2023年陕西省西安市曲江第二中学中考数学一模试卷（含答案）

这是一份2023年陕西省西安市曲江第二中学中考数学一模试卷（含答案），共23页。
2023年陕西省西安市雁塔区曲江二中中考数学一模试卷一．选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）﹣2021的绝对值是（　　）A．﹣2021 B．2021 C． D．﹣2．（3分）“一方有难，八方支援”，在2020年新冠疫情期间，全国共有346支医疗队，约42600人支援湖北，其中42600用科学记数法表示为（　　）A．4.26×103 B．42.6×103 C．4.26×104 D．0.426×1053．（3分）下列运算中正确的是（　　）A．x2y+2yx2＝3x2y B．3y2+4y3＝7y5 C．a+a＝a2 D．2x﹣x＝24．（3分）如图，AB＝AD，∠BAC＝∠DAC＝25°，∠D＝80°，则∠BCA的度数为（　　）A．25° B．50° C．65° D．75°5．（3分）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，0），B（0，3），以点A为圆心，AB为半径画弧，交x轴正半轴于点C，则点C横坐标所表示的数在哪两个整数之间（　　）A．0到1之间 B．1到2之间 C．2到3之间 D．3到4之间6．（3分）已知一个多项式与3x2+9x的和等于3x2+4x﹣1，则这个多项式是（　　）A．﹣5x﹣1 B．5x+1 C．﹣13x﹣1 D．13x+17．（3分）若满足＜x≤1的任意实数x，都能使不等式2x3﹣x2﹣mx＞2成立，则实数m的取值范围是（　　）A．m＜﹣1 B．m≥﹣5 C．m＜﹣4 D．m≤﹣48．（3分）下列表中列出的是一个二次函数自变量x与函数y的几组对应值，下列选项中，正确的是（　　）x……﹣2013……y……6﹣4﹣6﹣4……A．这个函数的图像开口向下 B．这个函数的图像与x轴无交点 C．这个函数最小值小于﹣6 D．当x＞1，y的值随x值得增大而增大9．（3分）对于实数a、b，定义运算“★”如下：a★b＝a2﹣ab，如3★2＝32﹣3×2，则方程（x+1）★3＝2的根的情况是（　　）A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根10．（3分）如图，正方形纸片ABCD，P为正方形AD边上的一点（不与点A，点D重合）．将正方形纸片折叠，使点B落在点P处，点C落在点G处，PG交DC于点H，折痕为EF，连接BP，BH，BH交EF于点M，连接PM．下列结论：①BE＝PE；②BP＝EF；③PB平分∠APG；④PH＝AP+HC；⑤MH＝MF，其中正确结论的个数是（　　）A．5 B．4 C．3 D．2二、填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）因式分解：4m2﹣16＝　   　．12．（3分）某商场的打折活动规定：凡在本商场购物，可转动转盘一次，并根据所转结果付账．其中不打折的概率为　   　．13．（3分）有甲、乙两组数据，如下表所示：甲1112131415乙1212131414甲、乙两组数据的方差分别为s甲2，s乙2，则s甲2　   　s乙2（填“＞”，“＜”或“＝”）．14．（3分）若A（1，y1），B（3，y2）是反比例函数y＝（m＜）图象上的两点，则y1、y2的大小关系是y1　   　y2.（填“＞”、“＝”或“＜”）15．（3分）如图，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝4．分别以点B、点C为圆心，线段BC长的一半为半径作圆弧，交AB、BC、AC于点D、E、F，则图中阴影部分的面积为 　   　．三．解答题（共7小题，总55分）16．（7分）计算：4cos30°﹣|﹣2|+（）0﹣+（﹣）﹣2．17．（8分）先化简÷（﹣x+1），然后从﹣2，﹣1，0，1选取一个合适的整数作为x的值代入求值．18．（8分）为了更好地宣传“开车不喝酒，喝酒不开车”的驾车理念，某市一家报社设计了如下的调查问卷（单选）．在随机调查了本市全部5000名司机中的部分司机后，整理相关数据并制作了右侧两个不完整的统计图：克服酒驾﹣﹣你认为哪一种方式更好？A．司机酒驾，乘客有责，让乘客帮助监督B．在车上张贴“请勿喝酒”的提醒标志C．