2023年陕西省西安市雁塔区曲江三中中考数学三模试卷（含解析）

2023年陕西省西安市雁塔区曲江三中中考数学三模试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的绝对值是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  第七次全国人口普查结果公布，全国人口约亿，用科学记数法表示亿为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  已知与互余，若，则的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  计算：(    )

A.  B.  C.  D.

5.  关于的一元二次方程的一个解是，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，在平行四边形中，，平分交于点，若，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

7.  如图，是的直径，为上的点，是的中点，连接，，若，则的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，直线是二次函数的图象的对称轴，则下列结论：；；；，正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

9.  比较大小： ______ 填“”“”或“”

10.  分解因式： ______ ．

11.  如图，是反比例函数图象上的一点，过点作轴于点，点为轴上的一点，连接，，则的面积是______ ．

12.  如图，四边形是矩形，点的坐标为，，把矩形沿折叠，点落在点处，交于点，则点的坐标为______ ．

13.  如图，在正方形中，，是边的中点，是正方形内一动点，且，连接，，，过点作，，且，，连接，，，则线段长度的最小值为______ ．

三、解答题（本大题共13小题，共81.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

14.  本小题分
计算：．

15.  本小题分
解不等式组：．

16.  本小题分
化简：．

17.  本小题分
如图，在的边上求作点，使点到，两边的距离相等请用尺规作图，保留作图痕迹，标明字母

18.  本小题分
如图，，，三点在同一直线上，，，．
求证：≌．

19.  本小题分
商场销售某种商品，若按原价销售每天可卖件，“五一”期间，每件商品打九折，结果销售量为件，且每天销售额比打折前多元，求该商品原价为多少元？

20.  本小题分
有张不透明的卡片，除正面上的图案不同外，其他均相同，现将这张卡片背面向上，洗匀后放在桌面上．
若从中随机抽取张卡片，则卡片上的图案是轴对称图形的概率是______ ．
小明从中随机抽取张卡片后，记下卡片图案，将卡片放回与其他卡片洗匀后，再随机抽取张，记下卡片图案，请用画树状图或列表的方法，求两次抽取的卡片上的图案均为轴对称图形的概率．

21.  本小题分
某中学举办党史知识竞赛，设定满分分，学生得分均为整数，在初赛中，甲、乙两组每组人学生成绩单位：分如下．
甲组：
乙组：

以上成绩统计分析表中 ______ ， ______ ．
小明同学说：“这次竞赛我得了分，在我们小组中属中游略偏上”观察上面表格判断，小明可能是______ 组的学生．
若要从甲、乙两组学生中选择一个组参加决赛，你认为应选哪个组？请说明理由．

22.  本小题分
利用风力发电非常环保，且风能蕴量巨大，因此风力发电日益受到重视，风电机组主要由塔杆和叶片组成，如图，琳琳站在处测得一塔杆顶端的仰角是，她又沿方向水平前进米到达山底处，在山顶处发现当一叶片到达最高位置时，测得叶片的顶端的仰角是点，，在同一直线上，已知塔杆的高为米塔杆与叶片连接处的长度忽略不计，山高为米，，，求叶片的长度结果保留根号

23.  本小题分
如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，与轴交于点．
求该反比例函数和一次函数的表达式．
在轴正半轴上是否存在一点，使得的面积是的面积的倍，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

24.  本小题分
如图，在中，，是的中点，以为圆心，为半径作圆，交于点，是的中点，延长交的延长线于点，连接．
求证：是的切线．
若，，求的半径．

25.  本小题分
定义：函数的图象与轴的交点，的横坐标分别为，，与轴的交点的纵坐标为，若，中至少存在一个值，且满足或，
则称该函数为“函数”，例如，函数的图象与轴的一个交点为，与轴的交点为，满足，则称为“函数”．
请探究“函数”中，与的关系．
如图，“函数”的图象与轴交于，两点点在点的左侧，且经过点，现将抛物线沿射线方向平移，使点落在点处，同时抛物线上的点落在点处，已知由抛物线平移前，之间的曲线部分，平移后，之间的曲线部分及线段，所围成的图形的面积为，求线段的长．

26.  本小题分
问题提出
如图，是的直径，是上的一动点，若，则面积的最大值为______ ．
问题探究
如图，是的弦，是优弧上的一动点，过点作于点，试猜想：当点在什么位置时，最长，并说明理由．
问题解决
如图，四边形是某市规划中的新商业区示意图，，，，，，现计划在四边形内选取一点，把建成商业活动区，其余部分建成景观绿化区，为方便进入商业区，需修建小路，，从实用和美观的角度，要求满足，求商业活动区的最大面积．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的绝对值是，
故选：．
利用绝对值的定义求解即可．
本题主要考查了绝对值，解题的关键是熟记绝对值的定义．
 

