2022-2023学年湖北省荆州市松滋市九年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2022-2023学年湖北省荆州市松滋市九年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列几何体的三视图之一是长方形的是( )
A. B. C. D.
2.下列关系式中，y是x的反比例函数的是( )
A. y=x3B. y=x2C. y=−3xD. y=1x2
3.下列计算正确的是( )
A. x2+x2=x4B. (x−y)2=x2−y2
C. (x2y)3=x6yD. (−x)2⋅x3=x5
4.抛一枚质地均匀的正方体骰子一次，出现点数不小于5的概率是( )
A. 12B. 14C. 13D. 15
5.如图，在△ABC中，∠A=30∘，∠ABC=100∘.观察图中尺规作图的痕迹，可知∠BFC的度数为( )
A. 130∘
B. 120∘
C. 110∘
D. 100∘
6.如图，点A、B、C在⊙O上，若∠BAC=30∘，OB=2，则图中阴影部分的面积为( )
A. π3− 3
B. 2π3− 3
C. 2π3−2 3
D. π3−2 3
7.如图，某小区居民休闲娱乐中心是一块长方形(长30米，宽20米)场地，被3条宽度相等的绿化带分为总面积为480平方米的活动场所(羽毛球，乒乓球)如果设绿化带的宽度为x米，由题意可列方程为( )
A. (30−x)(20−x)=480B. (30−2x)(20−x)=480
C. (30−2x)(20−x)=600D. (30−x)(20−2x)=480
8.如图，正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D(5,3)在边AB上，以C为中心，把△CDB旋转90∘，则旋转后点D的对应点D′的坐标是( )
A. (2,10)
B. (−2,0)
C. (2,10)或(−2,0)
D. (10,2)或(−2,0)
9.如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形半径CA=6，圆心角∠ACB=120∘，则此圆锥高OC的长度是( )
A. 2
B. 2 10
C. 4 2
D. 4 3
10.如图，在△AOB中，∠AOB=90∘，OB=3，半径为1的⊙O与OB交于点C，且AB与⊙O相切，过点C作CD⊥OB交AB于点D，点M是边OA上的动点.则△MCD周长的最小值为( )
A. 2 2B. 6+ 22C. 2+53D. 5 23
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.方程xa−2x+5=0为一元二次方程，则实数a=______ .
12.若点A(a,b)在双曲线y=3x上，则代数式2025−ab的值为______ .
13.一个圆内接正多边形的一条边所对的圆心角是60∘，则该正多边形边数是______.
14.如图，直线AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G，且AB//CD，若OB=6cm，OC=8cm，则BE+CG的长等于______.
15.若二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则不等式a(x+1)2+b(x+1)+c<0的解集为______ .
16.如图，点A、B在反比例函数y=kx的图象上，AC⊥y轴，垂足为D，BC⊥AC.若四边形AOBC的面积为6，ADAC=12，则k的值为______.
三、计算题：本大题共1小题，共10分。
17.如图，AB是⊙O的直径，C是圆上一点，弦CD⊥AB于点E，且DC=AD.过点A作⊙O的切线，过点C作DA的平行线，两直线交于点F，FC的延长线交AB的延长线于点G.
(1)求证：FG与⊙O相切；
(2)连接EF，若AF=2，求EF的长．
四、解答题：本题共7小题，共62分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题8分)
计算(化简与解方程)：
(1)(x+y)(x−y)−(x−2y)2；
(2)3x(x−1)=2(x−1).
19.(本小题8分)
已知关于x的一元二次方程x2−6x+2m−1=0有x1，x2两实数根.
(1)若x1=1，求x2及m的值；
(2)是否存在实数m，满足(x1−1)(x2−1)=6m−5？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由.
20.(本小题8分)
请用无刻度直尺按要求画图，不写画法，保留画图痕迹.(用虚线表示画图过程，实线表示画图结果)
(1)如图1，①在线段AD上找一点E，使∠CBE=45∘；
②过点E作直线EF将四边形ABCD的面积二等分；
(2)如图2，在正方形网格中，有一圆经过了两个小正方形的顶点A，B，请画出这个圆的圆心O.
