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重庆市开州区2023年九年级下学期期中数学试卷【含答案】
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这是一份重庆市开州区2023年九年级下学期期中数学试卷【含答案】，共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．在，，，这四个数中，属于负整数的是（ ）
A．B．C．D．
2．如图，该下列四个图形中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．估计的运算结果应在下列哪两个数之间（ ）
A．5和6B．6和7C．7和8D．8和9
5．下列命题，为真命题的是 （ ）
A．三个角是直角的四边形是矩形
B．对角线相等的四边形是矩形
C．三条边相等的四边形是菱形
D．对角线互相垂直的四边形是菱形
6．中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，每三人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘.问有多少人，多少辆车？设共有x人，y辆车，可列方程组为（ ）
A．B．
C．D．
7．如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A1B1C1是位似图形.其中BC∶B1C1=1∶2，则△ABC与△A1B1C1的周长之比是（ ）
A．1∶4B．2∶1C．1∶2D．1∶3
8．如图，在中，AB为直径，CD为弦，若，则的度数是（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
9．如图，在正方形ABCD中，将边BC绕点B逆时针旋转至BC'，连接CC'，DC'，若∠CC'D = 90°，BC'=，则线段C'D的长度为（ ）
A．B．C．D．
10．A、B两地相距20 km，甲乙两人沿同一条路线从A地到B地，甲先出发，匀速行驶，甲出发1小时后乙再出发，乙以2 km/h的速度匀速行驶1小时后提高速度并继续匀速行驶，结果比甲提前到达，甲、乙两人离开A地的距离S（km）与时间t（h）的关系如图所示，则下列选项错误的是（ ）
A．乙比甲先到1小时B．甲的速度为4 km/h
C．乙提速后速度为9 km/hD．乙出发两小时后追上甲
11．若a使关于x的不等式组有且只有四个整数解，且使关于y的方程的解为非负数，则符合题意的所有整数α的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
12．定义：如果（，且），那么x叫做以a为底N的对数，记做.例如：因为，所以；因为，所以.下列说法：①；②；③若，则；④；正确的序号有（ ）
A．①③B．②③C．①②③D．②③④
二、填空题
13．计算： .
14．四个完全相同的球上分别标有数字，，，，从这四个球中任意取出一个球记为a，放回后，再取出一个记为b，则点能被5整除的概率为 .
15．如图，在△ABC中，∠C = 90°，点D在边BC上，以OA为半径的经过点D，连接AD，且AD平分∠BAC，若∠BAC = 60°，的半径为2，则阴影部分的面积为 .
16．在新冠肺炎疫情发生后，某企业引进12条A、B、C型生产线生产防护服，A、B、C型生产线每条生产线每分钟的产量之比为4∶2∶1，为了扩大生产，该企业准备增加7条生产线，其中B型生产线增加1条，每条生产线（包括之前的和新增的生产线）每分钟的产量将增加4件.统计发现，增加生产线后，该企业每分钟的总产量恰比增加生产线前多142件，且A型生产线每分钟的产量与三种类型生产线每分钟的总产量之比为2∶5.请问，增加生产线后，该企业A、C型生产线每分钟的产量之比为 .
三、解答题
17．计算
（1）；
（2）.
18．如图，四边形ABCD是菱形.
（1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：作出AB的垂直平分线EF，分别交AB，AC于点E和点F；连接BF.
（2）在（1）问图中，当时，请求出的度数.
解：∵EF垂直平分AB
∴ ▲
∴设
∴
∵
∴ ▲
∴
∵四边形ABCD是菱形
∴，
∴.
在△ABC中，，即：
∴ ▲
∴ ▲ .
19．为培养学生良好的运动习惯和运动能力，我校本学期开展了“趣味运动会”和“冬季长跑”等体育活动.为了解九年级学生的长跑水平，我校对全体九年级同学进行了长跑测试，体育组陈老师随机抽取20名男生和20名女生的测试成绩（满分100）进行整理和分析（成绩共分成五组：A.，B.，C.，D.，E.），绘制了不完整的统计图表：
（1）收集、整理数据
20名男生的长跑成绩分别为：
76，77，95，88，50，89，89，97，99，93，97，89，65，87，68，89，78，88，98，88.
女生长跑成绩在C组和D组的分别为：
73，74，74.74，74，76，
（2）分析数据：两组样本数据的平均数、中位数和众数如表所示：
请根据以上信息，回答下列问题；
（1）①补全频数分布直方图；
②填空： ▲ ， ▲ ；
（2）根据以上数据，你认为九年级学生是男生的长跑的成绩更好还是女生的长跑成绩更好？判断并说明理由（一条理由即可）；
（3）如果我校九年级有男生900名，女生600名，请估计九年级长跑成绩不低于80分的学生人数.