签订“永不酒驾”保证书D．希望交警加大检查力度E．查出酒驾，追究就餐饭店的连带责任根据以上信息解答下列问题：（1）请补全条形统计图，并直接写出扇形统计图中m＝　   　；（2）该市支持选项B的司机大约有多少人？（3）若要从该市支持选项B的司机中随机抽取100名，给他们发放“请勿酒驾”的提醒标志，则支持该选项的司机小李被抽中的概率是多少？19．（8分）一天晚上，小颖由路灯A下的B处向正东走到C处时，测得影子CD的长为1米，当她继续向正东走到D处时，测得此时影子DE的一端E到路灯A的仰角为45°，已知小颖的身高为1.5米，求那么路灯AB的高度是多少米？20．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60，AB＝30．D是AC上的动点，过D作DF⊥BC于F，过F作FE∥AC，交AB于E．设CD＝x，DF＝y．（1）求y与x的函数关系式；（2）当四边形AEFD为菱形时，求x的值；（3）当△DEF是直角三角形时，求x的值．21．（8分）某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元，每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．（1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求两次下降的百分率；（2）经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件，那么每天要想获得510元的利润，每件应降价多少元？（3）在（2）的条件下，每件商品的售价为多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少元？22．（8分）已知△ABC是边长为4的等边三角形，BC在x轴上，点D为BC的中点，点A在第一象限内，AB与y轴的正半轴交于点E，已知点B（﹣1，0）．（1）点A的坐标：　   　，点E的坐标：　   　；（2）若二次函数y＝﹣x2+bx+c过点A、E，求此二次函数的解析式；（3）P是AC上的一个动点（P与点A、C不重合）连接PB、PD，设l是△PBD的周长，当l取最小值时，求点P的坐标及l的最小值并判断此时点P是否在（2）中所求的抛物线上，请充分说明你的判断理由．
2023年陕西省西安市雁塔区曲江二中中考数学一模试卷（参考答案与详解）一．选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）﹣2021的绝对值是（　　）A．﹣2021 B．2021 C． D．﹣【分析】根据绝对值的定义即可得出答案．【解答】解：﹣2021的绝对值为2021，故选：B．2．（3分）“一方有难，八方支援”，在2020年新冠疫情期间，全国共有346支医疗队，约42600人支援湖北，其中42600用科学记数法表示为（　　）A．4.26×103 B．42.6×103 C．4.26×104 D．0.426×105【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：42600用科学记数法表示为4.26×104．故选：C．3．（3分）下列运算中正确的是（　　）A．x2y+2yx2＝3x2y B．3y2+4y3＝7y5 C．a+a＝a2 D．2x﹣x＝2【分析】直接利用合并同类项法则分别计算得出答案．【解答】解：A、x2y+2yx2＝3x2y，故此选项正确；B、3y2+4y3无法计算，故此选项错误；C、a+a＝2a，故此选项错误；D、2x﹣x＝x，故此选项错误；故选：A．4．（3分）如图，AB＝AD，∠BAC＝∠DAC＝25°，∠D＝80°，则∠BCA的度数为（　　）A．25° B．50° C．65° D．75°【分析】运用SAS公理，证明△ABC≌△ADC，得到∠D＝∠B＝80°，再根据三角形内角和为180°即可解决问题．【解答】解：在△ABC与△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（SAS），∴∠D＝∠B＝80°，∴∠BCA＝180°﹣25°﹣80°＝75°．故选：D．5．（3分）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，0），B（0，3），以点A为圆心，AB为半径画弧，交x轴正半轴于点C，则点C横坐标所表示的数在哪两个整数之间（　　）A．