(新高考)高考数学一轮复习讲练测专题2.2《基本不等式及其应用》(解析版)

这是一份(新高考)高考数学一轮复习讲练测专题2.2《基本不等式及其应用》(解析版)，共30页。

专题2.2 基本不等式及其应用
新课程考试要求
1.探索并了解基本不等式的证明过程．
2. 掌握基本不等式 (a，b＞0)及其应用..
核心素养
培养学生数学运算（例1.2.3.4.5）、数学建模（例5）、逻辑推理（例1.2.3.4）等核心数学素养.
考向预测
1.利用基本不等式求最值
2.利用基本不等式解决实际问题
3.基本不等式的综合应用
【知识清单】
1．重要不等式
当a、b是任意实数时，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立．
2．基本不等式
当a>0，b>0时有，当且仅当a=b时，等号成立．
3．基本不等式与最值
已知x、y都是正数．
(1)若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值．
(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值．
4.常用推论
（1）（）
（2）（，）；
（3）
【考点分类剖析】
考点一 ：利用基本不等式证明不等式
例1.（2021·山西高三二模（文））证明：；
【答案】证明见解析.
【解析】
由不等式，令，则有，即可证得.
例2.已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：.
【答案】见解析
【解析】∵，，，
∴.同理，.∴
＝，当且仅当，即时取“＝”．
∴，当且仅当时等号成立．
【方法技巧】
利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等．
【变式探究】
1.求证:
【答案】见解析
【解析】证明:由基本不等式和得
=
当且仅当即时取等号.
2.已知、、都是正数，求证：
【答案】见解析
【解析】∵、、都是正数
∴ （当且仅当时，取等号）
（当且仅当时，取等号）
（当且仅当时，取等号）
∴（当且仅当时，取等号）
即.
考点二：利用基本不等式求最值
例3.【多选题】（2021·辽宁葫芦岛市·高三一模）设正实数a，b满足，则（ ）
A．有最小值4 B．有最大值
C．有最大值 D．有最小值
【答案】ACD
【解析】
根据基本不等式结合不等式的性质判断．
【详解】
因为且，
所以，当且仅当时等号成立，即的最大值为，
，A正确；
，B错误；
，C正确；
，D正确．
故选：ACD．
例4.（2021·浙江高三月考）若正实数，满足，则的最小值是______．
【答案】
【解析】
由已知不等式可解得，换元，设，则所求式变形为，利用函数的单调性可得的最小值，从而得结论．
【详解】
因为正实数，满足，所以，解得或，而均为正数，所以，设，
则，
时，由不等式，当且仅当时等号成立知在上单调递增，又，所以时，取得最小值，
所以的最小值是．
故答案为：．
【规律方法】
利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等”
（1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法
（2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量.
（3）等：若能利用均值不等式求得最值，则要保证等号成立，要注意以下两点：
① 若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立（彼此不冲突）
② 若涉及的变量有初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证是否符合初始范围.
注意：形如的函数求最值时，首先考虑用基本不等式，若等号取不到，再利用该函数的单调性求解．
【变式探究】
1.（陕西省2019年高三第三次教学质量检测）若正数满足，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．3
【答案】A
【解析】由题意，因为，
则，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为，故选A.
2.（2019年高考天津卷文）设，则的最小值为__________.
【答案】
【解析】.
因为，
所以，
即，当且仅当时取等号成立.
又因为
所以的最小值为.
【总结提升】
通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略
拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：
(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；
(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；
(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．
考点三：基本不等式的实际应用
例5.（2021·陕西西安市·交大附中高三其他模拟（理））已知圆锥的母线长为，侧面积为，体积为，则取得最大值时圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
设圆锥底面半径为，高为，根据圆锥的侧面积和体积公式，求得，结合基本不等式求得时取得最大值，进而求得圆锥的体积.
【详解】
设圆锥底面半径为，高为，由题意可得母线，
所以圆锥的侧面积为，且，
所以圆锥的体积为，
则，
当且仅当，即时取等号，
此时.
故选：D.
【规律方法】
1.用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：
(1)理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；
(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；
(4)正确写出答案.
2.利用基本不等式求解实际应用题注意点：
(1)此类型的题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解．
(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解．
【易错警示】忽视不等式等号成立的条件！
【变式探究】
（江苏高考真题）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则的值是 .
【答案】30
【解析】总费用，当且仅当，即时等号成立.
考点四：基本不等式的综合运用
例6.（2021·内蒙古赤峰市·高三二模（文））的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则a的最小值为_________.
【答案】2
【解析】
结合的范围求出角的值，结合余弦定理以及基本不等式求出a的范围，从而可得到a的最小值
【详解】
解：因为，所以，
因为，所以，解得，
由余弦定理得，则，
所以，
因为，，
所以，当且仅当时取等号，
所以，解得，当且仅当时取等号，
所以的最小值为2，
故答案为：2
例7.（2020·黑龙江省佳木斯一中高一期中（理））已知函数（）．
（1）若不等式的解集为，求的取值范围；
（2）当时，解不等式；
（3）若不等式的解集为，若，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）.；（3）.
【解析】
（1）①当即时，，不合题意；
②当即时，
，即，
∴，∴
（2）即
即
①当即时，解集为
②当即时，
∵，∴解集为
③当即时，
∵，所以，所以
∴解集为
（3）不等式的解集为，，
即对任意的，不等式恒成立，
即恒成立，
因为恒成立，所以恒成立，
设则，，
所以，
因为，当且仅当时取等号，
所以，当且仅当时取等号，
所以当时，，
所以
【总结提升】
基本不等式的综合应用求解策略
(1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．
(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．
(3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得到参数的值或范围．
【变式探究】
1.（天津市河北区2019届高三二模）已知首项与公比相等的等比数列中，若，，满足，则的最小值为__________．
【答案】1
【解析】设等比数列公比为，则首项
由得：，
则： ， ，
，
，.
则（当且仅当，即时取等号）
.
故填.
2.设函数
（Ⅰ）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，当取最大值时，设，且，求的最小值.
【答案】(1);(2).
【解析】
（Ⅰ）因为函数的对称轴为，且开口向上，
所以在上单调递减，
所以，
∴.
（Ⅱ）根据题意，由（Ⅰ）可得，
即，
所以.
所以.
∵，
则



