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中考数学模拟汇编一34矩形 菱形 正方形
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这是一份中考数学模拟汇编一34矩形 菱形 正方形，共29页。
矩形、菱形、正方形
一 选择题
A组
1、(浙江杭州模拟14)下列命题中的真命题是( ).
A. 对角线互相垂直的四边形是菱形 B. 中心对称图形都是轴对称图形
C. 两条对角线相等的梯形是等腰梯形 D. 等腰梯形是中心对称图形
答案：C
2、(浙江杭州模拟16)下列图形中，周长不是32的图形是（ ）
答案：B
3.(浙江省杭州市8模)如图，ABCD、CEFG是正方形，E在CD上，直线BE、DG交于H，且HE·HB＝，BD、AF交于M，当E在线段CD（不与C、D重合）上运动时，下列四个结论：① BE⊥GD；② AF、GD所夹的锐角为45°；③ GD=；④ 若BE平分∠DBC，则正方形ABCD的面积为4。其中正确的结论个数有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
答案:D
4、（黄冈中考调研六）矩形中，，，是的中点，点在矩形的边上沿运动，则的面积与点经过的路程之间的函数关系用图象表示大致是下图中的（ ）
答案A
5、（浙江杭州三模） 如图，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A、B、E在同一直线上，P是线段DF的中点，连结PG，PC。若∠ABC=∠BEF =60°，则（ ）
A. B.
C. D.
答案：B
（第6题）
6、（浙江杭州八模）如图，ABCD、CEFG是正方形，E在CD上，直线BE、DG交于H，且HE·HB＝，BD、AF交于M，当E在线段CD（不与C、D重合）上运动时，下列四个结论：① BE⊥GD；② AF、GD所夹的锐角为45°；③ GD=；④ 若BE平分∠DBC，则正方形ABCD的面积为4。其中正确的结论个数有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
答案：D
B组
1. （浙江慈吉 模拟）如图, 将一个正方体分割成甲、乙、丙三个长方体, 且三个长方体的长和宽均与正方体的棱长相等; 若已知甲、乙、丙三个长方体的表面积之比为2∶3∶4, 则它们的体积之比等于（ ）
A. 2∶3∶4 B. 2∶5∶7 C. 1∶10∶23 D. 1∶6∶11
第1题图
答案：D
2、（北京四中一模）下列命题中，真命题是( )
(A)有两边相等的平行四边形是菱形 (B)有一个角是直角的四边形是矩形
(C)四个角相等的菱形是正方形 (D)两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
3（深圳市中考模拟五）下列命题中，真命题是（ ）
Ａ．两条对角线相等的四边形是矩形
Ｂ．两条对角线互相垂直的四边形是菱形
Ｃ．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
Ｄ．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
答案：D
4. （深圳市全真中考模拟一）如图，顺次连结圆内接矩形各边的中点，得到菱形ABCD，若BD＝10，DF＝4，则菱形ABCD的边长为
(A)4．
(B)5
(C)6．
(D)9．
（第4题）
答案：D
5.（安徽芜湖模拟）如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45度后得到正方形，边与DC交于点O，则四边形的周长是 （ ）
A． B． C． D．
答案: A
6.（浙江杭州金山学校模拟）（原创）如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个锐角为60° 的菱形，剪口与折痕所成的角a 的度数应为（ ▲ ）
A．15°或30° B．30°或45° C．45°或60° D．30°或60°
答案：D
7.（浙江杭州金山学校模拟）（引黄冈市 2010秋期末考试九级数学模拟试题）
正方形、正方形和正方形的位置如图所示，点在线段上，正方形的边长为4，则的面积为（ ）
Ａ、10 Ｂ、12 Ｃ、14 Ｄ、16
答案：D
8.（河南新乡模拟）如图，菱形ABCD的周长为40cm，，垂足为，，则下列结论正确的有（ ）
① ②
③菱形面积为 ④
Ａ．个 Ｂ．个 Ｃ．个 Ｄ．个
答案：C
9.（浙江杭州进化一模）下列命题中的真命题是( ).
A. 对角线互相垂直的四边形是菱形 B. 中心对称图形都是轴对称图形
C. 两条对角线相等的梯形是等腰梯形 D. 等腰梯形是中心对称图形
答案:C
10、（黄冈市浠水县）如图所示，将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC中点E处，点A落在F处，折痕为MN，则线段CN的长是… （ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
答案：B
11、（北京四中33模）如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是（ ）
A．AB=CD B. AD=BC C. AB=BC D. AC=BD
答案C
第12题）
12．（杭州市上城区一模）如图，顺次连结圆内接矩形各边的中点，得到菱形ABCD，若
BD＝6，DF＝4，则菱形ABCD的边长为（ ）
A.4 B.3 C.5 D.7
答案：D
13．（杭州市上城区一模）已知下列命题：①若，则；②若，则；③角平分线上的点到这个角的两边距离相等；④平行四边形的对角线互相平分；⑤直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.其中原命题与逆命题均为真命题的是（ ）
A. ① ③④ B. ①②④ C. ③④⑤ D. ②③⑤
答案：C
14. （杭州市模拟）如图，矩形的长与宽分别为和，在矩形中截取两个大小相同的圆作为圆柱的上下底面，剩余的矩形作为圆柱的侧面，刚好能组合成一个没有空隙的圆柱，则和要满足的数量关系是
A. B.
C. D.
答案：D
15. （海宁市盐官片一模）如图所示，正方形的面积为12，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一点，使的和最小，则这个最小值为（ ▲ ）
A． B． C．3 D．
答案：A
二 填空题
1、(浙江杭州模拟16)同学们在拍照留念的时候最喜欢做一个“V”字型的动作。我们将宽为的长方形如图进行翻折，便可得到一个漂亮的“V”。如果“V”所成的锐角为600，那么折痕的长是 。
答案：
2.（.河北廊坊安次区一模）如图6，菱形的对角线相交于点请你添加一个条件： ，使得该菱形为正方形．
答案: 定义或判定
3.(.河北廊坊安次区一模）如图8，依次连结第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连结菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为1，则第n个矩形的面积为 ．
第3题图上
答案:
4. 图（2）
(湖北省天门市一模)如图4（1），已知小正方形ABCD的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形A1B1C1D1；把正方形A1B1C1D1边长按原法延长一倍得到正方形A2B2C2D2（如图4（2））；以此下去···，则正方形A4B4C4D4的面积为__________。
5.（浙江杭州金山学校模拟）（原创）如图所示，正方形的面积为12，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一点，使的和最小，则这个最小值为 ▲ .
答案：
答案: 625
6.（浙江杭州模拟7） 如图，在矩形ABCD中，AD＝6，AB＝4，点E、G、H、F分别在AB、BC、CD、AD上，且AF＝CG＝2，BE＝DH＝1，点P是直线EF、GH之间任意一点，连结PE、PF、PG、PH，则△PEF和△PGH的面积和等于________．
7.(宁夏银川)如图，已知正方形的边长为3，为边上一点， ．以点为中心，把△顺时针旋转，得△，连接，则的长等于 ．
答案：2
8．（青岛二中）如图，将两张长为8，宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值8，那么菱形周长的最大值是 ．
答案：17
9（浙江仙居）如图在中，点D、E、F分别在边、、上，且，．下列四种说法：
①四边形是平行四边形；
②如果，那么四边形是矩形；
③如果平分，那么四边形是菱形；
④如果且，那么四边形是菱形.
其中，正确的有 .（只填写序号）
答案：①②③④
10、(山西阳泉盂县月考)如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边AD、BC的中点，G、H在DC边上，且GH=DC，AB=10，BC=12，则阴影 部分的面积为 35 。
11．（江苏盐都中考模拟）如图所示，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置．若∠EFB＝65°，则∠AED′等于 °.
[来源:学。科。网Z。X。X。K]
[来源:学科网ZXXK]
答案50
12、（北京四中中考模拟19）在正方形的截面中，最多可以截出 边形
答案4
13、（浙江杭州三模） 如图，边长为2的正方形ABCD中，点E是对角线BD上的一点，且BE=BC，点P在EC上，PM⊥BD于M，PN⊥BC于N，则PM+PN=
答案：
14、（浙江杭州七模）如图，在矩形ABCD中，AD＝6，AB＝4，点E、G、H、F分别在AB、BC、CD、AD上，且AF＝CG＝2，BE＝DH＝1，点P是直线EF、GH之间任意一点，连结PE、PF、PG、PH，则△PEF和△PGH的面积和等于
答案：7
B组
D
A
B
C
P
M
N
1．（安徽中考模拟）如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是_____________．
答案：5
2. （湖北武汉调考模拟二）如图，菱形ABCD中，AB=2，∠C=60°，菱形ABCD在直线l上向右作无滑动的翻滚，每绕着一个顶点旋转60°叫一次操作，则经过36次这样的操作菱形中心D所经过的路径总长为（结果保留）___．
答案：（8，+4）
3、（北京四中中考模拟14）要使一个平行四边形成为正方形，则需添加的条件为____________（填上一个正确的结论即可）.
