第17章 勾股定理（基础卷） ——2022-2023学年八年级下册数学单元卷（人教版）（原卷版+解析版）

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第17章 勾股定理（A卷·知识通关练）

核心知识1 勾股定理
1．（2022秋•南关区校级期末）如图，已知正方形A的面积为3，正方形B的面积为4，则正方形C的面积为（　　）

A．7 B．5 C．25 D．1
2．（2022秋•成县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD为AC边上的高，BD＝4，CD＝2，则AD的长度是（　　）

A．2.5 B．3 C．3.5 D．4
3．（2022秋•石景山区期末）在等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝213，则底边上的高为（　　）
A．12 B．23 C．32 D．18
4．如图，在△ABC中，∠C=90°，斜边AB的垂直平分线l交AC于点D，连接BD．若AB=13cm，BC=5cm，则△BCD的周长为（　　）

A．18cm B．17cm C．11.5cm D．11cm

5．（2021秋•沈北新区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC＝20，BC＝15．
求：（1）CD的长；
（2）BD的长．





核心知识2 勾股定理的证明
1．（2022秋•南岸区校级期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，根据《周髀算经》的记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”．三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一种证明．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2022秋•蒲江县校级期中）如图所示的正方形图案是用4个全等的直角三角形拼成的．已知正方形ABCD的面积为25，正方形EFGH的面积为1，若用x、y分别表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列三个结论：①x2+y2＝25；②x﹣y＝1；③xy＝12；④x+y＝40．其中正确的是（　　）

A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
3．（2022秋•莲都区期中）如图，由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKJ的面积分别记为S1，S2，S3，若EF＝4，则S1+S2+S3的值是（　　）

A．32 B．80 C．38 D．48
4．（2022秋•西安期中）如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC＝12，BC＝7，将四个直角三角形中边长为12的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是 　 　．


核心知识3 勾股定理在实际生活中的应用
1．（2022秋•绿园区校级期末）如图，有两棵树，一棵高8m，另一棵高2m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞行（　　）

A．6m B．8m C．10m D．18m
2．（2022秋•桥西区校级月考）新冠疫情防控过程中，某中学在大门口的正上方A处装着一个红外线激光测温仪，离地AB＝2.1米（如图所示），一个身高1.6米的学生（CD＝1.6米）正对门缓慢走到离门1.2米的地方时（BC＝1.2米），测温仪自动显示体温，则人头顶离测温仪的距离AD等于 　 　．

3．（2021秋•青冈县期末）在平静的湖面上，有一朵荷花高出水面半尺，忽然一阵强风吹来把荷花垂直拉到水里且荷花恰好落在水面．花在水平方向上离开原来的位置2尺远，则这个湖的水深是 　 　尺．

4．（2022秋•莱西市期末）在某风景游船处，如图，在离水面高度为5m的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13m，此人以0.5m/s的速度收绳．10s后船移动到点D的位置，此时船距离岸边多少m？（结果保留根号）



5．（2022秋•崂山区校级期末）如图所示，在甲村至乙村的公路AB旁有一块山地正在开发，现需要在C处进行爆破．已知点C与公路上的停靠站A的距离为300米，与公路上的另一停靠站B的距离为400米，且CA⊥CB．为了安全起见，爆破点C周围半径250米范围内不得进入，在进行爆破时，公路AB是否有危险而需要封锁？如果需要，请计算需要封锁的路段长度；如果不需要，请说明理由．


核心知识4 利用勾股定理作图与计算
1．（2021秋•莱州市期末）如图，O点为数轴原点，A点对应3，OB⊥OA，连接AB，AB＝4．以O为圆心，OB长为半径画弧交数轴于点C，则点C对应的实数为 　 　．

2．（2022秋•南京期末）如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝1，AB在数轴上，且点A表示的数为﹣1，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于点M，则点M表示的实数为 　 　．


3．如图，在数轴上以1个单位长度画一个正方形，以原点为圆心，以正方形的对角线长为半径画弧，与正半轴的交点为B，且点B表示的是一个无理数，因此我们得出一个结论．
（1）点B表示的数为 　 　；得出的结论是：　 　与数轴上的点是一一对应的．
（2）若将图中数轴上标的A，C，D各点与所给的三个实数5，3和﹣π对应起来，则点A表示的实数为 　 　，点C表示的实数为 　 　，点D表示的实数为 　 　．


4．（2021秋•安溪县期末）如图，在4×4方格中，每个小正方形的边长都为1．
（1）在图1中，正方形ABCD的面积S正方形ABCD＝　 　．边长AB＝　 　；
（2）在图2的4×4方格中，画一个面积为10的格点正方形（四个顶点都在方格的顶点上），并用圆规在数轴上表示实数10．