当且仅当，即，时，等号成立.
所以的最小值为.





专题2.2 基本不等式及其应用
练基础

1．（2021·曲靖市第二中学高三二模（文））已知，，则的（ ）
A．最大值是 B．最大值是
C．最小值是 D．最小值是
【答案】B
【解析】
由题意得，再代入所求式子利用基本不等式，即可得到答案；
【详解】
因为，所以，
所以，等号成立当且仅当.
故选：B.
2．（2021·山东高三其他模拟）已知均为正实数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
取可得由推不出，反过来，由基本不等式可得由能推出，然后可选出答案.
【详解】
取，则，但，所以由推不出，
反过来，若，则，当且仅当时取等号，
所以由能推出，所以“”是“”的必要不充分条件，
故选：C
3．（2021·吉林长春市·东北师大附中高三其他模拟（文））在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知的面积是 ，则的三个内角大小为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
由的面积是，利用面积公式及基本不等式判断出，由b=c得.
【详解】
因为，所以（当且仅当b=c时取等号）.
而的面积是,
所以，即，所以，
因为A为三角形内角，所以.
又因为b=c，所以.
故选：B
4．（2021·浙江高三月考）已知实数，满足，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
运用三角代换法，结合二倍角的正弦公式、正弦型函数的最值性质进行求解即可.
【详解】
由，令，
因此，因为，所以，
因此的最小值是，
故选：D
5．（2021·北京高三二模）某公司购买一批机器投入生产，若每台机器生产的产品可获得的总利润s(万元)与机器运转时间t(年数，)的关系为，要使年平均利润最大，则每台机器运转的年数t为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【解析】
根据题意求出年平均利润函数。利用均值不等式求最值.
【详解】
因为每台机器生产的产品可获得的总利润s(万元)与机器运转时间t(年数，)的关系为，
所以年平均利润
当且仅当时等号成立，
即年平均利润最大，则每台机器运转的年数t为8，
故选：D
6．（2021·四川成都市·高三三模（文））已知函数，恒过定点，过定点的直线与坐标轴的正半轴相交，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
求出，代入直线方程，再根据基本不等式可求出结果.
【详解】
令，即，得，则，
则且，，
由．
当且仅当，时，等号成立，
故选：C
7.【多选题】（2021·福建南平市·高三二模）已知，，，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】
由、结合条件等式可判断A、B，由结合条件等式可判断C、由结合条件等式可判断D.
【详解】
对于A，B，由，，利用基本不等式，可得，解得，
又（当且仅当时，等号成立），而，所以，所以，故B正确，A错误：
对于C，由，，利用基本不等式，
变形得（当且仅当时，等号成立），解得，
即，故C正确；
对于D，由，，利用基本不等式化简
得（当且仅当时，等号成立），
解得，故D错误；
故选：BC
8．【多选题】（2021·河北高三三模）已知正数满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】
A：由条件等式得，结合基本不等式即可判断正误；B：由题设及A得，令有即可判断正误；C：结合A，易得，由基本不等式即可判断正误；D：通过基本不等式证，进而可判断D的正误.
【详解】
A：由，又，得，所以，正确；
B：由，当时有，此时，错误；
C：由，所以，正确；
D：由，所以，正确.
故选：
9．【多选题】（2021·辽宁高三一模）已知，且，则下列不等式正确的（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【解析】
利用基本不等式证明判断．
【详解】
因为，
，当且仅当时等号成立，所以，A正确；
由得，，同理，
，当且仅当，即时等号成立，B正确；
满足题意，但，C错；
由得，所以，当且仅当即时等号成立，所以．D正确．
故选：ABD
10．（2021·天津高三二模）已知正实数，满足，则的最小值为______．
【答案】10
【解析】
先把整理为，对，利用基本不等式求出最小值，即可求出的最小值.
【详解】