0到1之间 B．1到2之间 C．2到3之间 D．3到4之间【分析】求出OA、OB，根据勾股定理求出AB，即可得出AC，求出OC长即可．【解答】解：∵A（﹣1，0），B（0，3），∴OA＝1，OB＝3，在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB＝＝＝，∴AC＝AB＝，∴OC＝﹣1，∴点C的横坐标为﹣1，∵3＜4，∴2＜﹣1＜3，∴点C的横坐标介于2到3之间．故选：C．6．（3分）已知一个多项式与3x2+9x的和等于3x2+4x﹣1，则这个多项式是（　　）A．﹣5x﹣1 B．5x+1 C．﹣13x﹣1 D．13x+1【分析】根据和减去一个加数等于另一个加数，计算即可得到结果．【解答】解：根据题意得：（3x2+4x﹣1）﹣（3x2+9x）＝3x2+4x﹣1﹣3x2﹣9x＝﹣5x﹣1，故选：A．7．（3分）若满足＜x≤1的任意实数x，都能使不等式2x3﹣x2﹣mx＞2成立，则实数m的取值范围是（　　）A．m＜﹣1 B．m≥﹣5 C．m＜﹣4 D．m≤﹣4【分析】根据题意得到关于二次函数与反比例函数的函数值的大小关系，然后利用函数图象得到自变量为和1对应的关于m的不等式，再解关于m的不等式组即可．【解答】解：∵2x3﹣x2﹣mx＞2，∴2x2﹣x﹣m＞，抛物线y＝2x2﹣x﹣m的开口向上，对称轴为直线x＝，而双曲线y＝分布在第一、三象限，∵＜x≤1，2x2﹣x﹣m＞，∴x＝时，2×﹣﹣m≥4，解得m≤﹣4，∴实数m的取值范围是m≤﹣4．故选：D．8．（3分）下列表中列出的是一个二次函数自变量x与函数y的几组对应值，下列选项中，正确的是（　　）x……﹣2013……y……6﹣4﹣6﹣4……A．这个函数的图像开口向下 B．这个函数的图像与x轴无交点 C．这个函数最小值小于﹣6 D．当x＞1，y的值随x值得增大而增大【分析】设出二次函数的解析式，根据表中数据求出函数解析式即可判断．【解答】解：设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，由题知，解得，∴二次函数的解析式为y＝x2﹣3x﹣4＝（x﹣4）（x+1）＝（x﹣）2﹣，A．函数图象开口向上，故A选项不符合题意；B．与x轴的交点为（4，0）和（﹣1，0），故B选项不符合题意；C．当x＝时，函数有最小值为﹣＜﹣6，故C选项符合题意；D．函数对称轴为直线x＝，根据图象可知当x＞时，y的值随x值的增大而增大，故D选项不符合题意．故选：C．9．（3分）对于实数a、b，定义运算“★”如下：a★b＝a2﹣ab，如3★2＝32﹣3×2，则方程（x+1）★3＝2的根的情况是（　　）A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根【分析】根据运算“★”的定义将方程（x+1）★3＝2转化为一般式，由根的判别式Δ＝17＞0，即可得出该方程有两个不相等的实数根．【解答】解：∵（x+1）★3＝2，∴（x+1）2﹣3（x+1）＝2，即x2﹣x﹣4＝0，∴Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣4）＝17＞0，∴方程（x+1）★3＝2有两个不相等的实数根．故选：C．10．（3分）如图，正方形纸片ABCD，P为正方形AD边上的一点（不与点A，点D重合）．将正方形纸片折叠，使点B落在点P处，点C落在点G处，PG交DC于点H，折痕为EF，连接BP，BH，BH交EF于点M，连接PM．下列结论：①BE＝PE；②BP＝EF；③PB平分∠APG；④PH＝AP+HC；⑤MH＝MF，其中正确结论的个数是（　　）A．5 B．4 C．3 D．2【分析】①③利用正方形的性质、翻折不变性即可解决问题；②构造全等三角形即可解决问题；④构造全等三角形即可解决问题；⑤只要证明∠MPB＝45°，再利用∠APE的大小情况便可解决问题．【解答】解：如图1，根据翻折不变性可知：PE＝BE，故①正确；∴∠EBP＝∠EPB．又∵∠EPH＝∠EBC＝90°，∴∠EPH﹣∠EPB＝∠EBC﹣∠EBP．即∠PBC＝∠BPH．又∵AD∥BC，∴∠APB＝∠PBC．∴∠APB＝∠BPH．故③正确；如图2，作FK⊥AB于K．设EF交BP于O．