R上的增函数，且f(x2－2)f(3) B.f(2)>f(5)C.f(3)>f(5) D.f(3)>f(6)√解析　∵f(x)关于x＝4对称且在(4，＋∞)上单调递减，∴f(x)在(－∞，4)上单调递增，且f(5)＝f(3)，f(6)＝f(2)，∴f(3)>f(2)＝f(6)，故选D.1234567891011121314155.已知函数f(x)＝4x2－kx－8在(－∞，5]上具有单调性，则实数k的取值范围是A.(－24,40) B.[－24,40]C.(－∞，－24] D.[40，＋∞)16√且函数f(x)＝4x2－kx－8在(－∞，5]上具有单调性，则k的取值范围为[40，＋∞)，故选D.123456789101112131415166.(多选)下列函数中，在区间(－∞，0)上单调递增的是A.f(x)＝－ B.f(x)＝xC.f(x)＝－x2 D.f(x)＝1－x√√√f(x)＝x，f(x)＝－x2 在(－∞，0)上单调递增，故选ABC.123456789101112131415167.函数y＝|x2－2x－3|的单调递增区间是__________________.解析　y＝|x2－2x－3|＝|(x－1)2－4|，作出该函数的图象，如图.由图象可知，其单调递增区间为[－1,1]和[3，＋∞).[－1,1]和[3，＋∞)123456789101112131415168.已知函数y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且f(1－a)1.∵函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增，∵x1x2>1，∴－x1x2<－1，∴a≥－1.∴a的取值范围是[－1，＋∞).123456789101112131415综合运用16√解析　画出f(x)的图象(图略)可判断f(x)在R上单调递增，故f(4－a)>f(a)⇔4－a>a，解得a<2.1234567891011121314151612.函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，且f(2)＝－1，则满足f(2x－4)>－1的实数x的取值范围是A.(3，＋∞) B.(－∞，3)C.[2,3) D.[0,3)√13.已知函数f(x)＝ 在(－∞，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是A.(－∞，－2] B.[－2,0)C.[－3,0) D.[－3，－2]12345678910111213141516√解析　由于函数f(x)＝ 在(－∞，＋∞)上是增函数，12345678910111213141516因此函数h(x)＝－x2－ax－5在区间(－∞，1]上单调递增，解得－3≤a≤－2，故选D.1234567891011121314151614.若函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在(－1，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是________.[－3,0]12345678910111213141516解析　①a＝0时，f(x)＝－3x＋1在R上单调递减，∴a＝0满足条件；②a≠0时，f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1，解得－3≤a<0.由①②得－3≤a≤0，故a的取值范围是[－3,0].拓广探究1234567891011121314151615.在实数集R中定义一种运算“*”，使其具有下列性质：(1)对任意a，b∈R，a*b＝b*a.(2)对任意a∈R，a*0＝a.(3)对任意a，b，c∈R，(a*b)*c＝c*(ab)＋(a*c)＋(b*c)－2c，则函数f(x)＝x* 的单调递减区间是√12345678910111213141516解析　在(3)中，令c＝0，得a*b＝(a*b)*0＝0*(ab)＋(a*0)＋(b*0)－2×0＝ab＋a＋b, 16.设函数f(x)的定义域为{x|x>0}，且满足条件f(4)＝1，对于任意x1，x2∈(0，＋∞)，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，且当x1≠x2时，有 >0.(1)求f(1)的值；12345678910111213141516解　∵对任意x1，x2∈(0，＋∞)，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，∴令x1＝x2＝1，得f(1×1)＝f(1)＋f(1)，即f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0.(2)如果f(x＋6)＋f(x)>2，求x的取值范围.12345678910111213141516得f(x2)－f(x1)>0，即f(x1)f(16)，12345678910111213141516解得x>2，∴x的取值范围是(2，＋∞).