中考数学模拟汇编二26三角形全等

26.三角形全等

A组

1. （杭州市余杭中考模拟）（本小题满分10分）

已知，如图，△ABC是等边三角形，过AC边上的点D作DG∥BC，交AB于点G，在GD的延长线上取点E，使DE＝DC，连接AE、BD.

（1）求证：△AGE≌△DAB

（2）过点E作EF∥DB，交BC于点F，连AF，求∠AFE的度数.

【答案】（本题10分）

解：（1）∵△ABC是等边三角形，DG∥BC，

∴△AGD是等边三角形

AG＝GD＝AD，∠AGD＝60°                           --------------------------------2分

∵DE＝DC，∴GE＝GD＋DE＝AD＋DC＝AC＝AB

∵∠AGD＝∠BAD，AG＝AD，

∴△AGE≌△DAB 　                                   --------------------------------3分

（2）由（1）知AE＝BD，∠ABD＝∠AEG-----（1分）

∵EF∥DB，DG∥BC，∴四边形BFED是平行四边形 　                 -------------2分

∴EF＝BD，　∴EF＝AE． 　　　　　　　　　               --------------------------1分

∵∠DBC＝∠DEF，∴∠ABD＋∠DBC＝∠AEG＋∠DEF,即∠AEF＝∠ABC＝60°  ---1分

∴△ABC是等边三角形，∠AFE＝60°  　　　　　　　　      --------------------------1分

2. （南京市玄武区中考一模）（7分）如图，平行四边形ABCD中，点E是AD的中点，连接BE并延长交CD的延长线于点F．

（1）求证：△ABE≌△DFE；

（2）连接CE，当CE平分∠BCD时，

求证：ED=FD．

答案：（1）证明：∵在□ABCD中，∴AB∥DF,∴∠A=∠FDE，

∵E是AD中点，∴AE=DE，……………….2分

在△BAE和△FDE中

∠A=∠FDE

AE=DE

∠AEB=∠DEF

∴△BAE≌△FDE…………………………….4分

（2）∵在□ABCD中，∴AB=CD，AD∥BC

∵△BAE≌△FDE，∴AB=DF

∴DC=DF……………………………………..5分

∵AD∥BC  ∴∠ECB=∠DEC

∵EC平分∠BCF, ∴∠ECB=∠ECF, ∴∠DEC==∠DCE, ∴DE=DC

∴DE=DF…………………………………………..7分

3、（南京市浦口区中考一模（6分）如图，在和中，、交于点M.

（1）求证：≌；

（2）作交于点N，四边形BNCM是什么四边形？请证明你的结论.

答案：（本题6分）

（1）在△ABC和△DCB中，

AB=DC,AC=DB,BC为公共边.

△ABC≌△DCB（SSS） ……………………………………………………2分

（2）四边形BNCM为菱形……………………………………………………3分

△ABC≌△DCB

∠DBC=∠ACB

即 MB=MC              ……………………………………………………4分

BN‖AC ,CN‖BD

四边形BNCM为平行四边形.……………………………………………………… 5分

又MB=MC

平行四边形BNCM为菱形.……………………………………………………………… 6分

4.（南京市六合区中考一模）

（7分）已知：如图，△ABC中，AB=AC，BD、CE分别是AC、AB边上的高，连

接DE.

求证：（1）△ABD≌△ACE；

（2）四边形BCDE是等腰梯形.

答案：

证明：（1）∵BD、CE分别是AC、AB边上的高

∴∠ADB=∠AEC=90°．……………………1分

又∵∠A=∠A，AB=AC，

∴△ABD≌△ACE；……………………3分

（2）由△ABD≌△ACE得AD=AE，则∠ADE=∠AED，

故∠ADE=　．　……………………4分

∵AB=AC得∠ABC=∠ACB，故∠ACB=　．……………………5分

∴∠ADE=∠ACB．

∴DE∥BC　．……………………6分

又∵AB–AE=AC–AD即BE=CD，

∴四边形BCDE是等腰梯形．……………………7分

5．（南京市江宁区中考一模）（本题6分）如图，四边形是正方形，点在上，，垂足为，请你在上确定一点，使，请你写出两种确定点G的方案，并写出其中一种方案的具体作法和证明．

