湖北省荆州市2022-2023学年九年级下学期3月质检数学试题（含详细答案）

这是一份湖北省荆州市2022-2023学年九年级下学期3月质检数学试题（含详细答案），共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．一个整数815550…0用科学记数法表示为8.1555×1010，则原数中“0”的个数为（ ）
A．4B．6C．7D．10
4．将一副三角板和一张对边平行的纸条按如图摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是( )
A．15°B．22.5°C．30°D．45°
5．下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．如图，是由四个大小相同的小正方体组成的几何体，这个几何体的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
7．如图所示，的直径弦，，则（ ）
A．B．C．D．
8．函数的图象如图所示，则关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．没有实数根B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根D．无法确定
9．野鸭从南海起飞，7天飞到北海；大雁从北海起飞，9天飞到南海．现野鸭与大雁分别从南海和北海同时起飞，问经过多少天相遇？设野鸭与大雁经过x天相遇，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，抛物线的顶点为．下列结论：（1）；（2）；（3）若关于x的方程有两个不相等的实数根，则；（4）若，且，则．其中正确的结论有（ ）．
A．1个B．2个C．3D．4个
二、填空题
11．分解因式：_______.
12．已知关于x的分式方程的解是负数，则m的取值范围是_______．
13．方程和方程所有实数根之积为________．
14．有一直径为2的圆形铁皮，要从中剪出一个最大圆心角为60°的扇形ABC，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径r=_________．
15．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴上，顶点在反比例函数的图像上，且若将该菱形向下平移个单位后，顶点恰好落在此反比例函数的图像上，则此反比例函数的表达式为________．
16．如图，在平面直角坐标系中，长为3的线段（点D在点C右侧）在x轴上移动，点、是y轴上定点，连接，则的最小值为________．
三、解答题
17．计算：．
18．先化简，再求值：，其中a＝3．
19．为落实中小学生五项管理中的手机管理，某学校团委组织了“我与手机说再见”为主题的演讲比赛，根据参赛同学的得分情况绘制了如图所示的两幅不完整的统计图（其中A表示“一等奖”，B表示“二等奖”，C表示“三等奖”，D表示“优秀奖”）．
请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
(1)获奖总人数为______人，______；
(2)请将条形统计图补充完整；
(3)学校将从获得一等奖的4名同学（其中有一名男生，三名女生）中随机抽取两名参加全市的比赛，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率．
20．如图，正方形ABCD，点E，F分别在AD，CD上，且DE＝CF，AF与BE相交于点G．
（1）求证：BE＝AF；
（2）若AB＝4，DE＝1，求AG的长．
21．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象相交于A，B两点，过点A作轴于点D，，，B点的坐标为．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)求的面积；
(3)P是y轴上一点，且是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的P点坐标．
22．如图是的外接圆，点O在上，的角平分线交于点D，连接，，过点D作的平行线与的延长线相交于点P．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求与的值．
23．某商店销售一种商品，经市场调查发现：该商品的周销售量 y (件) 是售价x（元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w（元）的三组对应值如下表：
注：周销售利润＝周销售量×（售价－进价）
(1)求 y 关于 x 的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
(2)求该商品的进价和周销售的最大利润；
(3)由于某种原因，该商品进价提高了m元/件，物价部门规定该商品售价不得超过60元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若周销售最大利润是1080元，求的值．
24．如图，已知抛物线：交轴于点，交轴于点．
(1)直接写出点的坐标；
(2)将直线向下平移个单位，使直线与抛物线恰好只有一个公共点，求的值；
(3)在抛物线上存在点，使，求点的坐标．
售价x（元/件）
50
60
70
周销售量y（件）
80
60
40
周销售利润w（元）
800
1200
1200
参考答案：
1．A
【分析】根据最简二次根式的定义对各选项进行判断．
【详解】解：A、是最简二次根式，正确；
B、=2，不是最简二次根式，不正确；
C、=2，不是最简二次根式，不正确；
D、=3不是最简二次根式，不正确．
故选：A．
【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，最简二次根式满足的条件为：被开方数中不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
2．A
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念可直接进行排除选项．
【详解】解：A、既是轴对称图形也是中心对称图形，故符合题意；
B、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意；
C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
故选A．
【点睛】本题主要考查轴对称图形及中心对称图形，熟练掌握轴对称图形及中心对称图形的概念是解题的关键．
3．B
【分析】把8.1555×1010写成不用科学记数法表示的原数的形式即可得．
【详解】∵8.1555×1010表示的原数为81555000000，
∴原数中“0”的个数为6，
故选B．
【点睛】本题考查了把科学记数法表示的数还原成原数，科学记数法的表示的数a×10n还成成原数时， n＞0时，小数点就向右移动n位得到原数；n<0时，小数点则向左移动|n|位得到原数.