21.(本小题8分)
为庆祝建党101周年，松滋市某中学决定举办校园艺术节.学生从“书法”、“绘画”、“声乐”、“器乐”、“舞蹈”五个类别中选择一类报名参加.为了了解报名情况，组委会在全校随机抽取了若干名学生进行问卷调查，现将报名情况绘制成如图所示的不完整的统计图.请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
(1)在这次调查中，一共抽取了多少名学生？
(2)在扇形统计图中，求“声乐”类对应扇形圆心角的度数；并补全条形统计图；
(3)小东和小颖报名参加“器乐”类比赛，现从小提琴、单簧管、钢琴、电子琴四种乐器中随机选择一种乐器，用列表法或画树状图法求出他们选中同一种乐器的概率.
22.(本小题8分)
对于一些比较复杂的方程，可以利用函数图象来研究方程的根.
问题：探究方程2x(|x|−2)=1的实数根的情况.
下面是小董同学的探究过程，请帮她补全：
(1)设函数y=2x(|x|−2)，这个函数的图象与直线y=1的交点的______ 坐标(填“横”或“纵”)就是方程2x(|x|−2)=1的实数根.
(2)注意到函数解析式中含有绝对值，所以可得：
当x≤0时，y=−2x2−4x；
当x>0时，y=______ ；
(3)在如图的坐标系中，已经画出了当x≤0时的函数图象，请根据(2)中的解析式，通过描点，连线，画出当x>0时的函数图象.
(4)画直线y=1，由此可知2x(|x|−2)=1的实数根有______ 个.
(5)深入探究：若关于x的方程2x(|x|−2)=m有三个不相等的实数根，且这三个实数根的和为非负数，则m的取值范围是______ .
23.(本小题10分)
凌云文具店从工厂购进A、B两款冰墩墩钥匙扣，进货价和销售价如表：(注：利润=销售价-进货价)
(1)该文具店第一次用860元购进A、B两款钥匙扣共30件，求两款钥匙扣分别购进的件数；
(2)第一次购进的冰墩嫩钥匙扣售完后，该文具店计划再次购进A、B两款冰墩墩钥匙扣共60件(进货价和销售价都不变)，且进货总价不高于1700元.应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？
(3)文具店打算把B款钥匙扣调价销售.如果按照原价销售，平均每天可售4件.经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为54元？
24.(本小题12分)
如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为C(3,6)，并与y轴交于点B(0,3)，点A是对称轴与x轴的交点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图①所示，P是抛物线上的一个动点，且位于第一象限，连接BP，AP，求△ABP的面积的最大值；
(3)如图②所示，在对称轴AC的右侧作∠ACD=30∘交抛物线于点D，求出D点的坐标；并探究：在y轴上是否存在点Q，使∠CQD=60∘？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A.圆锥的主视图、左视图都是三角形，俯视图是圆形，故本选项不合题意；
B.圆柱的左视图和主视图是矩形，俯视图是圆，故本选项符合题意；
C.球体的主视图、左视图、俯视图都是圆形，故本选项不合题意；
D.三棱锥的三视图都不是矩形，故本选项不合题意．
故选：B.
分别写出各个立体图形的三视图，判断即可．
此题考查了简单几何体的三视图，熟练掌握三视图的定义是解本题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：A.y=x3，是正比例函数，故A不符合题意；
B.y=x2是二次函数，故B不符合题意；
C.y=−3x，y是x的反比例函数，故C符合题意；
D.y=1x2，y不是x的反比例函数，故D不符合题意；
故选：C.
根据反比例函数的定义判断即可．
本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：x2+x2=2x2，A错误；
(x−y)2=x2−2xy+y2，B错误；
(x2y)3=x6y3，C错误；
(−x)2⋅x3=x2⋅x3=x5，D正确；
故选：D.