方案一：                                              ；

方案二：（1）作法：

(2) 证明：

答案：解：方案：（一）过点B作BG⊥AE,垂足为G；

            （二）在AE上截取AG=DF；

            （三）作交AE于点G；…………………………2分

（注：其中任意一个均可作为方案一，另外再选择一个作为方案二）

（作法正确）……………………………………………………………………………3分

（2）①如果是过点B作BG⊥AE,垂足为G，证明如下：

∵，BG⊥AE，

∴.……………………………………………………………4分

由题意知，

∴.……………………………………………………………………5分

∵四边形是正方形，∴AD=AB, 

在与中，，，AD=AB,

∴（AAS）. ………………………………………………………6分

②如果是在AE上截取AG=DF，证明如下：

∵，AD⊥AE，

∴

∴.……………………………………………………………………4分

∵四边形是正方形，∴AD=AB,  ……………………………………………5分

在与中，AG=DF，，AD=AB,

∴（SAS）. ………………………………………………………6分

③如果作交AE于点G，证明如下：

∵，AD⊥AE，

∴

∴.……………………………………………………………………4分

∵四边形是正方形，∴AD=AB,  ……………………………………………5分

在与中，， AD=AB，

∴（ASA）. ………………………………………………………6分

6、(海淀一模) 如图，点C、D 在线段AB上，E、F在AB同侧，

DE与CF相交于点O，且AC=BD， CO=DO，.

求证：AE=BF.

考查内容:

答案：证明：在△COD中,

∵ CO=DO,

∴ ∠ODC=∠OCD.     …………………………….……………………………1分

∵ AC=BD,

∴ AD=BC.         …………………………….……………………………2分

在△ADE和△BCF中, 

∵

∴ △ADE≌△BCF.        …………………………….……………………………4分

∴ AE=BF.                …………………………….……………………………5分

7、(怀柔一模) （本题满分5分）

如图, 已知：BF=DE,∠1=2，∠3=∠4 

求证：AE=CF．

证明：

考查内容：

答案：证明：∵BF=DE  EF=EF

           ∴BF- EF =DE- EF

          ∴BE=DF  ………………………1分

在△ABE和△CDF中

∵

∴△ABE≌△CDF ……………………………………4分

∴AE=CF．…………………………………5分

3、(黄冈张榜中学模拟) （满分6分）已知：如图，在△ABC、△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C、D、E三点在同一直线上，连结BD.

求证：(1)△BAD≌△CAE；  (2)试猜想BD、CE有何特殊位置关系，并证明.

考查内容：

答案：（1）AB＝AC，易证∠BAD＝∠CAE ，AD＝AE，所以△BAD≌△CAE（SAS）。…3分

（2）BD⊥CE，证明略。……………………………………………………………………6分

8、(平顶山二模) （9分）已知，如图，EG∥AF.请你从①DE = DF ;②AB = AC  ③BE = CF中，选择两个作为已知条件，剩余一个作为结论，写出一个真命题（只需写出一种情况，）并加以证明.

已知：EC∥AF,                  ,                    ,

求证：               .

证明

考查内容:

答案：已知: EG∥AF,DE=DF,AB=AC.  

求证:BE=CF.          …………………2分

证明:∵EG∥AF,  ∴∠EGD=∠FCD, ∠EGB=∠ACB.    ……………………………3分

∵AB=AC, ∴∠B=∠ACB. ∴∠B=∠EGB, ∴BE=EG.     ……………………………5分

在△EDG和△FDC中, ∠EGD=∠FCD,∠EDG=∠FDC, DE=DF,

∴△EDG≌△FDC ∴EG=CF                          ……………………………8分

所以, BE==CF.  ……………………………9分       （其它证法参考以上给分）

B组

26.三角形全等

一  选择题

1. （河南油田模拟一）如图，已知矩形纸片，点是的中点，点是

上的一点，，现沿直线将纸片折叠，使点落在纸片上的点处，连结，则与相等的角的个数为           【     】  

A.4             B. 3         C.2           D.1

答案：B

2．（河南油田模拟一）如图，已知A、B两点的坐标分别为(2，0)、(0，2)，⊙C的圆心坐标为(－1，0)，半径为1．若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值是【     】                                                        

A．2    B．1    C．    D．

答案：C

二  填空题

1.（河南三门峡模拟一）如图（2），正方形ABCD的面积为18，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一动点P，则PD + PE的最小值为                  .

