2023年山东省临沂市中考数学模拟试卷（一）（含答案）

2023年山东省临沂市中考数学模拟试卷（一）

一、单选题（每题3分，共30分）

1．下列运算正确的是（　　）  

A． B．

C． D．

2．估计的值应在（　　）

A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间

3．关于x的分式方程 的解为正数，且关于y的不等式组 的解集为y≥5，则所有满足条件的整数a的值之和是(　　)

A．13 B．15 C．18 D．20

4．计算（4x3-2x）÷（-2x）-1的结果是（　　）

A．2x2 B．-2x2 C．-2x2+1 D．-2

5．下列等式变形正确的是（　　）．

A．如果s＝ab，那么b＝ B．如果x＝2y＋1，那么mx＝2my＋1

C．如果x﹣4＝y﹣4，那么x﹣y＝0 D．如果mx＝my，那么x＝y

6．如图，过点C(1，2)分别作x轴、y轴的平行线，交直线y=-x+6于点A，B，若反比例函数y=    (x>0)的图像与△ABC有公共点，则k的取值范围是(　　) 

A．2≤k≤9 B．2≤k≤8 C．2≤k≤5 D．5≤k≤8

7．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　）  

A．m＜﹣1 B．m＜1 C．m＞﹣1 D．m＞1

8．如图，矩形ABCD的边长AB＝6，BC＝8，将矩形沿EF折叠，使点C与点A重合，则折痕EF的长是（　　） 

A．7.5 B．6 C．10 D．5

9．如图，点 在 上， 是 的切线， 为切点， 的延长线交 于点 ， ，则 的度数是（　　） 

A．22.5° B．20° C．30° D．45°

10．在同一平面直角坐标系中，函数y=ax2+bx与y=ax+b的图象可能是（　　） 

A． B．

C． D．

二、填空题（每空3分，共18分）

11．如图，将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点叠放在长方形的两条对边上，如果∠1=27°，那么∠2=　     　°

12．如图，直线a，b过等边三角形 顶点A和C，且 ， ，则 的度数为　     　. 

13．如图，一天，我国一渔政船航行到A处时，发现正东方向的我领海区域B处有一可疑渔船，正在以12海里/时的速度向西北方向航行，我渔政船立即沿北偏东60°方向航行，1.5小时后，在我航海区域的C处截获可疑渔船，问我渔政船的航行路程是　     　海里（结果保留根号）．

14．如图，在矩形OABC中，BC=2AB，点A、C分别在x轴、y轴正半轴上，点C坐标为(0，a)，连接AC，将矩形OABC沿AC折叠，点B的对应点为点B′，CB′交x轴于点D，则点D的坐标为　             　（用含a的式子表示）．

15．在学校组织的义务植树活动中，甲、乙两组各四名同学的植树棵数如下，甲组：9，9，11，10；乙组：9，8，9，10；分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，则这两名同学的植树总棵数为19的概率　     　．

16．如图，在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点的坐标分别为（-1，2）、（1，1）．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于C、D两点，点C在点D左侧，当顶点在线段AB上移动时，点C横坐标的最小值为-2．在抛物线移动过程中，a-b+c的最小值是　     　．

三、解答题（共9题，共72分）

17．解方程组及不等式组

（1）

（2）

18．  

（1）因式分解：；

（2）化简：；

（3）解不等式组：；

（4）解方程：．

19．某市公租房倍受社会关注，2012年竣工的公租房有A，B，C，D 四种型号共500套，B型号公租房的入住率为40%．A，B，C，D 四种型号竣工的套数及入住的情况绘制了图1和图2两幅尚不完整的统计图． 

（1）请你将图1和图2的统计图补充完整； 

（2）在安置中，由于D型号公租房很受欢迎，入住率很高，2012年竣工的D型公租房中，仅有5套没有入住，其中有两套在同一单元同一楼层，其余3套在不同的单元不同的楼层．老王和老张分别从5套中各任抽1套，用树状图或列表法求出老王和老张住在同一单元同一楼层的概率． 

20．随着科学技术的发展，机器人早已能按照设计的指令完成各种动作．在坐标平面上，根据指令[S，α]（S≥0，0°＜α＜180°）机器人能完成下列动作：先原地顺时针旋转角度α，再朝其对面方向沿直线行走距离s．