∵∠FKB＝∠KBC＝∠C＝90°，∴四边形BCFK是矩形，∴KF＝BC＝AB，∵EF⊥PB，∴∠BOE＝90°，∵∠ABP+∠BEO＝90°，∠BEO+∠EFK＝90°，∴∠ABP＝∠EFK，∵∠A＝∠EKF＝90°，∴△ABP≌△KFE（ASA），∴EF＝BP，故②正确，如图3，过B作BQ⊥PH，垂足为Q．由（1）知∠APB＝∠BPH，∴BA＝BQ，∵BP＝BP．∴Rt△ABP≌Rt△QBP（HL），∴AP＝QP，又∵AB＝BC，∴BC＝BQ．又∵∠C＝∠BQH＝90°，BH＝BH，∴Rt△BCH≌Rt△BQH（HL）∴CH＝QH，∴QP+QH＝AP+CH，即PH＝AP+CH，故④正确；设EF与BP的交点为点N，如图4，∵Rt△ABP≌Rt△QBP，△BCH≌△BQH，∴∠ABP＝∠QBP，∠CBH＝∠QBH，∴∠QBP+∠QBH＝∠ABP+∠CBH＝，即∠PBM＝45°，由折叠知，∠BPM＝∠PBM＝45°，∠EBM＝∠EPM，∠PNF＝∠BNF＝90°，∵AB∥CD，∴∠MHF＝∠EBM＝∠EPM＝45°+∠EPN，∵在四边形DPNF中，∠D＝∠PNF＝90°，∴∠MFH+∠DPN＝180°，∵∠DPN+∠APN＝180°，∴∠APN＝∠MFH，当AP≠AE时，∠APE≠45°，则∠APN≠∠EPM，此时，∠MFH≠∠MHF，则此时MH≠MF，故⑤错误；故选：B．二、填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）因式分解：4m2﹣16＝　4（m+2）（m﹣2）　．【分析】此题应先提公因式4，再利用平方差公式继续分解．平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．【解答】解：4m2﹣16，＝4（m2﹣4），＝4（m+2）（m﹣2）．故答案为：4（m+2）（m﹣2）．12．（3分）某商场的打折活动规定：凡在本商场购物，可转动转盘一次，并根据所转结果付账．其中不打折的概率为　　．【分析】根据概率的计算方法，可得答案．【解答】解：其中不打折的概率为＝；故答案为：．13．（3分）有甲、乙两组数据，如下表所示：甲1112131415乙1212131414甲、乙两组数据的方差分别为s甲2，s乙2，则s甲2　＞　s乙2（填“＞”，“＜”或“＝”）．【分析】根据平均数的计算公式求出甲和乙的平均数，再根据方差公式进行计算即可得出答案．【解答】解：＝×（11+12+13+14+15）＝13，s甲2＝[（11﹣13）2+（12﹣13）2+（13﹣13）2+（14﹣13）2+（15﹣13）2]＝2，＝×（12+12+13+14+14）＝13，s乙2＝[（12﹣13）2+（12﹣13）2+（13﹣13）2+（14﹣13）2+（14﹣13）2]＝0.8，∵2＞0.8，∴s甲2＞s乙2；故答案为：＞．14．（3分）若A（1，y1），B（3，y2）是反比例函数y＝（m＜）图象上的两点，则y1、y2的大小关系是y1　＜　y2.（填“＞”、“＝”或“＜”）【分析】反比例函数的系数为2m﹣1＜0，在每一个象限内，y随x的增大而增大．【解答】解：∵2m﹣1＜0（m＜），∴图象位于二、四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大，又∵0＜1＜3，∴y1＜y2，故答案为：＜．15．（3分）如图，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝4．分别以点B、点C为圆心，线段BC长的一半为半径作圆弧，交AB、BC、AC于点D、E、F，则图中阴影部分的面积为 　4﹣π　．【分析】阴影部分的面积等于△ABC的面积减去空白处的面积即可得出答案．【解答】解：等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝4，∴∠B＝∠C＝45°，∴AB＝AC＝BC＝2∵BE＝CE＝BC＝2，∴阴影部分的面积S＝S△ABC﹣S扇形BDE﹣S扇形CEF＝2﹣×2＝4﹣π，故答案为4﹣π．三．解答题（共7小题，总55分）16．（7分）计算：4cos30°﹣|﹣2|+（）0﹣+（﹣）﹣2．【分析】按照实数的运算法则依次计算：cos30°＝，|﹣2|＝，（）0＝1，＝3，（﹣）﹣2＝9．【解答】解：4cos30°﹣|﹣2|+（）0﹣+（﹣）﹣2＝（3分）＝（5分）＝8．