答案：

2．（南京白下区模拟测试一）如图，在三角形纸片ABC中，AC＝BC．把△ABC沿着

AC翻折，点B落在点D处，连接BD，如果∠BAD＝80°，则∠CBD的度数为  ▲  °．

答案：10

三  解答题

3. （河南三门峡模拟一）（本题10分）如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到到B′的位置，AB′与CD交于点E.

（1）求证：△AED≌△CEB′

（2）若AB = 8，DE = 3，点P为线段AC上任意一点，PG⊥AE于G，PH⊥BC于H.求PG + PH的值.

(1)证明：∵四边形ABCD为矩形，

∴∠D＝∠B′＝90°，AD＝B′C，

又∵∠DEA＝∠B′EC，∴△AED≌△CEB′.……5分

(2)由题意知AE＝8－B′E＝8－DE＝8－3＝5.

∴AD＝＝4.又∵∠B′AC＝∠BAC，PG⊥AB′，延长HP交AB于点M，则PM⊥AB，∴PM＝PG.      ∴PG＋PH＝PM＋PH＝HM＝AD＝4.……10分

4．（河南油田模拟一）如图，已知BE⊥AD，CF⊥AD，且BE＝CF．

（1）请你判断AD是△ABC的中线还是角平分线？证明你的结论．

（2）连接BF、CE，能否找到一个条件使四边形BFCE是菱形？直接写出答案：            . (填“能”或“不能”)

解：（1）AD是△ABC的中线, 理由如下：………１分

∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠BED＝∠CFD＝90°……………2分

又∵BE＝CF,∠BED＝∠CFD

∴△BDE≌△CFD（A.A.S.）……………………4分

∴BD=CD,……………………5分

∴AD是△ABC的中线.………………6分

（２）不能……………………9分

5．（北京昌平区统一练习一）

如图，已知线段与相交于点，联结，为的中点，为的中点，联结．若∠A=∠D，∠OEF=∠OFE，求证：AB=DC．

．证明：∵

∴OB=2OE，OC=2OF.  …………………………1分

∵

∴OE=OF.   ………………………………………2分

∴OB=OC.   ………………………………………3分

∵

∴△AOB≌△DOC. ………………………………4分

∴AB=DC.   ………………………………………5分

6．（北京房山区统一练习一）（本小题满分5分）

小明想把一个三角形拼接成面积与它相等的矩形．

他先进行了如下部分操作，如图1所示：

①取△ABC的边AB、AC的中点D、E，联结DE；

  ②过点A作AF⊥DE于点F；

（1）请你帮小明完成图1的操作，把△ABC拼接成面积与它相等的矩形．

（2）若把一个三角形通过类似的操作拼接成一个与原三角形面积相等的正方形，那么原三角形的一边与这边上的高之间的数量关系是________________．

（3）在下面所给的网格中画出符合（2）中条件的三角形，并将其拼接成面积与它相等的正方形．

解：（1）                               -------------------------------- 1分

（2）若要拼接成正方形，原三角形的一边与这一边上的高之间的数量关系是1：2或2：1      ---------------------------------- 3分