5．如图1，纸上有五个边长为1的小正方形组成的图形纸，我们可以把它剪开拼成一个正方形．

（1）拼成的正方形的面积为 　 　，边长为 　 　；
（2）如图2，以数轴的单位长度的线段为边作一个直角三角形，以数轴上表示的一1点为圆心，直角三角形的最大边为半径画弧，交数轴正半轴于点A，那么点A表示的数是 　；
（3）如图3，网格中每个小正方形的边长为1，若把阴影部分剪拼成一个正方形，那么新正方形的边长是 ．

核心知识5 勾股定理的逆定理及其应用
1．（2022秋•绿园区校级期末）木工师傅想利用木条（单位都为：米）制作一个直角三角形的工具，那么下列各组数据不符合直角三角形的三边长的是（　　）
A．1，2，3 B．3，4，5 C．7，24，25 D．9，12，15
2．（2022秋•南京期末）满足下列条件时，△ABC不是直角三角形的是（　　）
A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．AB：BC：AC＝3：4：5
C．AB=41，BC＝4，AC＝5 D．∠A＝40°，∠B＝50°
3．（2021秋•金山区期末）以下各组数为三角形的三边，其中，能构成直角三角形的是（　　）
A．3k，4k，5k（k＞0） B．32，42，52
C．13，14，15 D．3，4，5
4．（2022秋•高新区校级月考）如图，四边形ABCD中，AB＝20，BC＝15，CD＝7，AD＝24，∠B＝90°．
（1）判断∠D是否是直角，并说明理由．
（2）求四边形ABCD的面积．

5．（2022秋•龙口市期中）如图，在△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，AD平分∠CAB，DE⊥AB，垂足为E，求△BDE的周长．







核心知识6 勾股数
1．（2021秋•张家川县期末）在下列四组数中，属于勾股数的是（　　）
A．0.3，0.4，0.5 B．3，4，5
C．2，8，10 D．1，2，3
2．（2021秋•绥德县期末）若3，4，a是一组勾股数，则a的值为（　　）
A．7 B．5 C．7或5 D．6
3．（2022春•广西月考）下列各组数是勾股数的是（　　）
A．a＝0.3，b＝0.4，c＝0.5 B．a＝2，b＝2，c＝22
C．a＝4，b＝5，c＝6 D．a＝5，b＝12，c＝13
4．（2022秋•招远市期中）在学习“勾股数”的知识时，爱动脑的小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中．则当a＝20时，b+c的值为（　　）
a
6
8
10
12
14
…
b
8
15
24
35
48
…
c
10
17
26
37
50
…
A．100 B．200 C．240 D．360


5．（2022•石家庄三模）已知：整式A＝n2+1，B＝2n，C＝n2﹣1，整式C＞0．
（1）当n＝1999时，写出整式A+B的值 　 　（用科学记数法表示结果）；
（2）求整式A2﹣B2；
（3）嘉淇发现：当n取正整数时，整式A、B、C满足一组勾股数，你认为嘉淇的发现正确吗？请说明理由．




核心知识7 原命题、逆命题
1．（2021秋•南关区期末）下列说法，正确的是（　　）
A．每个定理都有逆定理
B．真命题的逆命题都是真命题
C．每个命题都有逆命题
D．假命题的逆命题都是假命题
2．（2021秋•信都区月考）下列定理中，没有逆定理的是（　　）
A．直角三角形的两锐角互余
B．同位角相等，两直线平行
C．对顶角相等
D．两直线平行，同旁内角互补
3．（2022秋•夏津县校级月考）下列命题的逆命题是真命题的是（　　）
A．两个全等三角形的对应角相等
B．若一个三角形的两个内角分别为30°和60°，则这个三角形是直角三角形
C．两个全等三角形的面积相等
D．如果一个数是无限不循环小数，那么这个数是无理数
4．（2022春•清镇市期中）下列命题的逆命题是真命题的是（　　）
A．如果a＝0，那么ab＝0
B．两个全等三角形的面积相等
C．有两边相等的三角形是等腰三角形
D．如果a＞b，那么a2＞b2
5．（2021秋•鼓楼区校级期末）下列定理中逆命题是假命题的是（　　）
A．对顶角相等
B．同位角相等，两直线平行
C．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方
D．在一个三角形中如果两边相等那么它们所对的角也相等

核心知识8 利用勾股定理解决折叠问题
1．（2021•西城区校级模拟）如图，Rt△ABC中，AB＝18，BC＝12，∠B＝90°，将△ABC折叠，使点A与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（　　）

A．8 B．6 C．4 D．10
2．（2022•平果市模拟）如图，在△ABC中，AC＝5，BC＝8，∠C＝60°，BD＝3，点D在边BC上，连接AD，如果将△ABD沿AD翻折后，点B的对应点为点E，那么点E到直线DC的距离为（　　）