（6分）17．（8分）先化简÷（﹣x+1），然后从﹣2，﹣1，0，1选取一个合适的整数作为x的值代入求值．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式＝÷[﹣（x﹣1）]＝÷＝•＝＝﹣，当x＝﹣1，0，1时，原式没有意义；当x＝﹣2时，原式＝．18．（8分）为了更好地宣传“开车不喝酒，喝酒不开车”的驾车理念，某市一家报社设计了如下的调查问卷（单选）．在随机调查了本市全部5000名司机中的部分司机后，整理相关数据并制作了右侧两个不完整的统计图：克服酒驾﹣﹣你认为哪一种方式更好？A．司机酒驾，乘客有责，让乘客帮助监督B．在车上张贴“请勿喝酒”的提醒标志C．签订“永不酒驾”保证书D．希望交警加大检查力度E．查出酒驾，追究就餐饭店的连带责任根据以上信息解答下列问题：（1）请补全条形统计图，并直接写出扇形统计图中m＝　12　；（2）该市支持选项B的司机大约有多少人？（3）若要从该市支持选项B的司机中随机抽取100名，给他们发放“请勿酒驾”的提醒标志，则支持该选项的司机小李被抽中的概率是多少？【分析】（1）根据选择方式B的有81人，占总数的27%，即可求得总人数，利用总人数减去其它各组的人数即可求得选择方式D的人数，作出直方图，然后根据百分比的意义求得m的值；（2）利用总人数5000乘以对应的百分比即可求得；（3）利用概率公式即可求解．【解答】解：（1）调查的总人数是：81÷27%＝300（人），则选择D方式的人数300﹣75﹣81﹣90﹣36＝18（人），m＝×100＝12．补全条形统计图如下： （2）该市支持选项B的司机大约有：27%×5000＝1350（人）； （3）小李抽中的概率P＝＝．19．（8分）一天晚上，小颖由路灯A下的B处向正东走到C处时，测得影子CD的长为1米，当她继续向正东走到D处时，测得此时影子DE的一端E到路灯A的仰角为45°，已知小颖的身高为1.5米，求那么路灯AB的高度是多少米？【分析】根据已知得出∠E＝∠EAB＝45°，得出AB＝BE，再利用△DCM∽△DBA的性质得出＝，进而求出AB的高度即可．【解答】解：∵∠ABE＝90°，∠E＝45°，∠E＝∠EAB＝45°，∴AB＝BE，∵MC∥AB，∴△DCM∽△DBA，∴＝，设AB＝x，则BD＝x﹣1.5＝x﹣1.5，∴＝，解得：x＝4.5．∴路灯A的高度AB为4.5m．20．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60，AB＝30．D是AC上的动点，过D作DF⊥BC于F，过F作FE∥AC，交AB于E．设CD＝x，DF＝y．（1）求y与x的函数关系式；（2）当四边形AEFD为菱形时，求x的值；（3）当△DEF是直角三角形时，求x的值．【分析】（1）由已知求出∠C＝30°，列出y与x的函数关系式；（2）由四边形AEFD为菱形，列出方程y＝60﹣x与y＝x组成方程组求x的值，（3）由题意可得当△EDF是直角三角形时，分两种情形求解即可．【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60，AB＝30，∴∠C＝30°，∵CD＝x，DF＝y．∴y＝x； （2）∵四边形AEFD为菱形，∴AD＝DF，∴y＝60﹣x∴方程组，解得x＝40，∴当x＝40时，四边形AEFD为菱形； （3）①当∠EDF＝90°，∵∠FDE＝90°，FE∥AC，∴∠EFB＝∠C＝30°，∵DF⊥BC，∴∠DEF+∠DFE＝∠EFB+∠DFE，∴∠DEF＝∠EFB＝30°，∴EF＝2DF，∴60﹣x＝2y，与y＝x，组成方程组，得解得x＝30．②当∠DEF＝90°时，在Rt△ADE中，AD＝60﹣x，∠AED＝90°﹣∠FEB＝90°﹣∠A＝30°，AE＝2AD＝120﹣2x，在Rt△EFB中，EF＝AD＝60﹣x，∠EFB＝30°，∴EB＝EF＝30﹣x，∵AE+EB＝30，∴120﹣2x+30﹣x＝30，∴x＝48．综上所述，当△DEF是直角三角形时，x的值为30或48．21．（8分）某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元，每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．