根据合并同类项法则、完全平方公式、积的乘方法则、同底数幂的乘法法则计算，判断即可．
本题考查的是合并同类项、完全平方公式、积的乘方、同底数幂的乘法，掌握它们的运算法则是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：抛一枚质地均匀的正方体骰子一次，
会出现1，2，3，4，5，6，6种情况，其中点数不小于5的有5，6两种，
∴点数不小于5的概率是26=13，
故选：C.
先统计出不小于5的点数的个数，再根据概率公式求解即可．
本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
5.【答案】C
【解析】解：由作图可知，DE垂直平分线段AC，BF平分∠ABC，
∴DA=DC，
∴∠A=∠DCA，∠ABF=∠CBF=12∠ABC=50∘，
∴∠BDC=∠A+∠DCA=60∘，
∴∠BFC=∠BDF+∠ABF=60∘+50∘=110∘，
故选：C.
由作图可知，DE垂直平分线段AC，BF平分∠ABC，求出∠BDF，∠ABF，再利用三角形外角的性质求解即可．
本题考查线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识，
6.【答案】B
【解析】解：∵∠BAC=30∘，
∴∠BOC=2∠BAC=60∘，
∵OB=OC，
∴△BOC是等边三角形，
∴S阴=S扇形OBC−S△OBC=60⋅π×22360−12×2× 3=23π− 3，
故选：B.
根据S阴=S扇形OBC−S△OBC，计算即可．
本题考查扇形的面积，圆周角定理，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
7.【答案】B
【解析】解：∵绿化带的宽度为x米，
∴六块活动场所可合成长为(30−2x)米，宽为(20−x)米的长方形．
根据题意得：(30−2x)(20−x)=480.
故选：B.
由绿化带的宽度，可得出六块活动场所可合成长为(30−2x)米，宽为(20−x)米的长方形，结合活动场所的总面积为480平方米，可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：∵点D(5,3)在边AB上，
∴BC=5，BD=5−3=2，
①若顺时针旋转，则点D′在x轴上，OD′=2，
∴D′点坐标为(−2,0)，
②若逆时针旋转，则点D′到x轴的距离为10，到y轴的距离为2，
∴D′点坐标为(2,10)，
综上所述，点D′的坐标为(2,10)或(−2,0).
故选C.
分顺时针旋转和逆时针旋转两种情况讨论解答即可．
本题考查旋转中的坐标变化．
9.【答案】C
【解析】解：设圆锥底面圆的半径为r，
∵AC=6，∠ACB=120∘，
∴lAB=120π×6180=2πr，
∴r=2，即：OA=2，
在Rt△AOC中，OA=2，AC=6，根据勾股定理得，OC= AC2−OA2=4 2，
故选：C.
先根据圆锥的侧面展开图，扇形的弧长等于该圆锥的底面圆的周长，求出OA，最后用勾股定理即可得出结论．
此题主要考查了扇形的弧长公式，勾股定理，求出OA是解本题的关键．
10.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了切线的判定和性质，切线长定理，勾股定理，正确地找到点M的位置是解题的关键．
延长CO交⊙O于点E，连接ED，交AO于点M，此时MC+MD的值最小．设AB与⊙O相切于点F，连接OF，得到∠OFB=90∘，根据勾股定理得到BF= OB2−OF2= 32−12=2 2；根据切线长定理得到DF=CD，再根据勾股定理即可得结论．
【解答】
解：如图，延长CO交⊙O于点E，连接ED，交AO于点M，此时MC+MD的值最小．
设AB与⊙O相切于点F，
连接OF，则∠OFB=90∘，
∵OC=1，
∴OF=OC=1，
∴BF= OB2−OF2= 32−12=2 2；
∵CD⊥OB，OC为⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线，
∴DF=CD，
∵∠DCB=90∘，
∴CD2+CB2=BD2，
∴CD2+22=(2 2−CD)2，
解得：CD= 22，
∴DE= CD2+CE2= ( 22)2+22=3 22，
∴△MCD周长的最小值为 22+3 22=2 2
故选：A.