答案：对角线垂直且相等
4. （杭州市模拟）菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，，则点的坐标为 ．
答案：
5．（海宁市盐官片一模）如图，有一块边长为4的正方形塑料摸板，将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在点，两条直角边分别与交于点，与延长线交于点．则四边形的面积是 ．
答案：16
6、（赵州二中九七班模拟）若菱形的对角线=24，=10，则菱形的周长为 。
答案：52
7、（赵州二中九七班模拟）用含角的两块同样大小的直角三角板拼图形，下列五种图形：①平行四边形，②菱形，③矩形，④直角梯形，⑤等边三角形。其中可以被拼成的图形是 （只填正确答案的序号）。
答案：①③⑤
三 解答题
1、(浙江杭州模拟15)
如图（1）矩形纸片ＡＢＣＤ，把它沿对角线折叠，会得到怎么样的图形呢？
G
（1）在图（2）中用实线画出折叠后得到的图形（要求尺规作图，保留作图轨迹，只需画出其中一种情况）
（2）折叠后重合部分是什么图形？试说明理由。
[来源:学§科§网]
答案：
（1）图略 （4分）
（2）等腰三角形 （1分）
（2分）
2、(浙江杭州模拟15)
如图(1)，△ABC中，AD为BC边上的的中线，则.（模拟改编）
实践探究
图(2)
图(3)
A
B
C
D
（1）在图(2)中，E、F分别为矩形ABCD的边AD、BC的中点，则之间满足的关系式为 ；
（2）在图(3)中，E、F分别为平行四边形ABCD的边AD、BC的中点，则之间满足的关系式为 ；
（3）在图(4)中，E、F分别为任意四边形ABCD的边AD、BC的中点，则之间满足的关系式为 ；
解决问题：
（4）在图(5)中，E、G、F、H分别为任意四边形ABCD的边AD、AB、BC、CD的中点，并且图中阴影部分的面积为20平方米，求图中四个小三角形的面积和，即S1+ S2+ S3+ S4=？
答案：
(1) （2分）
（2） （2分）
(3) （2分）
（4）由上得， ，
∴S1+x+S2+S3+y+S4．S1+m+S4+S2+n+S3，[来源:学科网ZXXK]
∴（S1+x+S2+S3+y+S4）+（S1+m+S4+S2 +n+S3）．
∴（S1+x+S2+S3+y+S4）+（S1+m+S4+S2+n+S3）=S1+x+S2+n+S3+y+S4+m+S阴
∴S1+S2+S3+S4=S阴=20．
（4分）
3．（10分）（武汉调考模拟)如图，四边形ABCD为正方形，△BEF为等腰直角三角形（∠BFE=900，点B、E、F，按逆时针排列），点P为DE的中点，连PC，PF
(1)如图①，点E在BC上，则线段PC、PF的数量关系为_______，位置关系为_____（不
证明）．
(2)如图②，将△BEF绕点B顺时针旋转a(O
(3)如图③，△AEF为等腰直角三角形，且∠A EF=90°，△AEF绕点A逆时针旋转过程中，能使点F落在BC上，且AB平分EF，直接写出AE的值是________．
24.解：(1) PC=PF, PC⊥PF.
(2)延长FP至G使PG=PF，连DC.GC、FC. DB，延长EF交BD于N.
由PDG≌PEF,∴DG=EF=BF.
∠PEF= ∠PDG,∴EN// DG,∴∠BNE=∠BDG=450+∠CDG=900-∠NBF=900- (450-∠FBC)
∴∠FBC=∠GDC ∴△BFC≌△DGC,∴FC=CG, ∠BCF=∠DCG.
∴∠FCG= ∠BCD=900. ∴△FCG为等腰Rt△，∵PF=PG，∴ PC⊥PF, PF=PC.
(3)
22. (宁夏银川)（6分）如图，在□ABCD中，平分交于点，平分交于点.
求证：（1）；
（2）若，则判断四边形是什么特殊四边形，请证明你的结论.
证明：（1）∵四边形是平行四边，
∴
∵平分平分
∴……………………… 2分
∴ …………………………………………3分
（2）由得 …………………………………4分
在平行四边形中，
∴
∴四边形是平行四边形…………………………………………5分
若则四边形是菱形…………………………………6分
[来源:学科网]
1. （兴华公学九下第一次月考）如图，四边形ABCD是矩形，∠EDC=∠CAB，∠DEC=90°。
(1)求证：AC∥DE；
(2)过点B作BF⊥AC于点F，连结EF，试判别四边形BCEF的形状，并说明理由。
答案：证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴CD∥AB ∴∠DCA=∠CAB
又∵∠EDC=∠CAB ∴∠EDC=∠DCA
∴AC∥DE. --------------------------------------------------------------------------------（3分）
（2）四边形BCEF是平行四边形
证明：∵∠DEC=90° ，BF⊥AC
∴在Rt△DEC与Rt△AFC中
∠DEC=∠AFB，∠EDC=∠FAB，CD=AB
∴Rt△DEC≌ Rt△AFC
∴CE=BF----------------------------------------------------------------------（6分）
又∵DE∥AC ∴∠DEC +∠ACE=180°
又∵∠DEC=90°∴∠ACE=90°
∴∠ACE=∠AFB
∴CE∥BF
∴四边形BCEF是平行四边形.
2. （北京四中中考全真模拟17）如图，菱形公园内有四个景点，请你用两种不同的方法，按下列要求设计成四个部分：⑴用直线分割；⑵每个部分内各有一个景点；⑶各部分的面积相等。（可用铅笔画，只要求画图正确，不写画法）
答案：答案不唯一，如
1．（江苏连云港）(13分)在正方形ABCD中，点P是CD边上一动点，连接PA，分别过点B、D作BE⊥PA、DF⊥PA，垂足分别为E、F，如图①．
(1)请探究BE、DF、EF这三条线段的长度具有怎样的数量关系？若点P在DC的延长线上，如图②，那么这三条线段的长度之间又具有怎样的数量关系？若点P在CD的延长线上呢，如图③，请分别直接写出结论；
(2)就(1)中的三个结论选择一个加以证明．
解：（1）图①的结论是：， … … 2分
图②的结论是：， … …… … 4分
图③的结论是：， … …… … 6分
（2）图①的结论是：的证明：
∵∠BAE+∠DAF=90°，∠BAE+∠ABC=90°，
∴∠DAF=∠ABE。 … … 8分
在△DAF和△BAE中，
∵∠DAF=∠ABE，∠DFA=∠AEB=90°，AD=BA
∴△DAF≌△ABE … … 10分
∴AF=BE，AE=DF
即. … … 13分
图②与图③的证明与图①的证明方法类似，可参考图①的证明评分。
23. （江苏盐城）(本题满分10分)如图，矩形ABCD的周长为20cm，两条对角线相交于点O，过点O作AC的垂线EF，分别交AD、BC于点E、F．连接CE．
(1)求△CDE的周长；
(2)连接AF，四边形AECF是什么特殊的四边形？
说明你的理由．
答案．(1)得到AO＝CO……1′，得到CE＝AE………2′，解得△CDE的周长为10cm…………4′
(2)四边形AECF是菱形………………………5′，说明理由(略)……………………………8′
27. （江苏盐城）(本题满分12分)如图(1)，点M、N分别是正方形ABCD的边AB、AD的中点，连接CN、DM．
(1)判断CN、DM的关系，并说明理由；
(2)设CN、DM的交点为H，连接BH，如图(2)，求证：△BCH是等腰三角形；
(3)将△ADM沿DM翻折得到△A′DM，延长MA′交DC的延长线于点E，如图(3)，求
tan∠DEM．
27．解：(1)CM＝DM，CN⊥DM………………1′ 证得△AMD≌△DNC……………2′
证得CN＝DM．……………………………3′ 证得CN⊥DM……………………4′
(2)延长DM、CB交于点P． 证得BP＝BC．………7′ 证得△BCH是等腰三角形．………8′
(3)设AD＝4k，解得DE＝5k．………………10′ 解得A′E＝3k ……………………11′
解得tan∠DEM＝ …………………………………………………………………………1、（杭州模拟25）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，F、G分别为边BC、CD的中点，连接AF，FG，过D作DE∥GF交AF于点E。
（1）证明△AED≌△CGF
（2）若梯形ABCD为直角梯形，判断四边形DEFG是什么特殊四边形？并证明你的结论。（原创）
（1）证明；∵ BC=2AD、点F为BC中点
∴CF=AD （1分）
∵AD∥CF ∴四边形AFCD为平行四边形
∴∠FAD=∠C （1分）
∵DE∥FG ∴∠DEA=∠AFG
∵AF∥CD ∴∠AFG=∠FGC （1分）
∴∠DEA=∠FGC （1分）
∴△AED≌△CGF （1分）
（2）连结DF
∵DE=AF、 FG=DC[来源:学科网ZXXK]
DE=FG DE∥FG
∴四边形DEFG为平行四边形 （3分）
又∵∠DFC=90°
点G为DC中点
∴FG=DG （2分）
∴平行四边形DEFG为菱形
2、
1、（浙江杭州七模如图：把一张给定大小的矩形卡片ABCD放在宽度为10mm的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知α＝25°,求长方形卡片的周长。（精确到1mm，参考数据： sin25°≈0，cos25°≈0.9，tan25°≈0.5）.