A．332 B．4 C．32 D．52
3．（2022秋•胶州市校级月考）如图，矩形ABCD中，AB＝16，BC＝8，将矩形沿AC折叠，点D落在点D'处，则重叠部分△AFC的面积为（　　）

A．12 B．20 C．16 D．40
核心知识9 勾股定理中的规律性问题
1．（2021春•八步区期末）如图，△OA1A2是等腰直角三角形，OA1＝1，以斜边OA2为直角边作等腰直角三角形OA2A3，再以OA3为直角边作等腰直角三角形OA3A4，…，按此规律作下去，则OA2021的长为（　　）

A．(2)2021 B．(2)2020 C．(22)2021 D．(22)2020
2．（2022春•恩施市期末）如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…，按照此规律继续下去，则S2022的值为 　 　．


3．（2022秋•任城区期中）如图是按照一定规律“生长”的“勾股树”：

经观察可以发现：图（1）中共有3个正方形，图（2）在图（1）的基础上增加了4个正方形，图（3）在图（2）的基础上增加了8个正方形，……，照此规律“生长”下去，图（6）应在图（5）的基础上增加的正方形的个数是 　 　．


4．（2022秋•温江区校级期中）细心观察如图，认真分析各式，然后解答下列问题：
OA22＝（1）2+1＝2，S1=12（S1是Rt△OA1A2的面积）；
OA32＝（2）2+1＝3，S2=22（S2是Rt△OA2A3的面积）；
OA42＝（3）2+1＝4，S3=32（S3是Rt△OA3A4的面积）；
……
（1）请用含有n（n为正整数）的式子填空：OAn2＝　 ，Sn＝　 　；
（2）求1S1+S2+1S2+S3+1S3+S4+...+1S9+S10的值．




5．细心观察所给图形，认真分析各式，然后回答问题：
1+（1）2＝2，S1=12；1+（2）2＝3，S2=22；1+（3）2＝4，S3=32；…
（1）请用含n（n是正整数）的等式表示上述变化规律；
（2）推算出OA20的长；
（3）求出S21+S22+S23+…+S22018的值．



核心知识10 利用勾股定理解决最短路径问题
1．（2021秋•福田区校级期末）如图，有一圆柱形油罐，底面周长为24m，高为10m．从A处环绕油罐建梯子，梯子的顶端点B正好在点A的正上方，梯子最短需要 　 　m．


2．（2021秋•河口区期末）如图，圆柱形容器的高为0.9m，底面周长为1.2m，在容器内壁离容器底部0.3m处的点B处有一蚊子．此时，一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.2m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为 　 　．


3．（2021春•丰南区期中）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（　　）

A．529 B．537 C．105+5 D．25
4．（2021春•西城区校级期末）我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上．
（1）若绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是 　 　尺．
（2）若绕n周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是 　 　尺．

5.（2021秋•锡山区期中）在一个长为8分米，宽为5分米，高为7分米的长方体上，截去一个长为6分米，宽为5分米，深为2分米的长方体后，得到一个如图所示的几何体．一只蚂蚁要从该几何体的顶点A处，沿着几何体的表面到几何体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长
是 　 分米．





核心知识11 勾股定理与勾股定理的逆定理的综合应用
1．（2022秋•宁德期中）如图，D为△ABC边BC上的一点，AB＝20，AC＝13，AD＝12，DC＝5，求BD的长．




2．（2022秋•玄武区校级期中）如图，在△ABC中，AB边上的垂直平分线DE与AB、AC分别交于点D、E，且CB2＝AE2﹣CE2．
（1）求证：∠C＝90°；
（2）若AC＝4，BC＝3，求CE的长．


3．（2022秋•紫金县期中）如图，在四边形ABCD中，AC⊥BC，AB＝13，BC＝12，CD＝3，AD＝4．
（1）求AC的长；
（2）求四边形ABCD的面积．



4．（2022秋•绥德县期中）如图，网格由小正方形拼成，每个小正方形的边长都为1．四边形ABCD的四个点都在格点上．
（1）求四边形ABCD的面积和周长；
（2）∠BAD是直角吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由．




核心知识12 利用勾股定理证明线段之间的关系问题
1．（2021秋•新泰市期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，AD2+CD2＝2AB2，CD⊥AD．则∠ABC＝90°，请说明理由．



2．如图，在四边形ABFC中，AC2＝AB2+BC2，CD⊥AD，AD2＝2AB2﹣CD2，连接EF．
（1）找出图中的所有直角三角形；
（2）求证：AB＝BC．