4．A
【分析】过A点作AB∥a，则有∠1=∠2，由题意易得AB∥b，然后根据平行线的性质及三角板的度数可进行求解．
【详解】解：如图，过A点作AB∥a，
∴∠1=∠2，
∵a∥b，
∴AB∥b，
∴∠3=∠4=30°，而∠2+∠3=45°，
∴∠2=15°，
∴∠1=15°．
故选A．
【点睛】本题主要考查平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．
5．D
【分析】根据积的乘方计算法则即可判断A；根据二次根式的除法计算法则即可判断B；根据同底数幂乘法计算法则即可判断C；根据完全平方公式即可判断D．
【详解】解：A、，计算错误，不符合题意；
B、，计算错误，不符合题意；
C、，计算错误，不符合题意；
D、，计算正确，符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查了积的乘方，二次根式除法，同底数幂乘法和完全平方公式，熟知相关计算法则是解题的关键．
6．A
【分析】找到从上面看所得到的图形即可．
【详解】解：这个几何体的俯视图是．
故选：A．
【点睛】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
7．D
【分析】设CD交AB于H．根据垂径定理得CH=DH=OH，设CH=DH=a，求出BH即可解决问题．
【详解】解：设CD交AB于H．
∵OB=OC，
∴∠2=∠3，
∵AB⊥CD，
∴∠1+∠2+∠3=90°，CH=HD，
∵∠1=2∠2，
∴4∠3=90°，
∴∠3=22.5°，
∴∠1=45°，
∴CH=OH，
设DH=CH=a，则OC=OB=a，BH=a+a，
∴tan∠CDB=，
故选：D．
【点睛】本题考查垂径定理，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
8．C
【分析】根据一次函数图象经过的象限找出k、b的正负，再结合根的判别式即可得出△＞0，由此即可得出结论．
【详解】解：观察函数图象可知：函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限，
∴k＜0，b＜0．
在方程中，
△=，
∴一元二次方程有两个不相等的实数根．
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系以及根的判别式，根据一次函数图象经过的象限找出k、b的正负是解题的关键．
9．A
【分析】设野鸭与大雁经过x天相遇，根据路程=速度×时间，结合野鸭飞过的路程+大雁飞过的路程=整段路程，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【详解】解：设野鸭与大雁经过x天相遇，
依题意得：，
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
10．A
【分析】由抛物线开口向上得，由抛物线与y轴的交点在x轴上方得，则可对①进行判断；根据抛物线的对称轴为直线，可对②进行判断；由顶点M的坐标为，得到，然后把代入得到，再由判别式，则可对③进行判断；由得出，关于对称轴对称，则可对④进行判断．
【详解】解：①∵抛物线开口向上，
∴，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴，
∴，所以①不正确；
②∵顶点，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴，所以②不正确；
③∵抛物线的顶点M的坐标为，
∴，
又∵，
∴，即，，
∵关于x的方程有两个不相等的实数根，
∴，即，
得，
∵，
∴，所以③正确；
④∵，
则，
∵当与时，y值相同，
∴，关于对称轴对称，
则，即，所以④不正确．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，a决定抛物线的开口方向和大小；b和a共同决定对称轴的位置；常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于，熟练掌握抛物线的图象与性质是解题关键．
11．．
【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，先提取公因式后继续应用平方差公式分解即可
【详解】解：，
故答案为：．
12．且
【分析】直接解分式方程，然后根据分式方程的解为负数，结合求出答案．
【详解】解：，
去分母得：，
解得：，
∵分式方程的解是负数，
∴且，
即且，
解得：且．
故答案为：且
【点睛】本题考查了分式方程的解，正确解分式方程是解题的关键．
13．1
【分析】先根据判别式判断两个方程都有两个不相等的实数根，然后根据根与系数的关系分别求出两个方程的对应两根的积即可得到答案．
【详解】解：对于方程，即，，
对于方程，即，，
∴设方程的两个分别为，方程的两个实数根为，
∴，，
∴，