答案： 解：作AF⊥l4，交l2于E，交l4于F
则△ABE和△AFD均为直角三角形 ……………1分
在Rt△ABE中，∠ABE＝∠α＝25°
sin∠ABE＝ ………………………1分
∴AB＝＝50 ……………1分
∵∠FAD＝90°－∠BAE，∠α＝90°－∠BAE
∴∠FAD＝∠α＝25°
在Rt△AFD中，cos∠FAD＝ ……………………1分
AD＝≈44.4 ………………………………1分
∴长方形卡片ABCD的周长为（44.4＋50）×2＝190（mm） …………1分
B组
1．（ 天一实验学校 二模）
如图，在正方形中，分别是边上的点,AE=ED,DF=DC，连结并延长交的延长线于点
（1）求证：；[来源:学_科_网]
（2）若正方形的边长为4，求的长。
答案：
⑴证明：在正方形ABCD中，∠A=∠D=90°,AB=AD=CD
又AE=DE,DF=DC
∴,,∴
∴△ABE∽△DEF
⑵BG=10(过程略)
2．（三门峡实验中学3月模拟）如图，将正方形ABCD中的△ABD绕对称中心O旋转至△GEF的位置，EF交AB于M，GF交BD于N．请猜想BM与FN有怎样的数量关系？并证明你的结论．
答案：BM=FN
证明：在正方形ABCD中，BD为对角线，O为对称中心,
∴BO=DO ,∠BDA=∠DBA=45°．
∵△GEF为△ABD绕O点旋转所得，∴FO=DO, ∠F=∠BDA
∴OB=OF ∠OBM=∠OFN
在 △OMB和△ONF中
∴△OBM≌△OFN
∴BM=FN
3.（北京四中二模）（本题满分6分）如图,有一块三角形土地，它的底边BC=100米，高AH=80米，某单位要沿着地边BC修一座底面是矩形DEFG的大楼，D、G分别在边AB、AC上.若大楼的宽是40米，求这个矩形的面积.
答案：2000米2
4. （浙江杭州育才初中模拟）（本小题满分10分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，F、G分别为边BC、CD的中点，连接AF，FG，过D作DE∥GF交AF于点E。
（1）证明△AED≌△CGF
（2）若梯形ABCD为直角梯形，判断四边形DEFG是什么特殊四边形？并证明你的结论。（原创）
答案：（1）证明；∵ BC=2AD、点F为BC中点
∴CF=AD （1分）
∵AD∥CF ∴四边形AFCD为平行四边形
∴∠FAD=∠C （1分）
∵DE∥FG ∴∠DEA=∠AFG
∵AF∥CD ∴∠AFG=∠FGC （1分）
∴∠DEA=∠FGC （1分）
∴△AED≌△CGF （1分）
（2）连结DF
∵DE=AF、 FG=DC
DE=FG DE∥FG
∴四边形DEFG为平行四边形 （3分）
又∵∠DFC=90°
点G为DC中点
∴FG=DG （2分）
∴平行四边形DEFG为菱形 （1分）
5. （广东南塘二模）△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点，当∠B与
∠C满足怎样的关系时，四边形AEDF是菱形。并证明你的结论。
（第5题）
答案：∠B＝∠C时，四边形AEDF为菱形。
证明：∵∠B＝∠C，∴AB＝AC，
∵AD⊥BC，∴BD＝DC，
∵E、F分别为AB、AC中点，∴DF∥AB、DE∥AC、DE＝DF，
∴四边形AEDF为菱形。
6.（广东南塘二模）如图，矩形OABC的长OA=，AB=1，将△AOC沿AC翻折得△APC。
（1）填空：∠PCB=＿＿＿度，P点坐标为＿＿＿＿＿
（2）若P、A两点在抛物线上，求抛物线的解析式，并判断点C是否在这抛物线上。
（3）在（2）中的抛物线CP段上（不含C、P点）是否存在一点M，使得四边形MCPA的面积最大？若存在，求这个最大值和M点坐标，若不存在，说明理由。
答案：（1）连OM、MC、AB，设MC交x轴于D。
∵∠AOB＝90°，∴AB为⊙M直径，
∵OA为⊙M的，∴∠OMA＝120°，∠OMC＝60°，
∵OM＝2，∴DM＝1，OD＝，∴M(，1)，
∵∠BAO＝∠MOA＝30°，∴OB＝2，∴B(0，2)
（2）∵OA＝2·OD，∴A(，0)，C(，－1)，
把O、A、C三点坐标代入y＝as2＋bx＋c得：y＝x2－x。
（3）∵∠AOC＝∠OAC＝∠OMC＝30°，∴∠BAO＝∠AOC＝30°
∴若存在，则P必为抛物线与直线AB或与直线OM的交点。求得直线AB为：
y＝－＋2，由
解得：P1(－，3)，P2 (，3)
∵P1O＝OA＝AP2＝，∴P1、P2合题意。
7. （深圳市中考模拟五）如图，在一块如图所示的三角形余料上裁剪下一个正方形，如果△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，正方形的四个顶点D、E、F、G分别在三角形的三条边上．
求正方形的边长．
答案：解：作CH⊥AB于H，
∵四边形DEFG为正方形，∴CM⊥GF
由勾股定理可得AB＝5
根据三角形的面积不变性可求得CH＝…………………2分
设GD＝x
∵GF ∥AB
∴∠CGF＝∠A ,∠CFG＝∠B
∴△ABC∽△GFC
∴ 即 …………………6分
整理得：12－5x ＝x
解得：x＝…………………9分
答：正方形的边长为…………………10分
8. （深圳市中考模拟五）已知：如图所示的一张矩形纸片（），将纸片折叠一次，使点与重合，再展开，折痕交边于，交边于，分别连结和．
（１）求证：四边形是菱形；
（２）若，的面积为，求的周长；
（３）在线段上是否存在一点，使得2AE＝AC·AP？
若存在，请说明点的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由．
答案: （１）证明：由题意可知OA＝OC，EF⊥AO
∵AD∥BC
∴∠AEO＝∠CFO，∠EAO＝∠FCO
∴△AOE≌△COF
∵AE＝CE，又AE∥CF
∴四边形AECF是平行四边形 ∵AC⊥EF ∴四边形AEFC是菱形
（2）∵四边形AECF是菱形 ∴AF＝AE＝10…………………4分
设AB＝ａ，BF＝ｂ，∵△ABF的面积为24
a＋b＝100，ab＝48
(a＋b）＝196 ａ＋ｂ＝14或ａ＋ｂ＝－14（不合题意，舍去）
△ABF的周长为ａ＋ｂ＋10＝24…………………8分
（３）存在，过点E作AD的垂线，交AC于点P，点P就是符合条件的点
证明：∵∠AEP＝∠AOE＝90°，∠EAO＝∠EAP
∴△AOE∽△AEP ∴ ∴ AE＝AO·AP
∵四边形AECF是菱形，∴AO＝AC
∴AE＝AC·AP
∴2AE＝AC·AP…………………12分
9. （深圳市全真中考模拟一） 如图l，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，连结EB，过点A作AMBE，垂足为M，AM交BD于点F．
(1)求证：OE=OF；
(2)如图2，若点E在AC的延长线上，AMBE于点M，交DB的延长线于点F，其它条件不变，则结论“OE=OF”还成立吗?如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．
答案：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形．
∴BOE=AOF＝90．OB＝OA ……………… (1分)
又∵AMBE，∴MEA+MAE＝90=AFO+MAE
∴MEA＝AFO………………（2分）
∴Rt△BOE≌ Rt△AOF ……………… (3分)
∴OE=OF ………………(4分)
(2)OE＝OF成立 ……………… (5分)
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BOE=AOF＝90．OB＝OA ……………… (6分)
又∵AMBE，∴F+MBF＝90=B+OBE
又∵MBF＝OBE
∴F＝E………………（7分）
∴Rt△BOE≌ Rt△AOF ……………… (8分)
∴OE=OF ………………(9分)
10.（浙江杭州金山学校模拟）（10分）（根据2010中考数学考前知识点回归＋巩固 专题13 二次函数题目改编）
如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA＝3，OC＝2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．
（1）直接写出点E、F的坐标；