11.【答案】2
【解析】解：∵方程xa−2x+5=0为一元二次方程，
∴a=2.
故答案为：2.
根据一元二次方程的定义进行解答即可．
本题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是熟练掌握只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程，其一般形式为ax2+bx+c=0(a≠0).
12.【答案】2022
【解析】解：∵点A(a,b)在双曲线y=3x上，
∴ab=3，
∴2025−ab
=2025−3
=2022，
故答案为：2022.
将点A(a,b)代入双曲线y=3x可求出ab=3，再代入计算即可．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，求出ab的值是正确解答的关键．
13.【答案】六
【解析】解：设正多边形的边数为n.
由题意得，360∘n=60∘，
∴n=6，
经检验，n=6是原分式方程的根.
故答案为：六．
根据正多边形的中心角=360∘n计算即可．
本题考查正多边形和圆，解题的关键是记住正多边形的中心角=360∘n.
14.【答案】10cm
【解析】解：∵AB//CD，
∴∠ABC+∠BCD=180∘，
∵直线AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G，
∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠BCD，BE=BF，CG=CF，
∴∠OBC+∠OCB=12(∠ABC+∠BCD)=90∘，
∴∠BOC=90∘，
在Rt△BOC中，
BC= OB2+OC2= 62+82=10，
∴BE+CG=10cm.
故答案为：10cm.
根据平行线的性质以及切线长定理，即可证明∠BOC=90∘，再根据勾股定理即可求得BC的长，再结合切线长定理即可求解．
此题主要是考查了切线长定理．熟记从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，且圆心和这点的连线平分两条切线的夹角是解决问题的关键．
15.【答案】x<0或x>2
【解析】解：∵由函数图象可知，二次函数y=ax2+bx+c与x轴的交点坐标的横坐标为1和3
∴函数y=a(x+1)2+b(x+1)+c的图象与x轴的交点横坐标为0，2，
由函数图象可知，二次函数y=ax2+bx+c，当x<1或x>3时，函数图象在x轴的下方，
∴二次函数y=a(x+1)2+b(x+1)+c，当x<0或x>2时，函数图象在x轴的下方，
∴不等式a(x+1)2+b(x+1)+c<0的解集为x<0或x>2.
故答案为：x<0或x>2.
直接利用函数图象即可得出结论．
本题考查的是二次函数与不等式组，能根据题意利用数形结合求出不等式的解集是解答此题的关键．
16.【答案】3
【解析】解：设点A(a,ka)，
∵AC⊥y轴，
∴AD=a，OD=ka，
∵ADAC=12，
∴AC=2a，
∴CD=3a，
∵BC⊥AC.AC⊥y轴，
∴BC//y轴，
∴点B(3a,k3a)，
∴BC=ka−k3a=2k3a，
∵S梯形OBCD=S△AOD+S四边形AOBC，
∴12(ka+2k3a)×3a=12k+6，
解得：k=3.
故答案为：3.
设点A(a,ka)，可得AD=a，OD=ka，从而得到CD=3a，再由BC⊥AC.可得点B(3a,k3a)，从而得到BC=2k3a，然后根据S梯形OBCD=S△AOD+S四边形AOBC，即可求解．
本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，熟练掌握反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键．
17.【答案】解：(1)如图1，连接OC，AC.
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，
∴CE=DE，AD=AC.
∵DC=AD，
∴DC=AD=AC.
∴△ACD为等边三角形．
∴∠D=∠DCA=∠DAC=60∘.
∴∠DCO=12∠DCA=30∘
∵FG//DA，
∴∠DCF+∠D=180∘.
∴∠DCF=180∘−∠D=120∘.
∴∠OCF=∠DCF−∠DCO=90∘
∴FG⊥OC.