（1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求两次下降的百分率；（2）经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件，那么每天要想获得510元的利润，每件应降价多少元？（3）在（2）的条件下，每件商品的售价为多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少元？【分析】（1）设每次降价的百分率为x，（1﹣x）2为两次降价的百分率，40降至32.4就是方程的平衡条件，列出方程求解即可；（2）设每天要想获得510元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价y元，由销售问题的数量关系建立方程求出其解即可；（3）设每件商品应降价y元，获得利润为W，根据题意得到函数解析式，即可得到最大值．【解答】解：（1）设每次降价的百分率为x．40×（1﹣x）2＝32.4，解得x＝10%或190%（190%不符合题意，舍去）．答：该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，两次下降的百分率为10%； （2）设每天要想获得510元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价y元，由题意，得（40﹣30﹣y）（4×+48）＝510，解得：y1＝1.5，y2＝2.5，∵有利于减少库存，∴y＝2.5．答：要使商场每月销售这种商品的利润达到510元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价2.5元； （3）设每件商品应降价y元，获得利润为W，由题意得，W＝（40﹣30﹣y）（4×+48）＝﹣8y2+32y+480＝﹣8（y﹣2）2+512，故每件商品的售价为38元时，每天可获得最大利润，最大利润是512元．22．（8分）已知△ABC是边长为4的等边三角形，BC在x轴上，点D为BC的中点，点A在第一象限内，AB与y轴的正半轴交于点E，已知点B（﹣1，0）．（1）点A的坐标：　（1，2）　，点E的坐标：　（0，）　；（2）若二次函数y＝﹣x2+bx+c过点A、E，求此二次函数的解析式；（3）P是AC上的一个动点（P与点A、C不重合）连接PB、PD，设l是△PBD的周长，当l取最小值时，求点P的坐标及l的最小值并判断此时点P是否在（2）中所求的抛物线上，请充分说明你的判断理由．【分析】（1）△ABC是边长为4的等边三角形，则BC＝4，而点D为BC的中点，BD＝2，点B（﹣1，0），则OD＝1，就可以求出A的横坐标，等边三角形的高线长，就是A的纵坐标．在直角三角形OBE中，根据三角函数可以求出OE的长，即得到E点的纵坐标．（2）已经求出A，E的坐标，根据待定系数法就可以求出函数的解析式．（3）先作点D关于AC的对称点D'，连接BD'交AC于点P，则PB与PD的和取最小值，即△PBD的周长L取最小值．根据三角函数求的D′的坐标，再求出直线BD′的解析式，以及直线AC的解析式，两直线的交点就是P的坐标．把点P的坐标代入二次函数的解析式，就可以判断是否在函数的图象上．【解答】解：（1）连接AD，如图1，∵△ABC是边长为4的等边三角形，又B的坐标为（﹣1，0），BC在x轴上，A在第一象限，∴点C在x轴的正半轴上，∴C的坐标为（3，0），由中点坐标公式，得：D的坐标为（1，0）．显然AD⊥BC且AD＝BD＝2，∴A的坐标是（1，2）．OE＝AD，得E（0，）；（2）因为抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A、E，由待定系数法得：c＝，b＝，抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+；（3）作点D关于AC的对称点D'，连接BD'交AC于点P，则PB与PD的和取最小值，即△PBD的周长L取最小值，如图2．∵D、D′关于直线AC对称，∴DD′⊥AC，即∠D′DC＝30°，DF＝，DD'＝2，求得点D'的坐标为（4，），直线BD'的解析式为：y＝x+，直线AC的解析式为：y＝﹣x+3，求直线BD'与AC的交点可，得点P的坐标（，）．此时BD'＝＝＝2，所以△PBD的最小周长L为2+2，把点P的坐标代入y＝﹣+x+成立，所以此时点P在抛物线上．