（2）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点P，且以点E、F、P为 顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；
（3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周 长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．
答案：解：（1）；．………………………………………2分
（2）在中，，
．
设点的坐标为，其中，
∵顶点，
∴设抛物线解析式为．
①如图①，当时，，
．
解得（舍去）；．
．
．
解得．
抛物线的解析式为 …………………………………………………2分
②如图②，当时，，
．
解得（舍去）．…………2分
③当时，，这种情况不存在．…………………………………1分
综上所述，符合条件的抛物线解析式是．
（3）存在点，使得四边形的周长最小．
如图③，作点关于轴的对称点，作点关于轴的对称点，连接，分别与轴、轴交于点，则点就是所求点．……………………………………1分
，．
．
．
又，
，此时四边形的周长最小值是．………………………………………………………………2分
11. （河南新乡模拟）（10分）.如图，在直角坐标系中放入一个边长OC为9的矩形纸片ABCO．将纸片翻折后，点B恰好落在x轴上，记为B′，折痕为CE，已知tan∠OB′C＝．
（1）求B′ 点的坐标；
（2）求折痕CE所在直线的解析式．
答案：解：（1）在Rt△B′OC中，tan∠OB′C＝，OC＝9，
∴ ． ………………………………………………………………………３分
解得OB′＝12，即点B′ 的坐标为（12，0）． ………………………………………４分
（2）将纸片翻折后，点B恰好落在x轴上的B′ 点，CE为折痕，
∴ △CBE≌△CB′E，故BE＝B′E，CB′＝CB＝OA．
由勾股定理，得 CB′＝＝15． … …………………………………５分
设AE＝a，则EB′＝EB＝9－a，AB′＝AO－OB′＝15－12=3．
由勾股定理，得 a2+32＝(9－a)2，解得a＝4．
∴点E的坐标为（15，4），点C的坐标为（0，9）． ５分
设直线CE的解析式为y＝kx+b，根据题意，得 …………… ８分
解得 ∴CE所在直线的解析式为 y＝－x+9． …………………１0分
12. （河南新乡模拟）（ 10分）
如图，⊙O的直径AB=4，C为圆周上一点，AC=2，过点C作⊙O的切线l，过点B作l的垂线BD，垂足为D，BD与⊙O交于点 E．
(1) 求∠AEC的度数；
（2）求证：四边形OBEC是菱形．
答案：(10分)（1）解：在△AOC中，AC=2，
∵ AO＝OC＝2，
∴ △AOC是等边三角形．………2分
∴ ∠AOC＝60°，
∴∠AEC＝30°．…………………4分
（2）证明：∵OC⊥l，BD⊥l．
∴ OC∥BD． ……………………5分
∴ ∠ABD＝∠AOC＝60°．
∵ AB为⊙O的直径，
∴ △AEB为直角三角形，∠EAB＝30°． ……………7分
∴∠EAB＝∠AEC．
∴ 四边形OBEC 为平行四边形． ………………………………９分
又∵ OB＝OC＝2．
∴ 四边形OBEC是菱形．
13、（北京四中中考模拟12）已知：如图1，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且EA⊥AF.
求证：DE=BF.
答案：
证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAD=∠ADE=∠ABF=90°
∵EA⊥AF，∴∠BAF+∠BAE=∠BAE+∠DAE=90°，∴∠BAF=∠DAE，
∴Rt△ABF≌Rt△ADE，∴DE=BF.
第14题图
14、（北京四中模拟）如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于E，A F⊥CD于F。求证：≌
答案：∵菱形ABCD
∴
∵
∴
∴≌（AAS）
15、（杭州模拟20）如图（1），已知正方形ABCD在直线MN的上方，BC在直线MN上，E是线段BC上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG
（1） 连结GD，求证△ADG≌△ABE；
（2） 如图（2），将图（1）中正方形ABCD改为矩形ABCD，AB=1,BC=2，E是线段BC上一动点（不含端点B,C ）,以AE为边在直线MN的上方作矩形AEFG，使顶点G恰好落在射线CD上．判断当E由B向C运动时，∠FCN的大小是否保持不变，若∠FCN的大小不变，求tan∠FCN的值；若∠FCN的大小发生改变，请举例说明．
（第15题）
答案：（1）∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形
∴AB=AD，AE=AG，∠BAD＝∠EAG＝90º
∴∠BAE＋∠EAD＝∠DAG＋∠EAD
∴∠BAE＝∠DAG
∴△ BAE≌△DAG …………4分
（2）当点E由B向C运动时，∠FCN的大小总保持不变，…………1分
理由是：作FH⊥MN于H
由已知可得∠EAG＝∠BAD＝∠AEF＝90º
结合（1）（2）得∠FEH＝∠BAE＝∠DAG
又∵G在射线CD上
∠GDA＝∠EHF＝∠EBA＝90º
∴△EFH≌△GAD，△EFH∽△ABE
∴EH＝AD＝BC＝b，∴CH＝BE，
∴＝＝
∴在Rt△FEH中，tan∠FCN＝＝＝2
∴当点E由B向C运动时，∠FCN的大小总保持不变，tan∠FCN＝2 …………5分
16、（黄冈浠水模拟1）如图，在△ABC 中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？ 并证明你的结论．
答案：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．
∵CE平分，∴∠OCE=∠ECB．又∵MN∥BC，∴∠OEC=∠ECB．∴∠OCE=∠OEC．∴．
同理，．∴ ．
∵，AO=CO，∴四边形AECF是平行四边形.
又∵CE、CF分别平分∠ACB和∠ACP，
∴． ∴四边形AECF是矩形．
17、（黄冈浠水模拟2）已知如图在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥BD交CB的延长线于G.
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论。
答案：（1）由AD=BC，∠DAE=∠BCF，AE=CF，证△ADE≌△CBF…………2分
（2）四边形AGBD是矩形…………3分
由题意可知：AE=DE=BE，∴∠DAE=∠ADE，∠EDB=∠EBD，∴∠ADE+∠EDB=，
又由AD∥BG，AG∥BD，∴四边形AGBD是矩形…………7分
18.（深圳市模四）（本小题满分7分）
（1）如图，在中，，的垂直平分线交于，交 于，且．①求证：四边形是菱形。
②当的大小满足什么条件时，菱形是正方形？请回答并证明你的结论。
答案：（1）证明：①∵EF垂直平分BC，∴EB=EC，FB=FC。
又∵CF=BE，∴EB=EC=FB=FC。 ∴四边形是菱形。
第18题图
②∠A等于45°时，四边形是正方形。
19．（海宁市盐官片一模）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝7，CD＝1，AD＝BC＝5．点M，N分别在边AD，BC上运动，并保持MN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB，垂足分别为E，F．
（1）求梯形ABCD的面积；
（2）求四边形MEFN面积的最大值．
（3）试判断四边形MEFN能否为正方形，若能，求出正方形MEFN的面积；若不能，请说明理由．
答案：⑴过C作CG⊥AB于G
∵AB=7,CD=1 ∴BG=
由BC=5 ∴CG==4
S=
⑵∵MN∥AB,且ME⊥AB,NF⊥AB
∴四边形EFNM为矩形
设BF为x，四边形MEFN的面积只为y
∵NF∥CG, ∴BFN∽BGC
即 ∴NF=
EF\7-2x
∴y=（7-2x）
当x=时，四边形MEFN的最大值为
⑶当=7-2x时，即x=，MEFN为正方形
此时正方形边长为
正方形面积为
矩形、菱形、正方形
一 选择题
A组
1、(浙江杭州模拟14)下列命题中的真命题是( ).