（1）如图，若机器人在直角坐标系的原点，且面对y轴的正方向，现要使其移动到点A（2，2），则给机器人发出的指令应是什么；

（2）机器人在完成上述指令后，发现在P（6，0）处有一小球正向坐标原点做匀速直线运动，已知小球滚动的速度与机器人行走的速度相同，若忽略机器人原地旋转的时间，请你给机器人发一个指令，使它能最快截住小球．（如图，点C为机器人最快截住小球的位置，角度精确到度；参考数据：sin49°≈0.75，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

21．已知△ABC，以AC为边在△ABC外作等腰△ACD，其中AC=AD．

（1）如图1，若∠DAC=2∠ABC，AC=BC，四边形ABCD是平行四边形，则∠ABC=　     　；

（2）如图2，若∠ABC=30°，△ACD是等边三角形，AB=3，BC=4．求BD的长；

（3）如图3，若∠ABC=30°，∠ACD=45°，AC=2，B、D之间距离是否有最大值？如有求出最大值；若不存在，说明理由．

22．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+2=0．

（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；

（2）若方程两实数根分别为x1、x2，且满足x12+x22=31+|x1x2|，求实数m的值．

23．阅读材料，请回答下列问题.

材料一：我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积，用现代式子表示即为： ①（其中 为三角形的三边长， 为面积），而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的“海伦公式”； ……②（其中 ）

材料二：对于平方差公式： 公式逆用可得： ，例：

（1）若已知三角形的三边长分别为4，5，7，请分别运用公式①和公式②，计算该三角形的面积；  

（2）你能否由公式①推导出公式②？请试试，写出推导过程.  

24．在Rt△ACB中，∠ACB=90°，以AC长为半径作⊙A．

（1）尺规作图：将△ACB绕点A顺时针旋转得△AC'B'，使得点C的对应点C'落在线段AB上（保留作图痕迹，不用写画法）；

（2）在（1）的条件下，若线段B'A与⊙A交于点P，连接BP．

①求证：BP与⊙A相切；

②如果CA=5，CB=12，BP与B'C'交于点O，连接OA，求OA的长．

25．如图①，在平面直角坐标系xOy中，批物线y＝x2﹣4x＋a（a＜0）与y轴交于点A，与x轴交于E、F两点（点E在点F的右侧），顶点为M.直线 与x轴、y轴分别交于B、C两点，与直线AM交于点D.

（1）求抛物线的对称轴；

（2）在y轴右侧的抛物线上存在点P，使得以P、A、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求a的值；

（3）如图②，过抛物线顶点M作MN⊥x轴于N，连接ME，点Q为抛物线上任意一点，过点Q作QG⊥x轴于G，连接QE.当a＝﹣5时，是否存在点Q，使得以Q、E、G为顶点的三角形与△MNE相似（不含全等）？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

答案解析部分

1．【答案】D

2．【答案】C

3．【答案】A

4．【答案】B

5．【答案】C

6．【答案】A

7．【答案】B

8．【答案】A

9．【答案】A

10．【答案】C

11．【答案】57

12．【答案】102°

13．【答案】

14．【答案】（，0）

15．【答案】

16．【答案】-7

17．【答案】（1）解： ， 

①×2+②×5得：26x=39，

解得：x=1.5，

把x=1.5代入①得：4.5-5y=7，

解得：y=-0.5，

所以方程组的解是： ；

（2）解： ， 

解不等式①得：x≤1，

解不等式②得：x＜4，

∴不等式组的解集是x≤1．

18．【答案】（1）解：原式

．

（2）解：原式

．

（3）解：

不等式，

去括号得，

解得，

不等式，

去分母得，

移项合并得，

∴原不等式组的解集为：．

（4）解：

方程两边都乘以，得：

，

解得，

经检验，是原方程的根．

19．【答案】（1）解：1﹣40%﹣20%﹣35%=5%； 

500×20%=100套，100×40%=40，

如图所示：

（2）解：设5套房子分别编号为：1，2，3，4，5，只有1，2在同一楼层， 

则列表为：

∴老王和老张住在同一单元同一层楼只有（1，2），（2，1），

∴老王和老张住在同一单元同一层楼的概率是：2÷20=

20．【答案】（1）解：作AB⊥x轴，

∵A（2，2），

∴OA=2 ，

∴∠AOB=45°，

∴给机器人发的指令为：[2 ，45°]；

（2）解：作AC=PC，设PC=x，则BC=4-x，

在Rt△ABC中： ，

解得x=2.5，

又∵tan∠BAC= ，

∴∠BAC=37°，

∵∠OAB=45°，

∴∠OAC=37°+45°=82°，

∴∠DAC=180°-82°=98°，

∴输入的指令为[2.5，98°]．

21．【答案】（1）45°

（2）解：如图2，以AB为边在△ABC外作等边三角形△ABE，连接CE．∵△ACD是等边三角形，∴AD=AC，∠DAC=60°．∵∠BAE=60°，∴∠DAC+∠BAC=∠BAE+∠BAC．

