高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册第六章 概率5 正态分布精品课时练习

课时把关练

§5  正态分布

1.设XN（1，21），YN（2，22）， 这两个正态密度曲线如图所示.下列结论中正确的是（　）

A.P（Y≥2）≥P（Y≥1）

B.P（X≤2）≤P（X≤1）

C.对任意正数t，P（X≤t）≥P（Y≤t）

D.对任意正数t，P（X≥t）≥P（Y≥t）

2.已知随机变量X服从正态分布N（3，2），且P（X≤4）＝0.84，则P（2< X<4）＝（　）

A.0.84          B.0.68          C.0.32           D.0.16

3.设X，则X落在［-3.5，-0.5］内的概率是（　）

A.95.44%        B.99.74%        C.68.26%          D.0.26%

4.已知随机变量N（1，2），且P（≤0）＝P（≥a），则+（0x a）的最小值为（　）

A. 9            B.             C. 4             D. 6

5.某地用随机抽样的方式检查了10 000名成年男子的红细胞数，发现成年男子红细胞数服从正态分布，其中均值为4.78（1012/ L），标准差为0.38（1012/ L），则样本中红细胞数不高于4.02（1012/ L）的成年男子人数大约为（　）

A. 228          B. 456          C. 1 587          D. 4 772

6.为了了解某类工程的工期，某公司随机选取了10个这类工程，得到如下数据（单位：天）：17，23，19，21，22，21，19，17，22，19.若该类工程的工期XN（，2）（其中和分别为样本的平均数和标准差），由于疫情需要，要求在22天之内完成一项此类工程，估计能够在规定时间内完成该工程的概率为（　）（保留至小数点后两位）

A. 0.84         B. 0.34          C. 0.16          D. 0.86

7.某校高三学生小李每天早晨7：00下课后，从教室到学校餐厅吃早餐，步行4分钟，打饭所需时间Z（单位：分钟）服从正态分布N（5，1），吃饭需要15分钟，而后步行4分钟返回教室.已知学校要求学生7：30开始在教室内上自习，则小李上自习不迟到的概率约为（　）（保留至小数点后四位）

A. 0.165 7      B. 0.834 4       C. 0.977 2   D. 0.998 7

8.某校在模块考试中约有1 000人参加考试，数学考试成绩ξ服从正态分布N（90，a2）（a>0，试卷满分150分），统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的，则此次数学考试成绩不低于110分的学生人数约为（　）

A.200           B.300            C.400           D.600

9.为弘扬我国优秀的传统文化，某市教育局对全市所有中小学生进了“成语”听写测试，经过大数据分析，发现本次听写测试成绩服从正态分布N（78，16）.试根据正态分布的相关知识估计测试成绩不低于90的学生所占的百分比为（　）（参考数据：若XN（，2），则P（X≤）≈0.682 6，

P（X≤）≈0.954 4，P（X≤）≈0.997 4）

A.0.13%         B.1.3%            C.3%            D.3.3%

10.［多选题］已知正态分布N（，2）的密度曲线是f（x）＝， x∈R，那么下列给出的四个命题中正确的有（　）

A.对任意的x∈R，f（+x）＝f（-x）恒成立

B.若随机变量X服从正态分布N（108，100），则X的均值是108，标准差是100

C.若随机变量X服从正态分布N（，2），P（X1）＝，P（X2）＝p，则P（0<X<2）＝1-2p

D.若随机变量X服从正态分布N（，2），且F（x）＝P（Xx），则F（x）是上的增函数

11.已知随机变量XN（2，1），其正态分布密度曲线如图所示，则图中阴影部分的面积为　　　　.

12.设随机变量X服从正态分布N（1，4），若P（Xa+1）＝ P（X2a-5），则a＝　　　　.

13.数学建模是高中数学核心素养的一个组成部分，数学建模能力是应用意识和创新意识的重要表现.为全面推动数学建模活动的开展，某学校举行了一次数学建模竞赛活动，已知该竞赛共有60名学生参加，他们成绩的频率分布直方图如图.

（1）为了对数据进行分析，将60分以下的成绩定为不合格，60分以上（含60分）的成绩定为合格.为科学评估该校学生的数学建模水平，决定利用分层抽样的方法从这60名学生中选取10人，然后从这10人中抽取4人参加座谈会.记为抽取的4人中成绩不合格的人数，求的分布列和数学期望；

（2）已知这60名学生的数学建模竞赛成绩X服从正态分布N（，2），其中可用样本平均数近似代替，2可用样本方差近似代替（用一组数据的中点值作代表），若成绩在46分以上的学生均能得到奖励，本次数学建模竞赛满分为100分，试估计此次竞赛能得到奖励的人数.（结果根据四舍五入保留到整数位）

解题中可参考使用下列数据：P（X≤）≈0.682 6，P（X≤ ）≈0.954 4，P（X≤）≈ 0.997 4.

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§5  正态分布

参考答案

1.C     2.B     3.B     4.B     5.A     6.A     7.C     8.A     9.A    10.ACD

11.0.135 9     12.2

13.解：（1）由频率分布直方图和分层抽样的方法，

可知抽取的10人中合格的人数为（0.01+0.02）×20×10＝6，不合格的人数为10-6＝4.

因此，的可能取值为0，1，2，3，4，则

P（＝0）＝＝，P（＝1）＝＝，P（＝2）＝＝，P（＝3）＝＝，

P（＝4）＝＝.

故的分布列为

所以的数学期望E＝0×+1×+2×+ 3×+4×＝.

（2）由题意可知，＝（30×0.005+50×0.015+70×0.02+90×0.01）×20＝64.

2＝（30-64）2×0.1+（50-64）2×0.3+（70-64）2×0.4+（90-64）2×0.2＝324，所以＝18.

由X服从正态分布N（，2），得P（64-18<X≤64+18）＝P（46<X≤82）≈0.682 6，

则P（X82）≈×（1-0.682 6）＝0.158 7，

所以P（X46）≈0.682 6+0.158 7＝0.841 3，60×0.841 3≈50.

所以估计此次竞赛能得到奖励的人数为50.