∴FG与⊙O相切
(2)如图2，作EH⊥FG于点H.
∵AF与⊙O相切，
∴AF⊥AG.
又∵DC⊥AG，
∴AF//DC.
又∵FG//DA，
∴四边形AFCD为平行四边形．
∵DC=AD，
∴四边形AFCD为菱形．
∴AF=FC=AD=2，∠AFC=∠D=60∘.
∴CE=DE=1，
由(1)得∠DCG=60∘，
∵EH⊥FG，
∴∠CEH=30∘，
∴CH=12CE=12，
∴EH= 1−122= 32，
∴FH=CH+CF=12+2=52.
∵在Rt△EFH中，∠EHF=90∘，
∴EF= EH2+FH2= ( 32)2+(52)2= 7.
【解析】(1)连接OC，AC.易证△ACD为等边三角形，所以∠D=∠DCA=∠DAC=60∘，从而可知∠DCO=12∠DCA=30∘，由于FG//DA，易知∠OCF=∠DCF−∠DCO=90∘，所以FG与⊙O相切．
(2)作EH⊥FG于点H.易证四边形AFCD为平行四边形．因为DC=AD，所以四边形AFCD为菱形，由(1)得∠DCG=60∘，从而可求出EH、CH的值，从而可知FH的长度，则EF的长可求出．
本题考查圆的综合问题，涉及切线的判定与性质，菱形的判定与性质，等边三角形的性质，考查学生综合运用知识的能力．
18.【答案】解：(1)(x+y)(x−y)−(x−2y)2
=x2−y2−(x2−4xy+4y2)
=x2−y2−x2+4xy−4y2
=4xy−5y2；
(2)3x(x−1)=2(x−1)，
3x(x−1)−2(x−1)=0，
(x−1)(3x−2)=0，
∴x−1=0或3x−2=0，
∴x1=1，x2=23.
【解析】(1)利用平方差公式，完全平方公式，进行计算即可解答；
(2)利用解一元二次方程-因式分解法，进行计算即可解答．
本题考查了整式的混合运算，解一元二次方程，准确熟练地进行计算是解题的关键．
19.【答案】解：(1)根据题意得，x1x2=ca=2m−1，x1+x2=6，
若x1=1，1+x2=6，解得x2=5，
∵5=ca=2m−1，
解得：m=3；
(2)存在；
∵(x1−1)(x2−1)=6m−5，
∴x1x2−(x1+x2)+1=6m−5，
∵x1+x2=6，x1x2=2m−1，
∴2m−1−6+1=6m−5，
整理得：m2−8m+12=0，
解得：m1=2，m2=6，
经检验m1=2，m2=6为原方程的解，
又∵一元二次方程x2−6x+2m−1=0有两个实数根，
∴Δ=(−6)2−4(2m−1)≥0，
解得：m≤5，
∴m=2.
【解析】(1)根据一元二次方程根和系数的关系，得到x1+x2=6，x1x2=2m−1，即可求出x2及m的值；
(2)将x1+x2=6，x1x2=2m−1代入(x1−1)(x2−1)=6m−5，整理得：m2−8m+12=0，求出m的值，然后再舍去不合题意的值即可．
本题考查了一元二次方程根的判别式，根和系数的关系，解分式方程，熟练掌握一元二次方程根和系数的关系：x1+x2=−ba，x1x2=ca是解题关键．
20.【答案】解：(1)①如图，点E即为所求．
②如图，直线EF即为所求．
(2)如图，圆心O即为所求．

【解析】(1)①在AD上取点E，使△BCE为等腰直角三角形即可．
②连接AC，BD，相交于点F，作直线EF即可．
(2)设点A下方圆所经过的格点为点M，连接AM，AB，作线段AM，AB的垂直平分线，交点即为圆心O.