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则．
14．
【分析】连接，延长交于点，连接、；根据扇形性质，得，结合圆周角性质，得；根据直径对应圆周角为直角的性质计算，得；通过三角函数计算，得；根据弧长公式，计算得，从而完成求解．
【详解】如图，连接，延长交于点，连接、
∵扇形ABC
∴
∴
∵为直径
∴
∴，
∴
由题意得：，
∴
∴
∴
∵
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆、直角三角形两锐角互余、扇形、圆锥、三角函数的知识；解题的关键是熟练掌握圆周角、三角函数、弧长的性质，从而完成求解．
15．
【分析】过点C作轴于点D，设菱形的边长为a，根据菱形的性质和三角函数分别表示和点B向下平移个单位的点的坐标，代入反比例函数解析式计算即可解题．
【详解】解：过点C作轴于点D，设菱形的边长为a，
在中，
，，
则，，
点B向下平移个单位的点为，即
则有
解得，
∴，
∴反比例函数的表达式为
故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数解析式，坐标与图形的性质、菱形的性质，掌握菱形的性质是解题的关键．
16．
【分析】平移使点D落在点B处，连接，则点C的对应点为，即，进而得出，再作点A关于x轴的对称点，则，进而得出的最小值为，即可求解答案．
【详解】解：如图，平移使点D落在点B处，连接，则点C的对应点为，即，
∵，，
∴点，
作点A关于x轴的对称点，此时点，C，在同一条线上时，最小，
∵，
∴，
连接，则的最小值为，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了对称的性质，平移的性质，将的最小值转化为是解本题的关键．
17．5．
【分析】先化简绝对值、特殊角的正弦值、零指数幂、二次根式的乘法，再计算实数的混合运算即可得．
【详解】解：原式，
，
．
【点睛】本题考查了化简绝对值、特殊角的正弦值、零指数幂、二次根式的乘法等知识点，熟练掌握各运算法则是解题关键．
18．，
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再将a的值代入进行计算即可．
【详解】.原式
，
原式
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
19．(1)40；30；
(2)见解析
(3)
【分析】（1）用“二等奖”人数除以它所占的百分比得到获奖总人数，然后计算“三等奖”人数所占的百分比得到m的值；
（2）求出获“三等奖”人数为12人，补全条形统计图即可；
（3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中抽取同学中恰有一名男生和一名女生的结果为6种，然后根据概率公式求解即可．
【详解】（1）解：）获奖总人数为（人）．
，即；故答案为40；30；
（2）解：“三等奖”人数为（人），
条形统计图补充为：
（3）解：画树状图为：
共有12种等可能的结果，抽取同学中恰有一名男生和一名女生的结果数为6，所以抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率．
【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图、及用树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率一所求情况数与总情况数之比．牢固掌握画树状图列出所以可能结果是解题的关键．
20．（1）见解析；（2）
【分析】（1）由正方形的性质得出∠BAE=∠ADF=90°，AB=AD=CD，得出AE=DF，由SAS证明△BAE≌△ADF，即可得出结论；
（2）由全等三角形的性质得出∠EBA=∠FAD，得出∠GAE+∠AEG=90°，因此∠AGE=90°，由勾股定理得出BE=，在Rt△ABE中，由三角形面积即可得出结果．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAE=∠ADF=90°，AB=AD=CD，
∵DE=CF，
∴AE=DF，
在△BAE和△ADF中，
∵，
，
，
（2）由（1）得：△BAE≌△ADF，
∴∠EBA=∠FAD，
∴∠GAE+∠AEG=90°，
∴∠AGE=90°，
∵AB=4，DE=1，
∴AE=3，
，
在中，
，
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质、勾股定理以及三角形面积公式；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
21．(1)一次函数的表达式为：；反比例函数的表达式为：；
(2)的面积为9；
(3)P点坐标为：或或或．