A. 对角线互相垂直的四边形是菱形 B. 中心对称图形都是轴对称图形
C. 两条对角线相等的梯形是等腰梯形 D. 等腰梯形是中心对称图形
答案：C
2、(浙江杭州模拟16)下列图形中，周长不是32的图形是（ ）
答案：B
3.(浙江省杭州市8模)如图，ABCD、CEFG是正方形，E在CD上，直线BE、DG交于H，且HE·HB＝，BD、AF交于M，当E在线段CD（不与C、D重合）上运动时，下列四个结论：① BE⊥GD；② AF、GD所夹的锐角为45°；③ GD=；④ 若BE平分∠DBC，则正方形ABCD的面积为4。其中正确的结论个数有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
答案:D
4、（黄冈中考调研六）矩形中，，，是的中点，点在矩形的边上沿运动，则的面积与点经过的路程之间的函数关系用图象表示大致是下图中的（ ）
答案A
5、（浙江杭州三模） 如图，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A、B、E在同一直线上，P是线段DF的中点，连结PG，PC。若∠ABC=∠BEF =60°，则（ ）
A. B.
C. D.
答案：B
（第6题）
6、（浙江杭州八模）如图，ABCD、CEFG是正方形，E在CD上，直线BE、DG交于H，且HE·HB＝，BD、AF交于M，当E在线段CD（不与C、D重合）上运动时，下列四个结论：① BE⊥GD；② AF、GD所夹的锐角为45°；③ GD=；④ 若BE平分∠DBC，则正方形ABCD的面积为4。其中正确的结论个数有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
答案：D
B组
1. （浙江慈吉 模拟）如图, 将一个正方体分割成甲、乙、丙三个长方体, 且三个长方体的长和宽均与正方体的棱长相等; 若已知甲、乙、丙三个长方体的表面积之比为2∶3∶4, 则它们的体积之比等于（ ）
A. 2∶3∶4 B. 2∶5∶7 C. 1∶10∶23 D. 1∶6∶11
第1题图
答案：D
2、（北京四中一模）下列命题中，真命题是( )
(A)有两边相等的平行四边形是菱形 (B)有一个角是直角的四边形是矩形
(C)四个角相等的菱形是正方形 (D)两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
3（深圳市中考模拟五）下列命题中，真命题是（ ）
Ａ．两条对角线相等的四边形是矩形
Ｂ．两条对角线互相垂直的四边形是菱形
Ｃ．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
Ｄ．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
答案：D
4. （深圳市全真中考模拟一）如图，顺次连结圆内接矩形各边的中点，得到菱形ABCD，若BD＝10，DF＝4，则菱形ABCD的边长为
(A)4．
(B)5
(C)6．
(D)9．
（第4题）
答案：D
5.（安徽芜湖模拟）如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45度后得到正方形，边与DC交于点O，则四边形的周长是 （ ）
A． B． C． D．
答案: A
6.（浙江杭州金山学校模拟）（原创）如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个锐角为60° 的菱形，剪口与折痕所成的角a 的度数应为（ ▲ ）
A．15°或30° B．30°或45° C．45°或60° D．30°或60°
答案：D
7.（浙江杭州金山学校模拟）（引黄冈市 2010秋期末考试九级数学模拟试题）
正方形、正方形和正方形的位置如图所示，点在线段上，正方形的边长为4，则的面积为（ ）
Ａ、10 Ｂ、12 Ｃ、14 Ｄ、16
答案：D
8.（河南新乡模拟）如图，菱形ABCD的周长为40cm，，垂足为，，则下列结论正确的有（ ）
① ②
③菱形面积为 ④
Ａ．个 Ｂ．个 Ｃ．个 Ｄ．个
答案：C
9.（浙江杭州进化一模）下列命题中的真命题是( ).
A. 对角线互相垂直的四边形是菱形 B. 中心对称图形都是轴对称图形
C. 两条对角线相等的梯形是等腰梯形 D. 等腰梯形是中心对称图形
答案:C
10、（黄冈市浠水县）如图所示，将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC中点E处，点A落在F处，折痕为MN，则线段CN的长是… （ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
答案：B
11、（北京四中33模）如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是（ ）
A．AB=CD B. AD=BC C. AB=BC D. AC=BD
答案C
第12题）
12．（杭州市上城区一模）如图，顺次连结圆内接矩形各边的中点，得到菱形ABCD，若
BD＝6，DF＝4，则菱形ABCD的边长为（ ）
A.4 B.3 C.5 D.7
答案：D
13．（杭州市上城区一模）已知下列命题：①若，则；②若，则；③角平分线上的点到这个角的两边距离相等；④平行四边形的对角线互相平分；⑤直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.其中原命题与逆命题均为真命题的是（ ）
A. ① ③④ B. ①②④ C. ③④⑤ D. ②③⑤
答案：C
14. （杭州市模拟）如图，矩形的长与宽分别为和，在矩形中截取两个大小相同的圆作为圆柱的上下底面，剩余的矩形作为圆柱的侧面，刚好能组合成一个没有空隙的圆柱，则和要满足的数量关系是
A. B.
C. D.
答案：D
15. （海宁市盐官片一模）如图所示，正方形的面积为12，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一点，使的和最小，则这个最小值为（ ▲ ）
A． B． C．3 D．
答案：A
二 填空题
1、(浙江杭州模拟16)同学们在拍照留念的时候最喜欢做一个“V”字型的动作。我们将宽为的长方形如图进行翻折，便可得到一个漂亮的“V”。如果“V”所成的锐角为600，那么折痕的长是 。
答案：
2.（.河北廊坊安次区一模）如图6，菱形的对角线相交于点请你添加一个条件： ，使得该菱形为正方形．
答案: 定义或判定
3.(.河北廊坊安次区一模）如图8，依次连结第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连结菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为1，则第n个矩形的面积为 ．
第3题图上
答案:
4. 图（2）
(湖北省天门市一模)如图4（1），已知小正方形ABCD的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形A1B1C1D1；把正方形A1B1C1D1边长按原法延长一倍得到正方形A2B2C2D2（如图4（2））；以此下去···，则正方形A4B4C4D4的面积为__________。
5.（浙江杭州金山学校模拟）（原创）如图所示，正方形的面积为12，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一点，使的和最小，则这个最小值为 ▲ .
答案：
答案: 625
6.（浙江杭州模拟7） 如图，在矩形ABCD中，AD＝6，AB＝4，点E、G、H、F分别在AB、BC、CD、AD上，且AF＝CG＝2，BE＝DH＝1，点P是直线EF、GH之间任意一点，连结PE、PF、PG、PH，则△PEF和△PGH的面积和等于________．
7.(宁夏银川)如图，已知正方形的边长为3，为边上一点， ．以点为中心，把△顺时针旋转，得△，连接，则的长等于 ．
答案：2
8．（青岛二中）如图，将两张长为8，宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值8，那么菱形周长的最大值是 ．
答案：17
9（浙江仙居）如图在中，点D、E、F分别在边、、上，且，．下列四种说法：
①四边形是平行四边形；
②如果，那么四边形是矩形；
③如果平分，那么四边形是菱形；
④如果且，那么四边形是菱形.
其中，正确的有 .（只填写序号）
答案：①②③④
10、(山西阳泉盂县月考)如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边AD、BC的中点，G、H在DC边上，且GH=DC，AB=10，BC=12，则阴影 部分的面积为 35 。
11．（江苏盐都中考模拟）如图所示，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置．若∠EFB＝65°，则∠AED′等于 °.
[来源:学。科。网Z。X。X。K]
[来源:学科网ZXXK]
答案50
12、（北京四中中考模拟19）在正方形的截面中，最多可以截出 边形
答案4
13、（浙江杭州三模） 如图，边长为2的正方形ABCD中，点E是对角线BD上的一点，且BE=BC，点P在EC上，PM⊥BD于M，PN⊥BC于N，则PM+PN=
答案：
14、（浙江杭州七模）如图，在矩形ABCD中，AD＝6，AB＝4，点E、G、H、F分别在AB、BC、CD、AD上，且AF＝CG＝2，BE＝DH＝1，点P是直线EF、GH之间任意一点，连结PE、PF、PG、PH，则△PEF和△PGH的面积和等于
答案：7
B组
D
A
B
C
P
M
N
1．（安徽中考模拟）如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是_____________．
答案：5
2. （湖北武汉调考模拟二）如图，菱形ABCD中，AB=2，∠C=60°，菱形ABCD在直线l上向右作无滑动的翻滚，每绕着一个顶点旋转60°叫一次操作，则经过36次这样的操作菱形中心D所经过的路径总长为（结果保留）___．
答案：（8，+4）
3、（北京四中中考模拟14）要使一个平行四边形成为正方形，则需添加的条件为____________（填上一个正确的结论即可）.