本题考查作图-应用与设计作图、等腰直角三角形、平行四边形的性质、垂径定理，熟练掌握等腰直角三角形、平行四边形的性质、垂径定理是解答本题的关键．
21.【答案】解：(1)∵被抽到的学生中，报名“书法”类的人数有20人，
占整个被抽取到学生总数的10%，
∴在这次调查中，一共抽取了学生为：20÷10%=200(人)；
(2)被抽到的学生中，报名“舞蹈”类的人数为：200×25%=50(人)；
补全条形统计图如下：
被抽到的学生中，报名“声乐”类的人数为70人，
∴扇形统计图中，“声乐”类对应扇形圆心角的度数为：70200×360∘=126∘；
(3)设小提琴、单簧管、钢琴、电子琴四种乐器分别为A、B、C、D，
画树状图如图所示：
共有16个等可能的结果，小东和小颖选中同一种乐器的结果有4个，
∴小东和小颖选中同一种乐器的概率为416=14.
【解析】(1)根据抽取的报名“书法”类的人数有20人，占整个被抽取到学生总数的10%，得出算式即可得出结果；
(2)由抽取的人数乘以报名“舞蹈”类的人数所占的比例得出报名“舞蹈”类的人数；补全条形统计图即可；用360∘乘以“声乐”类的人数所占的比例即可；
(3)设小提琴、单簧管、钢琴、电子琴四种乐器分别为A、B、C、D，画出树状图，即可得出答案．
此题主要考查了列表法与树状图法，以及扇形统计图、条形统计图的应用，要熟练掌握．
22.【答案】(1)横
(2)2x2−4x
(3)画出函数的图象如图：
(4)3
(5)0≤m<2
【解析】解：(1)函数y=2x(|x|−2)的图象与直线y=1的交点的横坐标就是方程2x(|x|−2)=1的实数根．
故答案为：横；
(2)当x>0时，y=2x(|x|−2)=2x(x−2)=2x2−4x，
故答案为：2x2−4x；
(3)见答案
(4)由图象可知，直线y=1与函数图象有3个交点，
所以，2x(|x|−2)=1的实数根有3个，
故答案为：3.
(5)由图象可知：直线y=m在x轴的上方(m≥0)且m<2，与函数y=x(|x|−2)的交点的横坐标x1∴x1+x2+x3≥0，
∴m≥0，
∴关于x的方程x(|x|−2)=m2即2x(|x|−2)=m有三个不相等的实数根，且这三个实数根的和为非负数，则m的取值范围是0≤m<2，
故答案为：0≤m<2.
(1)函数y=2x(|x|−2)的图象与直线y=1的交点的横坐标就是方程2x(|x|−2)=1的实数根．
(2)根据绝对值的性质去掉绝对值整理即可；
(3)通过描点，连线，画出当x>0时的函数图象即可；
(4)根据图象即可求得；
(5)根据图象分析即可求得．
本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，二次函数的图象以及一次函数和二次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键．
23.【答案】解：(1)设购进A款钥匙扣x件，B款钥匙扣y件，
依题意得：x+y=3030x+25y=860，
解得：x=22y=8.
答：购进A款钥匙扣22件，B款钥匙扣8件．
(2)设购进m件A款钥匙扣，则购进(60−m)件B款钥匙扣，
依题意得：30m+25(60−m)≤1700，
解得：m≤40.
设再次购进的A、B两款冰墩墩钥匙扣全部售出后获得的总利润为w元，
则w=(42−30)m+(35−25)(60−m)=2m+600.
∵2>0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m=40时，w取得最大值，最大值=2×40+600=680，此时60−m=60−40=20.
答：当购进40件A款钥匙扣，20件B款钥匙扣时，才能获得最大销售利润，最大销售利润是680元．
(3)设B款钥匙扣的售价定为a元，则每件的销售利润为(a−25)元，平均每天可售出4+2(35−a)=(74−2a)件，
依题意得：(a−25)(74−2a)=54，
整理得：a2−62a+952=0，
解得：a1=28，a2=34.