（3）画对一种情况的一个图给1分            ------------------------------------------------- 5分

或

                                 ∴正方形ABCD为所求

7．（北京房山区统一练习一）（本小题满分7分）

已知：等边三角形ABC

如图1，P为等边△ABC外一点，且∠BPC=120°．

试猜想线段BP、PC、AP之间的数量关系,并证明你的猜想；

（2）如图2，P为等边△ABC内一点，且∠APD=120°．

     求证：PA+PD+PC＞BD

猜想：AP=BP+PC                 -----------1分

（1）证明：延长BP至E，使PE=PC，联结CE

           ∵∠BPC=120°

           ∴∠CPE=60°，又PE=PC

           ∴△CPE为等边三角形

           ∴CP=PE=CE，∠PCE=60°

           ∵△ABC为等边三角形

           ∴AC=BC，∠BCA=60°

           ∴∠ACB=∠PCE，

           ∴∠ACB+∠BCP=∠PCE+∠BCP

           即：∠ACP=∠BCE

∴△ACP≌△BCE

           ∴AP=BE      -----------2分

           ∵BE=BP+PE

∴AP=BP+PC  ---------------------------------- 3分

（2）方法一：

在AD外侧作等边△AB′D     --------------------------------- 4分

则点P在三角形ADB′外

　　  ∵∠APD=120°∴由（1）得PB′=AP+PD

       在△PB′C中，有PB′+PC＞CB′， 

∴PA+PD+PC＞CB′      ----------------- 5分

      ∵△AB′D、△ABC是等边三角形

      ∴AC=AB，AB′=AD，

∠BAC=∠DA B′=60°

      ∴∠BAC+∠CAD=∠DAB′+∠CAD

      即：∠BAD=∠CAB′

      ∴△AB′C≌△ADB  

∴C B′=BD          ----------------------------- 6分

      ∴PA+PD+PC＞BD    ------------------------- 7分

   方法二：延长DP到M使PM=PA，联结AM、BM

      ∵∠APD=120°，

∴△APM是等边三角形， --------------4分

∴AM=AP，∠PAM=60°

  ∴DM=PD+PA          -----------5分

  ∵△ABC是等边三角形

∴AB=AC，∠BAC=60°

∴△AMB≌△APC

∴BM=PC           -----------------------------6分

在△BDM中，有DM + BM＞BD， 

∴PA+PD+PC＞BD      -------------------7分

8. （北京丰台区统一练习） 已知：如图，∠B=∠D，∠DAB=∠EAC，AB=AD．

求证：BC=DE．

答案.证明：∵∠DAB=∠EAC

∴∠DAB+∠BAE =∠EAC+∠BAE

∵即∠DAE=∠BAC………………………1’

在△DAE和△BAC中

…………………………4’

∴BC=DE…………………………………5’                     8题图

9.（北京平谷区一模）已知：如图，在上，．

求证：△ABC≌DEF．

答案  证明：，

.………………………………1分

． …………………………….2分

又，

，即．………..3分

在△ABC与△DEF中，

    …………………………………………………………………4分

．………………………………………………………………………5分

10（北京怀柔一模）如图, 已知：BF=DE,∠1=2，∠3=∠4 

求证：AE=CF．

证明：

答案  证明：∵BF=DE  EF=EF

           ∴BF- EF =DE- EF

          ∴BE=DF  ………………………1分

在△ABE和△CDF中

∵

∴△ABE≌△CDF ……………………………………4分

∴AE=CF．…………………………………5分

11（北京石景山一模）如图，在△中，，于，点在线段上，，点在线段上，请你从以下两个条件中选择一个作为条件，证明△≌△．

（1）∥；  （2）．

答案   情况一、添加条件：//

证明: ∵ ∥

∴                      …………………………………  1分

∵,

∴

∴    ………………                          …………2分

∴ ………………                          …………3分

在和中

∴≌          ……………………………………………… 5分

情况二、添加条件：

证明：过点作于…………………………………………… 1分

 ∵ ,

∴ …………………………                         ……… 2分

在和中

∵

∴≌   …………………………………………  3分

∴…………………………………………………………  4分

在和中

∴≌ …………………………………………………………  5分

12（路桥二中一模）如图，已知：点B、F、C、E在一条直线上，BC=EF，AB=DE．

（1）请你只添加一个条件（不再加辅助线），使△ABC≌△DEF，你添加的条件是       ；

（2）在你添加的条件后，证明△ABC≌△DEF．

答案   （1）∠B = ∠E　或　AB∥DE　或　AC = DF   ………2分

   （2）证明：当∠B = ∠E时

    在△ABC和△DEF中

                                …………4分

     ∴△ABC≌△DEF (SAS)                  …………2分

13（重庆一模）如图，A、C、F、B在同一直线上，AC=BF，AE=BD，且 AE∥BD．

求证：△AEF与△BCD全等．

答案  证明：∵AC=BF

      ∴AC+CF=BF+CF  即AF=BC    

      ∵AE∥BD

      ∴                 

     又∵AE=BD                   

       ∴△AEF≌△BDC （对应顶点必须写在对应的位置上否则扣分）