答案：对角线垂直且相等
4. （杭州市模拟）菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，，则点的坐标为 ．
答案：
5．（海宁市盐官片一模）如图，有一块边长为4的正方形塑料摸板，将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在点，两条直角边分别与交于点，与延长线交于点．则四边形的面积是 ．
答案：16
6、（赵州二中九七班模拟）若菱形的对角线=24，=10，则菱形的周长为 。
答案：52
7、（赵州二中九七班模拟）用含角的两块同样大小的直角三角板拼图形，下列五种图形：①平行四边形，②菱形，③矩形，④直角梯形，⑤等边三角形。其中可以被拼成的图形是 （只填正确答案的序号）。
答案：①③⑤
三 解答题
1、(浙江杭州模拟15)
如图（1）矩形纸片ＡＢＣＤ，把它沿对角线折叠，会得到怎么样的图形呢？
G
（1）在图（2）中用实线画出折叠后得到的图形（要求尺规作图，保留作图轨迹，只需画出其中一种情况）
（2）折叠后重合部分是什么图形？试说明理由。
[来源:学§科§网]
答案：
（1）图略 （4分）
（2）等腰三角形 （1分）
（2分）
2、(浙江杭州模拟15)
如图(1)，△ABC中，AD为BC边上的的中线，则.（模拟改编）
实践探究
图(2)
图(3)
A
B
C
D
（1）在图(2)中，E、F分别为矩形ABCD的边AD、BC的中点，则之间满足的关系式为 ；
（2）在图(3)中，E、F分别为平行四边形ABCD的边AD、BC的中点，则之间满足的关系式为 ；
（3）在图(4)中，E、F分别为任意四边形ABCD的边AD、BC的中点，则之间满足的关系式为 ；
解决问题：
（4）在图(5)中，E、G、F、H分别为任意四边形ABCD的边AD、AB、BC、CD的中点，并且图中阴影部分的面积为20平方米，求图中四个小三角形的面积和，即S1+ S2+ S3+ S4=？
答案：
(1) （2分）
（2） （2分）
(3) （2分）
（4）由上得， ，
∴S1+x+S2+S3+y+S4．S1+m+S4+S2+n+S3，[来源:学科网ZXXK]
∴（S1+x+S2+S3+y+S4）+（S1+m+S4+S2 +n+S3）．
∴（S1+x+S2+S3+y+S4）+（S1+m+S4+S2+n+S3）=S1+x+S2+n+S3+y+S4+m+S阴
∴S1+S2+S3+S4=S阴=20．
（4分）
3．（10分）（武汉调考模拟)如图，四边形ABCD为正方形，△BEF为等腰直角三角形（∠BFE=900，点B、E、F，按逆时针排列），点P为DE的中点，连PC，PF
(1)如图①，点E在BC上，则线段PC、PF的数量关系为_______，位置关系为_____（不
证明）．
(2)如图②，将△BEF绕点B顺时针旋转a(O
(3)如图③，△AEF为等腰直角三角形，且∠A EF=90°，△AEF绕点A逆时针旋转过程中，能使点F落在BC上，且AB平分EF，直接写出AE的值是________．
24.解：(1) PC=PF, PC⊥PF.
(2)延长FP至G使PG=PF，连DC.GC、FC. DB，延长EF交BD于N.
由PDG≌PEF,∴DG=EF=BF.
∠PEF= ∠PDG,∴EN// DG,∴∠BNE=∠BDG=450+∠CDG=900-∠NBF=900- (450-∠FBC)
∴∠FBC=∠GDC ∴△BFC≌△DGC,∴FC=CG, ∠BCF=∠DCG.
∴∠FCG= ∠BCD=900. ∴△FCG为等腰Rt△，∵PF=PG，∴ PC⊥PF, PF=PC.
(3)
22. (宁夏银川)（6分）如图，在□ABCD中，平分交于点，平分交于点.
求证：（1）；
（2）若，则判断四边形是什么特殊四边形，请证明你的结论.
证明：（1）∵四边形是平行四边，
∴
∵平分平分
∴……………………… 2分
∴ …………………………………………3分
（2）由得 …………………………………4分
在平行四边形中，
∴
∴四边形是平行四边形…………………………………………5分
若则四边形是菱形…………………………………6分
[来源:学科网]
1. （兴华公学九下第一次月考）如图，四边形ABCD是矩形，∠EDC=∠CAB，∠DEC=90°。
(1)求证：AC∥DE；
(2)过点B作BF⊥AC于点F，连结EF，试判别四边形BCEF的形状，并说明理由。
答案：证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴CD∥AB ∴∠DCA=∠CAB
又∵∠EDC=∠CAB ∴∠EDC=∠DCA
∴AC∥DE. --------------------------------------------------------------------------------（3分）
（2）四边形BCEF是平行四边形
证明：∵∠DEC=90° ，BF⊥AC
∴在Rt△DEC与Rt△AFC中
∠DEC=∠AFB，∠EDC=∠FAB，CD=AB
∴Rt△DEC≌ Rt△AFC
∴CE=BF----------------------------------------------------------------------（6分）
又∵DE∥AC ∴∠DEC +∠ACE=180°
又∵∠DEC=90°∴∠ACE=90°
∴∠ACE=∠AFB
∴CE∥BF
∴四边形BCEF是平行四边形.
2. （北京四中中考全真模拟17）如图，菱形公园内有四个景点，请你用两种不同的方法，按下列要求设计成四个部分：⑴用直线分割；⑵每个部分内各有一个景点；⑶各部分的面积相等。（可用铅笔画，只要求画图正确，不写画法）
答案：答案不唯一，如
1．（江苏连云港）(13分)在正方形ABCD中，点P是CD边上一动点，连接PA，分别过点B、D作BE⊥PA、DF⊥PA，垂足分别为E、F，如图①．
(1)请探究BE、DF、EF这三条线段的长度具有怎样的数量关系？若点P在DC的延长线上，如图②，那么这三条线段的长度之间又具有怎样的数量关系？若点P在CD的延长线上呢，如图③，请分别直接写出结论；
(2)就(1)中的三个结论选择一个加以证明．
解：（1）图①的结论是：， … … 2分
图②的结论是：， … …… … 4分
图③的结论是：， … …… … 6分
（2）图①的结论是：的证明：
∵∠BAE+∠DAF=90°，∠BAE+∠ABC=90°，
∴∠DAF=∠ABE。 … … 8分
在△DAF和△BAE中，
∵∠DAF=∠ABE，∠DFA=∠AEB=90°，AD=BA
∴△DAF≌△ABE … … 10分
∴AF=BE，AE=DF
即. … … 13分
图②与图③的证明与图①的证明方法类似，可参考图①的证明评分。
23. （江苏盐城）(本题满分10分)如图，矩形ABCD的周长为20cm，两条对角线相交于点O，过点O作AC的垂线EF，分别交AD、BC于点E、F．连接CE．
(1)求△CDE的周长；
(2)连接AF，四边形AECF是什么特殊的四边形？
说明你的理由．
答案．(1)得到AO＝CO……1′，得到CE＝AE………2′，解得△CDE的周长为10cm…………4′
(2)四边形AECF是菱形………………………5′，说明理由(略)……………………………8′
27. （江苏盐城）(本题满分12分)如图(1)，点M、N分别是正方形ABCD的边AB、AD的中点，连接CN、DM．
(1)判断CN、DM的关系，并说明理由；
(2)设CN、DM的交点为H，连接BH，如图(2)，求证：△BCH是等腰三角形；
(3)将△ADM沿DM翻折得到△A′DM，延长MA′交DC的延长线于点E，如图(3)，求
tan∠DEM．
27．解：(1)CM＝DM，CN⊥DM………………1′ 证得△AMD≌△DNC……………2′
证得CN＝DM．……………………………3′ 证得CN⊥DM……………………4′
(2)延长DM、CB交于点P． 证得BP＝BC．………7′ 证得△BCH是等腰三角形．………8′
(3)设AD＝4k，解得DE＝5k．………………10′ 解得A′E＝3k ……………………11′
解得tan∠DEM＝ …………………………………………………………………………1、（杭州模拟25）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，F、G分别为边BC、CD的中点，连接AF，FG，过D作DE∥GF交AF于点E。
（1）证明△AED≌△CGF
（2）若梯形ABCD为直角梯形，判断四边形DEFG是什么特殊四边形？并证明你的结论。（原创）
（1）证明；∵ BC=2AD、点F为BC中点
∴CF=AD （1分）
∵AD∥CF ∴四边形AFCD为平行四边形
∴∠FAD=∠C （1分）
∵DE∥FG ∴∠DEA=∠AFG
∵AF∥CD ∴∠AFG=∠FGC （1分）
∴∠DEA=∠FGC （1分）
∴△AED≌△CGF （1分）
（2）连结DF
∵DE=AF、 FG=DC[来源:学科网ZXXK]
DE=FG DE∥FG
∴四边形DEFG为平行四边形 （3分）
又∵∠DFC=90°
点G为DC中点
∴FG=DG （2分）
∴平行四边形DEFG为菱形
2、
1、（浙江杭州七模如图：把一张给定大小的矩形卡片ABCD放在宽度为10mm的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知α＝25°,求长方形卡片的周长。（精确到1mm，参考数据： sin25°≈0，cos25°≈0.9，tan25°≈0.5）.