∵正实数，满足，
∴（当且仅当，即时取等号）
∴.
故答案为：10.
练提升TIDHNEG

1．（2021·江苏高三三模）在正方形中，为两条对角线的交点，为边上的动点.若，则的最小值为（ ）
A．2 B．5 C． D．
【答案】C
【解析】
以点为原点，以，所在直线为，轴建立平面直角坐标系，设正方形的边长为1，求出已知点的坐标，然后设出点的坐标，代入已知关系式，即可求出，的关系式，然后根据基本不等式即可求解．
【详解】
如图所示，以点为原点，以，所在直线为，轴建立平面直角坐标系，
设正方形的边长为1，则，，，，
则根据中点坐标公式可得，设点的坐标为，
则由，可得，，，
所以，则，
当且仅当，即时取等号，
此时的最小值为，
故选：C

2．（2021·河北保定市·高三二模）已知圆弧与函数和函数的图象分别相交于，，其中且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．4
【答案】B
【解析】
由函数与函数互为反函数可得，然后可得，然后利用基本不等式的知识求解即可.
【详解】
因为函数与函数互为反函数，所以关于对称
所以
因为，在圆弧上
所以，所以
所以
当且仅当，即时等号成立
故选：B
3．（2021·四川达州市·高三二模（理））已知是圆上的点，下列结论正确的是（ ）
A． B．最大值是
C． D．
【答案】C
【解析】
根据基本不等式，可得判定A、B不正确；根据指数函数与对数函数的性质，结合不等式的性质，可判定C正确，D不正确.
【详解】
根据题意，点是圆上的点，可得，
由，可得，当且仅当时等号成立，所以A不正确；
由，当且仅当，即时等号成立，即最小值是，所以B不正确；
由，可得，则，
又由，所以，根据指数函数的性质，可得成立，所以C正确；
由，又由，
因为，可得符合不确定，所以和大小不确定，
所以D不正确.
故选：C.
4．（2021·江西上饶市·高三三模（理））己知A、B、C三点共线（该直线不过原点O），且，则的最小值为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．4
【答案】C
【解析】
先根据三点共线，求出，利用基本不等式求最值.
【详解】
因为A、B、C三点共线（该直线不过原点O），且，
所以

当且仅当，即时等号成立．
故选：C
5．（2021·浙江高三三模）已知正实数满足，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
根据已知等式把代数式进行变形为，再结合已知等式，利用基本不等式进行求解即可.
【详解】
，因为，
所以，
因为，所以，
因此，
因为是正实数，所以，（当且仅当时取等号，即时取等号，即时取等号），
故选：A
6．【多选题】（2021·福建厦门市·高三三模）已知正数，满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】
利用基本不等式证明不等式，判断选项AC的正误；利用，根据选项BD分别构造函数，利用导数研究单调性和最值情况来判断选项BD的正误.
【详解】
正数，满足，
所以，
当且仅当，即时等号成立，故A错误；
由知，，
构造函数，则，
故时，，单调递减；时，，单调递增.
所以，故时，有，B正确；
由，当且仅当时等号成立，故，
故，当且仅当时取等号，而，所以，C正确；
由知，，构造函数，
则，由指数函数性质可知单调递增，又，
故时，，单调递减；时，，单调递增.
故，即，D正确.
故选：BCD.
7．【多选题】（2021·长沙市·湖南师大附中高三二模）关于函数有如下四个命题，其中正确的命题有（ ）
A．的图象关于轴对称
B．的图象关于原点对称
C．的图象关于直线对称
D．的值域为
【答案】AD
【解析】
对于A，B，先求出函数的定义域，然后判断函数的奇偶性，从而可得结论；对于C，分别求解和，若相等，则的图象关于直线对称，否则的图象不关于直线对称；对于D，利用基本不等式判断即可
【详解】
由题意知的定义域为，且关于原点对称.又，所以函数为偶函数，其图象关于轴对称，所以A正确，B错误.
因为，，所以，所以函数的图象不关于直线对称，C错误.
当时，，当且仅当 ，即时取等号，所以，
当时，，当且仅当，即时取等号，所以 ，所以的值域为，所以D正确.
故选：AD
8．【多选题】（2021·江苏高三其他模拟）若非负实数，，满足，则下列说法中一定正确的有（ ）
A．的最小值为 B．的最大值为
C．的最大值为 D．的最大值为
【答案】ACD
【解析】
由已知条件结合基本不等式及相关结论，即可作出判断．
【详解】
对于A，由，，，得，两边同时加上，可得，所以，当且仅当时取等号，所以A正确.
对于B，易得，所以，
当且仅当，时取等号，所以B不正确.
对于C，由，两边同时加上，得，所以，当且仅当时取等号，所以C正确.
对于D，易得，令，，所以，