即∠EAC=∠BAD

∴△EAC≌△BAD．

∴EC=BD．

∵△AEB是等边三角形，

∴∠EBA=60°，EB=3，

∵∠ABC=30°，∴∠EBC=90°．∵∠EBC=90°，EB=3，BC=4，

∴EC=5．

∴BD=5

（3）解：如图3中，在△ACD的外部作等边三角形△ACO，以O为圆心OA为半径作⊙O．∵∠ABC= ∠AOC=30°，∴点B在⊙O上运动，

作OE⊥DA交DA的延长线于E．

在Rt△AOE中，OA=AC=2，∠EAO=30°，

∴OE= OA=1，AE= ，

在Rt△ODE中，DE=AE+AD=2+ ，

∴DO= = + ，

当B、O、D共线时，BD的值最大，最大值为OB+OD=2+ +

22．【答案】（1）解：∵关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+2=0有实数根，

∴△≥0，即（2m+3）2﹣4（m2+2）≥0，

∴m≥﹣；

（2）解：根据题意得x1+x2=2m+3，x1x2=m2+2，

∵x12+x22=31+|x1x2|，

∴（x1+x2）2﹣2x1x2=31+|x1x2|，

即（2m+3）2﹣2（m2+2）=31+m2+2，

解得m=2，m=﹣14（舍去），

∴m=2．

23．【答案】（1）解：由公式①得

由②得 ，故 .

（2）解：可以，过程如下： 

由平方差公式，①中根号内的式子可化为

通分，得

由完全平方公式，得

由平方差公式，得 ③

由 ，得

代入③，得

所以

24．【答案】（1）解：如图，即为所求；

（2）解：①根据旋转可知，，

∵在△BAP和△BAC中，，

，

，

，

，

与相切；

②在△ABC中，，，，

，

由旋转可知：，

，

，

，

，

由①可知，，

，

，

又∵，

，

，

即，

，

．

故答案为：．

25．【答案】（1）解：∵y＝x2﹣4x＋a＝（x﹣2）2＋a﹣4， 

∴抛物线的对称轴为直线x＝2；

（2）解：由y＝（x﹣2）2＋a﹣4得：A（0，a），M（2，a﹣4），

由y＝ x﹣a 得C（0，﹣a），

设直线AM的解析式为y＝kx＋a，

将M（2，a﹣4）代入y＝kx＋a中，得2k＋a＝a﹣4，

解得k＝﹣2，

直线AM的解析式为y＝﹣2x＋a，

联立方程组得 ，解得   ，

∴D（ a，－ a），

∵a＜0，

∴点D在第二象限，

又点A与点C关于原点对称，

∴AC是以P、A、C、D为顶点的平行四边形的对角线，则点P与点D关于原点对称，

即P（－ a， a），

将点P（﹣ a， a）代入抛物线y＝x2﹣4x＋a，解得a＝ 或a＝0（舍去），

∴a＝ ；

（3）解：存在，

理由如下：当a＝﹣5时，y＝x2﹣4x﹣5＝（x﹣2）2﹣9，此时M（2，﹣9），

令y＝0，即（x﹣2）2﹣9＝0，解得x1＝﹣1，x2＝5，

∴点F（﹣1，0）E（5，0），

∴EN＝FN＝3   MN＝9，

设点Q（m，m2﹣4m﹣5），则G（m，0），

∴EG＝|m﹣5|QG＝|m2﹣4m﹣5|，

又△QEG与△MNE都是直角三角形，且∠MNE＝∠QGE＝90°，

如图所示，需分两种情况进行讨论：

i）当 时，即 ＝ ，

解得m＝2或m＝﹣4或m＝5（舍去）；

当m＝2时点Q与点M重合，不符合题意，舍去，

当m＝﹣4时，此时Q坐标为点Q1（﹣4，27）；

ii）当 时，即 ＝ ，

解得m＝ 或m＝－ 或m＝5（舍去），

当m＝ 时，Q坐标为点Q2（ ， ），

当m＝－ ，Q坐标为点Q3（－ ， ），

综上所述，点Q的坐标为（﹣4，27）或（ ， ）或（ ， ）.