答案： 解：作AF⊥l4，交l2于E，交l4于F
则△ABE和△AFD均为直角三角形 ……………1分
在Rt△ABE中，∠ABE＝∠α＝25°
sin∠ABE＝ ………………………1分
∴AB＝＝50 ……………1分
∵∠FAD＝90°－∠BAE，∠α＝90°－∠BAE
∴∠FAD＝∠α＝25°
在Rt△AFD中，cos∠FAD＝ ……………………1分
AD＝≈44.4 ………………………………1分
∴长方形卡片ABCD的周长为（44.4＋50）×2＝190（mm） …………1分
B组
1．（ 天一实验学校 二模）
如图，在正方形中，分别是边上的点,AE=ED,DF=DC，连结并延长交的延长线于点
（1）求证：；[来源:学_科_网]
（2）若正方形的边长为4，求的长。
答案：
⑴证明：在正方形ABCD中，∠A=∠D=90°,AB=AD=CD
又AE=DE,DF=DC
∴,,∴
∴△ABE∽△DEF
⑵BG=10(过程略)
2．（三门峡实验中学3月模拟）如图，将正方形ABCD中的△ABD绕对称中心O旋转至△GEF的位置，EF交AB于M，GF交BD于N．请猜想BM与FN有怎样的数量关系？并证明你的结论．
答案：BM=FN
证明：在正方形ABCD中，BD为对角线，O为对称中心,
∴BO=DO ,∠BDA=∠DBA=45°．
∵△GEF为△ABD绕O点旋转所得，∴FO=DO, ∠F=∠BDA
∴OB=OF ∠OBM=∠OFN
在 △OMB和△ONF中
∴△OBM≌△OFN
∴BM=FN
3.（北京四中二模）（本题满分6分）如图,有一块三角形土地，它的底边BC=100米，高AH=80米，某单位要沿着地边BC修一座底面是矩形DEFG的大楼，D、G分别在边AB、AC上.若大楼的宽是40米，求这个矩形的面积.
答案：2000米2
4. （浙江杭州育才初中模拟）（本小题满分10分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，F、G分别为边BC、CD的中点，连接AF，FG，过D作DE∥GF交AF于点E。
（1）证明△AED≌△CGF
（2）若梯形ABCD为直角梯形，判断四边形DEFG是什么特殊四边形？并证明你的结论。（原创）
答案：（1）证明；∵ BC=2AD、点F为BC中点
∴CF=AD （1分）
∵AD∥CF ∴四边形AFCD为平行四边形
∴∠FAD=∠C （1分）
∵DE∥FG ∴∠DEA=∠AFG
∵AF∥CD ∴∠AFG=∠FGC （1分）
∴∠DEA=∠FGC （1分）
∴△AED≌△CGF （1分）
（2）连结DF
∵DE=AF、 FG=DC
DE=FG DE∥FG
∴四边形DEFG为平行四边形 （3分）
又∵∠DFC=90°
点G为DC中点
∴FG=DG （2分）
∴平行四边形DEFG为菱形 （1分）
5. （广东南塘二模）△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点，当∠B与
∠C满足怎样的关系时，四边形AEDF是菱形。并证明你的结论。
（第5题）
答案：∠B＝∠C时，四边形AEDF为菱形。
证明：∵∠B＝∠C，∴AB＝AC，
∵AD⊥BC，∴BD＝DC，
∵E、F分别为AB、AC中点，∴DF∥AB、DE∥AC、DE＝DF，
∴四边形AEDF为菱形。
6.（广东南塘二模）如图，矩形OABC的长OA=，AB=1，将△AOC沿AC翻折得△APC。
（1）填空：∠PCB=＿＿＿度，P点坐标为＿＿＿＿＿
（2）若P、A两点在抛物线上，求抛物线的解析式，并判断点C是否在这抛物线上。
（3）在（2）中的抛物线CP段上（不含C、P点）是否存在一点M，使得四边形MCPA的面积最大？若存在，求这个最大值和M点坐标，若不存在，说明理由。
答案：（1）连OM、MC、AB，设MC交x轴于D。
∵∠AOB＝90°，∴AB为⊙M直径，
∵OA为⊙M的，∴∠OMA＝120°，∠OMC＝60°，
∵OM＝2，∴DM＝1，OD＝，∴M(，1)，
∵∠BAO＝∠MOA＝30°，∴OB＝2，∴B(0，2)
（2）∵OA＝2·OD，∴A(，0)，C(，－1)，
把O、A、C三点坐标代入y＝as2＋bx＋c得：y＝x2－x。
（3）∵∠AOC＝∠OAC＝∠OMC＝30°，∴∠BAO＝∠AOC＝30°
∴若存在，则P必为抛物线与直线AB或与直线OM的交点。求得直线AB为：
y＝－＋2，由
解得：P1(－，3)，P2 (，3)
∵P1O＝OA＝AP2＝，∴P1、P2合题意。
7. （深圳市中考模拟五）如图，在一块如图所示的三角形余料上裁剪下一个正方形，如果△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，正方形的四个顶点D、E、F、G分别在三角形的三条边上．
求正方形的边长．
答案：解：作CH⊥AB于H，
∵四边形DEFG为正方形，∴CM⊥GF
由勾股定理可得AB＝5
根据三角形的面积不变性可求得CH＝…………………2分
设GD＝x
∵GF ∥AB
∴∠CGF＝∠A ,∠CFG＝∠B
∴△ABC∽△GFC
∴ 即 …………………6分
整理得：12－5x ＝x
解得：x＝…………………9分
答：正方形的边长为…………………10分
8. （深圳市中考模拟五）已知：如图所示的一张矩形纸片（），将纸片折叠一次，使点与重合，再展开，折痕交边于，交边于，分别连结和．
（１）求证：四边形是菱形；
（２）若，的面积为，求的周长；
（３）在线段上是否存在一点，使得2AE＝AC·AP？
若存在，请说明点的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由．
答案: （１）证明：由题意可知OA＝OC，EF⊥AO
∵AD∥BC
∴∠AEO＝∠CFO，∠EAO＝∠FCO
∴△AOE≌△COF
∵AE＝CE，又AE∥CF
∴四边形AECF是平行四边形 ∵AC⊥EF ∴四边形AEFC是菱形
（2）∵四边形AECF是菱形 ∴AF＝AE＝10…………………4分
设AB＝ａ，BF＝ｂ，∵△ABF的面积为24
a＋b＝100，ab＝48
(a＋b）＝196 ａ＋ｂ＝14或ａ＋ｂ＝－14（不合题意，舍去）
△ABF的周长为ａ＋ｂ＋10＝24…………………8分
（３）存在，过点E作AD的垂线，交AC于点P，点P就是符合条件的点
证明：∵∠AEP＝∠AOE＝90°，∠EAO＝∠EAP
∴△AOE∽△AEP ∴ ∴ AE＝AO·AP
∵四边形AECF是菱形，∴AO＝AC
∴AE＝AC·AP
∴2AE＝AC·AP…………………12分
9. （深圳市全真中考模拟一） 如图l，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，连结EB，过点A作AMBE，垂足为M，AM交BD于点F．
(1)求证：OE=OF；
(2)如图2，若点E在AC的延长线上，AMBE于点M，交DB的延长线于点F，其它条件不变，则结论“OE=OF”还成立吗?如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．
答案：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形．
∴BOE=AOF＝90．OB＝OA ……………… (1分)
又∵AMBE，∴MEA+MAE＝90=AFO+MAE
∴MEA＝AFO………………（2分）
∴Rt△BOE≌ Rt△AOF ……………… (3分)
∴OE=OF ………………(4分)
(2)OE＝OF成立 ……………… (5分)
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BOE=AOF＝90．OB＝OA ……………… (6分)
又∵AMBE，∴F+MBF＝90=B+OBE
又∵MBF＝OBE
∴F＝E………………（7分）
∴Rt△BOE≌ Rt△AOF ……………… (8分)
∴OE=OF ………………(9分)
10.（浙江杭州金山学校模拟）（10分）（根据2010中考数学考前知识点回归＋巩固 专题13 二次函数题目改编）
如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA＝3，OC＝2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．
（1）直接写出点E、F的坐标；