【分析】（1）先求得点，利用待定系数法求得反比例函数的表达式和点B的坐标，再利用待定系数法即可求得一次函数表达式；
（2）的面积，据此计算即可求解；
（3）分、、三种情况，分别求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，，
∴点，
则，
故反比例函数的表达式为：，故B点的坐标为，
将点A、B的坐标代入一次函数表达式得：
，解得：，
故一次函数的表达式为：；
（2）解：设一次函数交y轴于点为M，
令，则，
，
∵点，，
∴的面积；
（3）解：设点，而点A、O的坐标分别为：、，
，，，
当时，，解得：或0（舍去0）；
当时，同理可得：；
当时，同理可得：；
综上，P点坐标为：或或或．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，等腰三角形的判定与性质，利用形数结合解决此类问题，是非常有效的方法．
22．(1)见解析；
(2)，．
【分析】（1）连接，先得出，进而得出，根据平行线的性质得出，推出，即可得出结论；
（2）先证明，根据勾股定理得出，进而求得，再证明，根据相似三角形的性质即可得出，代入可求出答案．
【详解】（1）证明：如图1，连接，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是半径，
∴是的切线；
（2）∵是的直径，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
∴．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，圆周角定理，切线的判定，勾股定理，正确理解题意证明切线是解题的关键．
23．(1)y=-2x+180
(2)售价为65元/件时，周销售利润最大，为1250元
(3)m=2
【分析】（1）依题意设y=kx+b，解方程组即可得到结论；
（2）根据利润=售价-进价，周销售利润=周销售量×（售价-进价）列出函数关系式，根据性质解答即可；
（3）利用二次函数的性质解答即可．
【详解】（1）设与的函数关系式为y=kx+b，将(50，80)，(60，60)分别代入得，
，解得，
∴与的函数关系式是y=-2x+180；
（2）设进价为a元，由售价50元时，周销售量为80件，周销售利润为800元，得80(50-a)=800，
解得：a=40
即该商品的进价为40元/件；
依题意有
∵-2＜0
∴抛物线开口向下
∴当x=65时，w有最大值为1250
即售价为65元/件时，周销售利润最大，为1250元．
（3）依题意有
∵m＞0
∴对称轴＞65，
∵-2＜0
∴抛物线开口向下，
∵x≤60
∴随的增大而增大
∴当x=60时，有最大值(-2×60+180)(60-40-m)=1080
∴m=2
【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，熟练掌握题目中的等量关系是解答本题的关键．
24．(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）利用抛物线与坐标轴交点的计算方法求解即可；
（2）设直线的解析式为，利用待定系数法求得直线的解析式为，将直线向下平移个单位后的解析式为，若此时直线与抛物线恰好只有一个公共点，则方程有两个相等的实数解，利用一元二次方程的根的判别式求解即可；
（3）由（1）可知，，易知当点与点重合时，；在抛物线上取点，使得，且交轴于点，过点作于点，首先证明，易知，设，，在和中，由勾股定理列式求解，可确定，再设直线的解析式为，利用待定系数法求得直线的解析式为，将直线的解析式与抛物线解析式联立，并求解即可求得点坐标．
【详解】（1）解：对于抛物线：，
当时，可有，解得，
∴，
当时，，
∴；
（2）设直线的解析式为，
∵，
∴可有，解得，
∴直线的解析式为，
∵将直线向下平移个单位，
∴平移后的直线解析式为，
若此时直线与抛物线恰好只有一个公共点，
则方程有两个相等的实数解，
将方程整理可得，
则有，
解得，
∴的值为；
（3）由（1）可知，，
∴，，
∴当点与点重合时，，
此时点；
∵如下图，在抛物线上取点，使得，且交轴于点，过点作于点，
∵，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
设，，
∴在中，可有，
即，
∴①，
在中，可有，
即，整理可得②，
联立①②，可得，
可解得③，
将③代入①，可得，
解得，（舍去），
∴，
∴，
设直线的解析式为，
将点代入，可得，解得，
∴直线的解析式为，
将直线的解析式与抛物线解析式联立，
可得，解得（舍去），，
将代入抛物线解析式，
可得，
∴．
综上所述，点坐标为或．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数图像与坐标轴交点问题、二次函数与一次函数综合、待定系数法求一次函数解析式、二次函数与一元二次方程的应用、勾股定理、锐角三角函数等知识，综合运用相关知识是解题关键．