记，，利用导数易求得，所以D正确.
故选：ACD
9．（2021·山东高三二模）最大视角问题是1471年德国数学家米勒提出的几何极值问题，故最大视角问题一般称为“米勒问题”.如图，树顶A离地面a米，树上另一点B离地面b米，在离地面米的C处看此树，离此树的水平距离为___________米时看A，B的视角最大.

【答案】
【解析】
根据题意，，分别求得，表达式，即可求得表达式，结合基本不等式，即可得答案.
【详解】
过C作，交AB于D，如图所示：

则，
设，
在中，，
在中，，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以取最大值时，最大，
所以当离此树的水平距离为米时看A，B的视角最大.
故答案为：
10．（2021·山东高三其他模拟）从①；②；③这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并加以解答.
问题：在中，分别为内角的对边，若，_________，求的周长的最大值.
注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】答案见解析.
【解析】
若选条件①，由正弦定理、两角和的余弦公式、同角三角函数的基本关系式求得的值，由此求得，利用余弦定理以及基本不等式求得的最大值，从而求得三角形的周长的最大值. 若选条件②，利用余弦定理求得的值，进而求得，利用余弦定理以及基本不等式求得的最大值，从而求得三角形的周长的最大值. 若选条件③，利用同角三角函数的基本关系式、余弦定理求得的值，进而求得，利用余弦定理以及基本不等式求得的最大值，从而求得三角形的周长的最大值.
【详解】
若选条件①，由正弦定理得，
因为，所以，所以，
所以，
整理得，所以，
因为，所以.
因为，由余弦定理得，
所以，
所以，即，当且仅当时取等号，
所以周长的最大值为.
若选条件②，因为，所以，
整理得，
所以，
因为，所以.
因为，由余弦定理得，
所以，
所以，即，当且仅当时取等号，
所以周长的最大值为.
若选条件③，因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
因为，所以.
因为，由余弦定理得，
所以，
所以，即，当且仅当时取等号，
所以周长的最大值为.
练真题TIDHNEG

1．（2019年高考浙江卷）若，则“”是 “”的
A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件
C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当时，当且仅当时取等号，则当时，有，解得，充分性成立；
当时，满足，但此时，必要性不成立，综上所述，“”是“”的充分不必要条件.
2．【多选题】（2020·海南高考真题）已知a>0，b>0，且a+b=1，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】
根据，结合基本不等式及二次函数知识进行求解.
【详解】
对于A，，
当且仅当时，等号成立，故A正确；
对于B，，所以，故B正确；
对于C，，
当且仅当时，等号成立，故C不正确；
对于D，因为，
所以，当且仅当时，等号成立，故D正确；
故选：ABD
3．（山东省高考真题）定义运算“”：（）.当时，的最小值是 .
【答案】
【解析】
由新定义运算知，，因为，，
所以，，当且仅当时，的最小值是.
4．（2020·天津高考真题）已知，且，则的最小值为_________．
【答案】4
【解析】
根据已知条件，将所求的式子化为，利用基本不等式即可求解.
【详解】
，,
，当且仅当=4时取等号，
结合,解得，或时，等号成立.
故答案为：
5．（2020·江苏高考真题）已知，则的最小值是_______．
【答案】
【解析】
根据题设条件可得，可得，利用基本不等式即可求解.
【详解】
∵
∴且
∴，当且仅当，即时取等号.
∴的最小值为.
故答案为：.
6.（2020·全国高考真题（文））设a，b，cR，a+b+c=0，abc=1．
（1）证明：ab+bc+ca<0；
（2）用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥．
【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）由结合不等式的性质，即可得出证明；
（2）不妨设，由题意得出，由，结合基本不等式，即可得出证明.
【详解】
（1），
.
均不为，则，；
（2）不妨设，
由可知，，
，.
当且仅当时，取等号，
，即.