（2）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点P，且以点E、F、P为 顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；
（3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周 长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．
答案：解：（1）；．………………………………………2分
（2）在中，，
．
设点的坐标为，其中，
∵顶点，
∴设抛物线解析式为．
①如图①，当时，，
．
解得（舍去）；．
．
．
解得．
抛物线的解析式为 …………………………………………………2分
②如图②，当时，，
．
解得（舍去）．…………2分
③当时，，这种情况不存在．…………………………………1分
综上所述，符合条件的抛物线解析式是．
（3）存在点，使得四边形的周长最小．
如图③，作点关于轴的对称点，作点关于轴的对称点，连接，分别与轴、轴交于点，则点就是所求点．……………………………………1分
，．
．
．
又，
，此时四边形的周长最小值是．………………………………………………………………2分
11. （河南新乡模拟）（10分）.如图，在直角坐标系中放入一个边长OC为9的矩形纸片ABCO．将纸片翻折后，点B恰好落在x轴上，记为B′，折痕为CE，已知tan∠OB′C＝．
（1）求B′ 点的坐标；
（2）求折痕CE所在直线的解析式．
答案：解：（1）在Rt△B′OC中，tan∠OB′C＝，OC＝9，
∴ ． ………………………………………………………………………３分
解得OB′＝12，即点B′ 的坐标为（12，0）． ………………………………………４分
（2）将纸片翻折后，点B恰好落在x轴上的B′ 点，CE为折痕，
∴ △CBE≌△CB′E，故BE＝B′E，CB′＝CB＝OA．
由勾股定理，得 CB′＝＝15． … …………………………………５分
设AE＝a，则EB′＝EB＝9－a，AB′＝AO－OB′＝15－12=3．
由勾股定理，得 a2+32＝(9－a)2，解得a＝4．
∴点E的坐标为（15，4），点C的坐标为（0，9）． ５分
设直线CE的解析式为y＝kx+b，根据题意，得 …………… ８分
解得 ∴CE所在直线的解析式为 y＝－x+9． …………………１0分
12. （河南新乡模拟）（ 10分）
如图，⊙O的直径AB=4，C为圆周上一点，AC=2，过点C作⊙O的切线l，过点B作l的垂线BD，垂足为D，BD与⊙O交于点 E．
(1) 求∠AEC的度数；
（2）求证：四边形OBEC是菱形．
答案：(10分)（1）解：在△AOC中，AC=2，
∵ AO＝OC＝2，
∴ △AOC是等边三角形．………2分
∴ ∠AOC＝60°，
∴∠AEC＝30°．…………………4分
（2）证明：∵OC⊥l，BD⊥l．
∴ OC∥BD． ……………………5分
∴ ∠ABD＝∠AOC＝60°．
∵ AB为⊙O的直径，
∴ △AEB为直角三角形，∠EAB＝30°． ……………7分
∴∠EAB＝∠AEC．
∴ 四边形OBEC 为平行四边形． ………………………………９分
又∵ OB＝OC＝2．
∴ 四边形OBEC是菱形．
13、（北京四中中考模拟12）已知：如图1，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且EA⊥AF.
求证：DE=BF.
答案：
证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAD=∠ADE=∠ABF=90°
∵EA⊥AF，∴∠BAF+∠BAE=∠BAE+∠DAE=90°，∴∠BAF=∠DAE，
∴Rt△ABF≌Rt△ADE，∴DE=BF.
第14题图
14、（北京四中模拟）如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于E，A F⊥CD于F。求证：≌
答案：∵菱形ABCD
∴
∵
∴
∴≌（AAS）
15、（杭州模拟20）如图（1），已知正方形ABCD在直线MN的上方，BC在直线MN上，E是线段BC上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG
（1） 连结GD，求证△ADG≌△ABE；
（2） 如图（2），将图（1）中正方形ABCD改为矩形ABCD，AB=1,BC=2，E是线段BC上一动点（不含端点B,C ）,以AE为边在直线MN的上方作矩形AEFG，使顶点G恰好落在射线CD上．判断当E由B向C运动时，∠FCN的大小是否保持不变，若∠FCN的大小不变，求tan∠FCN的值；若∠FCN的大小发生改变，请举例说明．
（第15题）
答案：（1）∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形
∴AB=AD，AE=AG，∠BAD＝∠EAG＝90º
∴∠BAE＋∠EAD＝∠DAG＋∠EAD
∴∠BAE＝∠DAG
∴△ BAE≌△DAG …………4分
（2）当点E由B向C运动时，∠FCN的大小总保持不变，…………1分
理由是：作FH⊥MN于H
由已知可得∠EAG＝∠BAD＝∠AEF＝90º
结合（1）（2）得∠FEH＝∠BAE＝∠DAG
又∵G在射线CD上
∠GDA＝∠EHF＝∠EBA＝90º
∴△EFH≌△GAD，△EFH∽△ABE
∴EH＝AD＝BC＝b，∴CH＝BE，
∴＝＝
∴在Rt△FEH中，tan∠FCN＝＝＝2
∴当点E由B向C运动时，∠FCN的大小总保持不变，tan∠FCN＝2 …………5分
16、（黄冈浠水模拟1）如图，在△ABC 中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？ 并证明你的结论．
答案：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．
∵CE平分，∴∠OCE=∠ECB．又∵MN∥BC，∴∠OEC=∠ECB．∴∠OCE=∠OEC．∴．
同理，．∴ ．
∵，AO=CO，∴四边形AECF是平行四边形.
又∵CE、CF分别平分∠ACB和∠ACP，
∴． ∴四边形AECF是矩形．
17、（黄冈浠水模拟2）已知如图在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥BD交CB的延长线于G.
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论。
答案：（1）由AD=BC，∠DAE=∠BCF，AE=CF，证△ADE≌△CBF…………2分
（2）四边形AGBD是矩形…………3分
由题意可知：AE=DE=BE，∴∠DAE=∠ADE，∠EDB=∠EBD，∴∠ADE+∠EDB=，
又由AD∥BG，AG∥BD，∴四边形AGBD是矩形…………7分
18.（深圳市模四）（本小题满分7分）
（1）如图，在中，，的垂直平分线交于，交 于，且．①求证：四边形是菱形。
②当的大小满足什么条件时，菱形是正方形？请回答并证明你的结论。
答案：（1）证明：①∵EF垂直平分BC，∴EB=EC，FB=FC。
又∵CF=BE，∴EB=EC=FB=FC。 ∴四边形是菱形。
第18题图
②∠A等于45°时，四边形是正方形。
19．（海宁市盐官片一模）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝7，CD＝1，AD＝BC＝5．点M，N分别在边AD，BC上运动，并保持MN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB，垂足分别为E，F．
（1）求梯形ABCD的面积；
（2）求四边形MEFN面积的最大值．
（3）试判断四边形MEFN能否为正方形，若能，求出正方形MEFN的面积；若不能，请说明理由．
答案：⑴过C作CG⊥AB于G
∵AB=7,CD=1 ∴BG=
由BC=5 ∴CG==4
S=
⑵∵MN∥AB,且ME⊥AB,NF⊥AB
∴四边形EFNM为矩形
设BF为x，四边形MEFN的面积只为y
∵NF∥CG, ∴BFN∽BGC
即 ∴NF=
EF\7-2x
∴y=（7-2x）
当x=时，四边形MEFN的最大值为
⑶当=7-2x时，即x=，MEFN为正方形
此时正方形边长为
正方形面积为
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