3．（2022秋•芗城区校级期中）在△ABC中，∠ACB＝90°，D为△ABC内一点，连接BD，DC，延长DC到点E，使得CE＝DC．
（1）如图1，延长BC到点F，使得CF＝BC，连接AF，EF．若AF⊥EF，求证：BD⊥AF；
（2）连接AE，交BD的延长线于点H，连接CH，依题意补全图2．若AB2＝AE2+BD2，求证：AB2＝AH2+BH2．




核心知识13 利用勾股定理解决动点问题
1．（2022秋•姜堰区期中）如图，AD⊥BC，垂足为D，且AD＝4，BD＝8．点E从B点沿射线BC向右以2个单位/秒的速度匀速运动，F为BE的中点，连接AE、AF，设点E运动的时间为t．
（1）当t为何值时，AE＝AF；
（2）当t＝5时，判断△ABE的形状，并说明理由．







2．（2021秋•安溪县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若点P从点B出发，以每秒4cm的速度沿折线B→A→C→B运动，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）若点P在AC上，求出此时线段PC的长（用含t的代数式表示）；
（2）在运动过程中，当t为何值时，△BCP是以PB为底边的等腰三角形．







核心知识14 数形结合思想
1．（2022秋•兴庆区校级期末）阅读下列文字，然后回答问题．
已知在平面内有两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），它们之间的距离P1P2=(x1-x2)2+(y1-y2)2．
（1）已知A（2，4），B（﹣3，﹣8），试求A，B两点间的距离．
（2）已知△DEF各顶点的坐标为D（1，6），E（﹣2，2），F（4，2），请判断此三角形的形状，并说明理由．




2．（2022秋•景德镇期中）阅读材料，回答下列问题：
在直角坐标系中，已知平面内A（x1，y1）、B（x2，y2）两点坐标，则A、B两点之间的距离等于(x2-x1)2+(y2-y1)2．
例如：已知点P（3，1），Q（1，﹣2），则这两点间的距离PQ=(3-1)2+(1+2)2=13．
特别地，如果两点M（x1，y1）、N（x2，y2）所在的直线与坐标轴重合或平行于坐标轴或垂直于坐标轴，那么这两点间的距离公式可简化为MN＝|x1﹣x2|或|y1﹣y2|．
（1）已知A（1，2）、B（﹣2，﹣3），试求A、B两点间的距离；
（2）已知A、B在平行于y轴的同一条直线上，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为﹣1，试求A、B两点间的距离；
（3）已知△ABC的顶点坐标分别为A（0，4）、B（﹣1，2）、C（4，2），你能判定△ABC的形状吗？请说明理由．



3．（2021春•白云区校级月考）如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，﹣1）、B（3，2）、C（1，﹣2）．
（1）判断△ABC的形状，请说明理由．
（2）求△ABC的周长和面积．
（3）在x轴上有一点P，使得PA+PC最小，则PA+PC的最小值为　13　．



4．（2021春•同安区校级月考）如图，A，B两个工厂位于一段直线形河的异侧，A厂距离河边AC＝5km，B厂距离河边BD＝1km，经测量CD＝8km，现准备在河边某处（河宽不计）修一个污水处理厂E．
（1）设ED＝x，请用x的代数式表示AE+BE的长；
（2）为了使两厂的排污管道最短，污水厂E的位置应怎样来确定此时需要管道多长？
（3）通过以上的解答，充分展开联想，运用数形结合思想，请你猜想x2+9+(15-x)2+25的最小值为多少？






核心知识15 分类讨论思想
1．（2022秋•雁塔区校级期中）若直角三角形的三边长为5，12，m，则m2的值为（　　）
A．13 B．119 C．169 D．119或169

2．（2022秋•宿州月考）在△ABC中，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，AD＝63，CD＝1，则BC的长为（　　）
A．5 B．7 C．5或7 D．33+1

3．（2022秋•新昌县校级期中）如图，在等腰△ABC中，AB＝CB．AD⊥BC．垂足为D．已知AD＝3，CD＝1．
（1）求AC与AB的长．
（2）点P是线段AB上的一动点，当AP为何值时，△ADP为等腰三角形．


4．（2022秋•南昌期中）如图，已知OA＝12，P是射线ON上一动点，∠AON＝60°．
（1）当△AOP是等边三角形时，求OP的长；
（2）当△AOP是直角三角形时，求OP的长．




5．（2022秋•浑南区月考）已知△ABC中，∠B＝90°，BC＝6cm，AB＝8cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动且速度为每秒2cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，在BC边上的运动速度是每秒3cm，在AC边上的运动速度是每秒5cm，它们同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止，设运动时间为t秒，

（1）线段AC＝　 ；
（2）当t＝1秒时，求△BPQ的面积；
（3）当点AP＝CP时，CQ＝　 　；
（4）若PQ将△ABC周长分为5：7两部分，直接写出t的值．