2.【答案】 

【解析】解：亿．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

【解析】解：由题意得，．
．
故选：．
根据余角的定义以及度分秒的换算解决此题．
本题主要考查余角、度分秒的换算，熟练掌握余角的定义以及度分秒的换算是解决本题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
根据幂的乘方和积的乘方的运算方法，计算即可．
此题主要考查了幂的乘方和积的乘方，解答此题的关键是要明确：是正整数；是正整数．
 

5.【答案】 

【解析】解：把代入，得，
解得，
，即，
．
故选：．
先把一元二次方程的解代入方程得到关于的方程，解得，然后再根据一元二次方程的定义确定满足条件的值．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．也考查了一元二次方程的定义．
 

6.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，，
，
平分，
，
，是等边三角形，
，，
，
．
故选：．
证是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，由可得．
本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：连接，，
，
，
，
是的中点，
，
．
故选：．
连接，，根据圆周角定理可得出的度数，由平角的定义可得出的度数，根据是的中点可知，进而可得出结论．
本题考查的圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，根据题意作出辅助线，构造出圆心角是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：开口向下，
，
对称轴在轴右侧，
，
，
抛物线与轴交于正半轴，
，
，故结论错误；
对称轴为直线，
．
．
故结论正确；
，
，
当时，，
，故结论不正确；
当时，，故结论正确；
综上所述，正确的结论是．
故选：．
由开口方向、对称轴及抛物线与轴的交点位置可判断结论；由对称轴及对称轴公式可判断结论；抛物线的对称轴直线，由时，，即可判断结论；由时，，即可判断结论．
本题考查了二次函数图象与系数之间的关系，熟练掌握二次函数的开口方向，对称轴，图象与轴交点，函数增减性并会综合运用是解决本题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，，
，
．
故答案为：．
先通分，然后再比较大小即可．
此题主要考查了分数的比较大小，关键是掌握有理数大小比较的法则：正数都大于； 负数都小于； 正数大于一切负数； 两个负数，绝对值大的其值反而小．
 

10.【答案】 

【解析】解：原式
．
故答案为：．
原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：如图，连接，
轴，
，
．
故答案为：．
连接，如图，利用三角形面积公式得到，再根据反比例函数的比例系数的几何意义得到，即可得到结果．
本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．
 

12.【答案】 

【解析】解：，，
，，
四边形是矩形，
，
，
由折叠得，
，
，
，
，
，
解得，
点的坐标为，
故答案为：．
由，，得，，由，得，由折叠得，则，所以，根据勾股定理得，求得，则，于是得到问题的答案．
此题重点考查图形与坐标、矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理等知识，证明是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：，，
，
即：，
，
在和中，
，
≌，
，，
四边形为正方形，，
，，
点为的中点，
，
过点作于点，

则，，
，
，
，
在和，
，
≌，
，，
，
在中，，，
由勾股定理得：，
由线段的性质得：，
即：，
，
的最小值为．
故答案为：．
首先证明和全等，从而得出，，过点作于点，再证和全等，从而，，然后利用勾股定理求出，最后根据“两点之间线段最短”得出，据此即可求出的最小值．
本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，线段的性质等知识点，解答此题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，难点是根据“两点之间线段最短”构造不等式，从而求出的最小值．
 

14.【答案】解：原式

． 

【解析】利用绝对值的意义和零指数幂的意义化简运算即可．
本题主要考查了实数的运算，绝对值的意义和零指数幂的意义，熟练掌握实数法则与性质是解题的关键．
 

15.【答案】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集是． 

【解析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可．
主要考查了一元一次不等式组解集的求法，求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到无解．
 

16.【答案】解：原式

． 

【解析】先通分算括号内的，把除化为乘，再约分即可．
本题考查分式的化简，解题的关键是掌握分式的基本性质，能进行通分和约分．
 

17.【答案】解：如图：点即为所求．
 

【解析】作的平分线与的交点即为所求．
本题考查了复杂作图，掌握角平分线的性质是解题的关键．
 

18.【答案】解：，
，
在和中，
，
≌． 

【解析】由平行线的性质得到，由即可证明≌．
本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法．
 

19.【答案】解：设商品原价为元，
根据题意得：，
解得，
答：商品原价为元． 

【解析】设商品原价为元，根据每天销售额比打折前多元得：，即可解得答案．
本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程．
 