答：将销售价定为每件28元或34元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为54元．
【解析】(1)设购进A款钥匙扣x件，B款钥匙扣y件，利用总价=单价×数量，结合该文具店第一次用860元购进A、B两款钥匙扣共30件，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设购进m件A款钥匙扣，则购进(60−m)件B款钥匙扣，利用总价=单价×数量，结合总价不超过1700元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，设再次购进的A、B两款冰墩墩钥匙扣全部售出后获得的总利润为w元，利用总利润=每件的销售利润×销售数量，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题；
(3)设B款钥匙扣的售价定为a元，则每件的销售利润为(a−25)元，平均每天可售出(74−2a)件，利用平均每天销售B款钥匙扣获得的总利润=每件的销售利润×平均每天的销售量，即可得出关于a的一元二次方程，解之即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式；(3)找准等量关系，正确列出一元二次方程．
24.【答案】解：(1)抛物线顶点坐标为C(3,6)，
∴可设抛物线解析式为y=a(x−3)2+6，
将B(0,3)代入可得a=−13，
∴y=−13(x−3)2+6=−13x2+2x+3；
(2)连接PO，
由题意，BO=3，AO=3，
设P(n,−13n2+2n+3)，
∴S△ABP=S△BOP+S△AOP−S△ABO，
∵S△BPO=12×3×n=32n，
S△APO=12×3×(−13n2+2n+3)=−12n2+3n+92，
S△ABO=12×3×3=92，
∴S△ABP=S△BOP+S△AOP−S△ABO
=−12n2+92n
=−12(n−92)2+818，
∴当n=92时，S△ABP的最大值为818；
(3)存在，设点D的坐标为(t,−13t2+2t+3)，
过D作对称轴的垂线，垂足为G，
则DG=t−3，CG=6−(−13t2+2t+3)=13t2−2t+3，
∵∠ACD=30∘，
∴2DG=DC，
在Rt△CGD中，
CG= CD2−DG2= 3DG，
∴ 3(t−3)=13t2−2t+3，
∴t=3+3 3或t=3(舍)
∴D(3+3 3,−3)，
∴AG=3，GD=3 3，
连接AD，
在Rt△ADG中，AD= AG2+GD2=6，
∴∠ADG=30∘，
∴AD=AC=6，∠CAD=90∘+30∘=120∘，
∴以A为圆心，AC为半径的圆与y轴的交点为Q点，
此时，∠CQD=12∠CAD=60∘，
设Q(0,m)，AQ为圆A的半径，
则AQ2=OA2+QO2=9+m2，
∵AQ2=AC2，
∴9+m2=36，
∴m=3 3或m=−3 3，
综上所述：Q点坐标为(0,3 3)或(0,−3 3).
【解析】本题考查一次函数与二次函数的综合题，涉及到待定系数法解二次函数解析式，三角形面积，二次函数的最值，勾股定理等知识点，熟练掌握二次函数的图象及性质，能够利用直角三角形和圆的知识综合解题是关键．
(1)由题意可设抛物线解析式为y=a(x−3)2+6，将B(0,3)代入可得a=−13，则可求解析式；
(2)连接PO，设P(n,−13n2+2n+3)，分别求出S△BPO，S△APO，S△ABO，利用S△ABP=S△BOP+S△AOP−S△ABO整理结果，结合二次函数的最值可得结论；
(3)设点D的坐标为(t,−13t2+2t+3)，过D作对称轴的垂线，垂足为G，得出DG，CG，在Rt△CGD中，求出CG= 3DG，即可进一步求出D的坐标，得出AG，GD，连接AD，在Rt△ADG中，AD=AC=6，∠CAD=120∘，以A为圆心，AC为半径的圆与y轴的交点为Q点，此时，∠CQD=12∠CAD=60∘，设Q(0,m)，AQ为圆A的半径，AQ2=OA2+QO2=9+m2=36，求出m，即可求点Q.类别
价格
A款钥匙扣
B款钥匙扣
进货价(元/件)
30
25
销售价(元/件)
42
35