20.【答案】 

【解析】解：张卡片中，卡片上的图案是轴对称图形的有、，卡片上的图案是中心对称图形的有、，
若从中随机抽取张卡片，则卡片上的图案是轴对称图形的概率是，
故答案为：；
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中两次抽取的卡片上的图案均为轴对称图形的结果有种，即、、、，
两次抽取的卡片上的图案均为轴对称图形的概率为．
直接由概率公式求解即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中两次抽取的卡片上的图案均为轴对称图形的结果有种，即、、、，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率以及轴对称图形和中心对称图形．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

21.【答案】    甲 

【解析】解：把甲组的成绩从小到大排列后，中间两个数的平均数是，则中位数；
乙组学生成绩中，数据出现的次数最多，所以众数．
故答案为：，；
小明可能是甲组的学生，理由如下：
甲组的中位数是分，而小明得了分，
因为，
所以在小组中属中游略偏上，
故答案为：甲；
选乙组参加决赛．理由如下：
甲、乙两组学生平均数相同，而，
乙组的成绩比较稳定，
故选乙组参加决赛．
根据中位数和众数的定义分别进行解答即可得出答案；
根据中位数的意义即可得出答案；
根据平均数与方差的意义即可得出答案．
本题考查了平均数，中位数，众数，方差的意义．平均数表示一组数据的平均程度；中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数或最中间两个数的平均数；一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；方差是用来衡量一组数据波动大小的量．
 

22.【答案】解：过点作，垂足为，

由题意得：，米，米，
在中，，米，
米，
米，
在中，，
米，
米，
叶片的长度为米． 

【解析】过点作，垂足为，根据题意可得：，米，米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

23.【答案】解：反比例函数的图象经过点，
，
一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，与轴交于点．
，
解得，
反比例函数的表达式为，一次函数的表达式；
由，解得或，
，
．
，
设点的坐标为，
面积是面积的倍，
，
解得或，
． 

【解析】利用待定系数法即可求解；
首先求得点的坐标，然后根据点的坐标，求出，设点的坐标为，再表示出面积，列方程即可．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，主要考查了待定系数法求函数解析式，求函数的交点，三角形的面积等知识，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
 

24.【答案】证明：连接、，如图，
是的中点，为的中点，
为的中位线，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
为的半径，
是的切线；
解：设的半径为，则，，
，
，
在中，，
，，
∽，
，即，
解得，
即的半径为． 

【解析】连接、，如图，先证明得到，，则可得到，接着证明≌，所以，然后根据切线的判定方法得到结论；
设的半径为，则，，先利用勾股定理计算出，再证明∽，利用相似三角形的性质得到，然后解方程即可．
本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质．
 

25.【答案】解：当时，．
函数是“函数”，
当时，，即点在抛物线上，
，
，
，
．
答：与的关系为：．
由可得，即，
将代入，
得，解得，
抛物线的解析式为，
令，解得，，
，，
如图，连接，，根据平移的性质可知，与平行且相等，

四边形是平行四边形．
易知，，之间的曲线部分，，之间的曲线部分，线段，所围成的图形的面积就是平行四边形的面积．
过点作于，
，，，
，，
，
，
，
．
答：线段的长为． 

【解析】根据函数是“函数”，当时，，即与轴交点的纵坐标为，将代入，即可求出与的关系．
根据题意求出解析式，进而得出四边形是平行四边形，根据，之间的曲线部分，，之间的曲线部分及线段，所围成的图形的面积就是平行四边形的面积，列出等式求解即可．
本题考查了新定义，二次函数与坐标轴的交点等，解题关键是掌握二次函数与坐标轴的交点应用．
 

26.【答案】 

【解析】解：当点为的中点时，，此时，取最大值为，
面积的最大值为，
故答案为：；
证明：设经过圆心时的线段为，则，过点作于点，连接，
，，，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
即，
当且仅当经过圆心时，的长度最大；
，
点、、、四点共圆，

由的结论可知，当点为优弧的中点时，可使得的面积最大，
过点作于点，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
点为优弧的中点，
，
为的中点，
，
，

的面积的最大值为．
利用底一定，高最大时三角形的面积最大解答即可；
设经过圆心时的线段为，则，过点作于点，连接，利用矩形的判定与性质和垂线段最短解答即可；
根据题意得，点、、、四点共圆，由的结论可知，当点为优弧的中点时，可求得的面积的最大值．
本题是圆的综合题，主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，四点共圆，等腰直角三角形的判定与性质，图形的旋转的性质，特殊角的三角函数值，直角三角形的边角关系定理，利用已知条件构造恰当的辅助线是解题的关键．