20．一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，两点.
（1）分别求出一次函数和反比例函数的解析式，并在给出的平面直角坐标系中，直接画出一次函数和反比例函数的图象；
（2）连接AO并延长交双曲线于点C，连接BC，求△ABC的面积；
（3）直接写出当时，x的取值范围.
21．如图，建筑物后有一座小山，，测得小山坡脚C点与建筑物水平距离米，若山坡上E点处有一凉亭，且凉亭与坡脚距离米，某人从建筑物顶端A点测得E点处的俯角为.
（1）求凉亭到地面的距离；
（2）求建筑物的高.（精确到）
（参考数据：，，，，，，）
22．冰墩墩和雪容融是北京奥运会和冬残奥会吉祥物，冰墩墩是一只熊猫，它的外表给人一种朴实的感觉，雪容融是一个灯笼，它的外表总能给人温暖.钥匙扣，手办两用冰墩墩和雪容融立体挂件在奥林匹克官方旗舰店销售异常火爆.
（1）开售第一天，旗舰店共花费84000元从授权生产厂家购进两种挂件各1000件，其中1件雪容融挂件成本比1件冰墩墩挂件成本少6元，则1件雪容融挂件成本和1件冰墩墩挂件成本分别是多少元？
（2）开售第一天，冰墩墩和雪容融挂件很快售罄，售价分别为65元和55元.第二天，旗舰店又以第一天的成本价从授权生产厂家购进一批两种挂件，其中冰墩墩挂件售价提高了0.05a元，销售比第一天减少了2a件，而雪容融挂件售价不变，销量比第一天增加了0.125a件，最终旗舰店第二天销售两种挂件共获利36000元，求a的值.
23．若一个四位正整数m满足前两个数字组成的两位数是后两个数字组成的两位数的2倍，则把这个四位数m称为“Duble数”.
例如：2010的前两个数字组成的两位数是：20，后两个数字组成的两位数是：10，
∵，∴2010是“Duble数”；
9246的前两个数字组成的两位数是：92，后两个数字组成的两位数是：46，
∵，∴9246是“Duble数”；
7525的前两个数字组成的两位数是：75，后两个数字组成的两位数是：25，
∵，∴7525不是“Duble数”.
（1）判断7035，3814是否是“Duble数”？并说明理由；
（2）记一个“Duble数”m各个数位数字之和为，令.当能被8整除时，求出所有符合条件的“Duble数”m.
24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，直线与抛物线交于C、D两点，与坐标轴交于E、F两点. 点P是抛物线在第四象限内图象上的一个动点.过点P作PG⊥CD，垂足为G，PQ∥y轴，交x轴于点Q.
（1）求抛物线的解析式；
（2）当取得最大值时，求点P的坐标和的最大值；
（3）将抛物线向右平移个单位得到新抛物线，M为新抛物线对称轴上的一点，点N是平面内一点.当（2）中最大时，直接写出所有使得以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形的点N的坐标.
25．在△ABC中，AB = AC，∠ABC = 30°，△BDE是等边三角形，连接CD、AE.
（1）如图1，当A、B、D三点在同一直线上时，AE、BC交于点P，且AE⊥AC.若PC = 4，求PE的长；
（2）如图2，当B、E、C三点在同一直线上时，F是CD中点，连接AF、EF，求证：AE = 2AF ；
（3）如图3，在（2）的条件下，AB=8，E在直线BC上运动，将△AEF沿EF翻折得到△MEF，连接DM，G是AB上一点，且BG=AB，O是直线BC上的另一个动点，连接OG，将△BOG沿OG翻折得到△HOG，连接HM，当HM最小时，直接写出此时点D到直线EM的距离.
1．A
2．C
3．B
4．B
5．A
6．C
7．C
8．D
9．B
10．D
11．C
12．D
13．
14．
15．
16．14∶15
17．（1）解：原式
；
（2）解：原式
.
18．（1）解：如图，直线EF即为所求作：
；
（2）解：∵EF垂直平分AB，
∴AF=FB，∴设∠CAB=∠ABF=x，
∴∠CFB=∠CAB+∠ABF=2x，
∵CF=CB，
∴∠CBF=∠CFB=2x，
∴∠ABC=∠ABF+∠FBC=3x，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，∠ADC=∠ABC，
∴∠ACB=∠CAB=x.
在△ABC中，∠CAB+∠ABC+∠BCA=180°，即：x+3x+x=180°，
∴x=36 ，
∴∠ADC=3x=108°.
故答案为：FB；∠CBF；36°；108°.
19．（1）解：①20-1-2-3-6=8，补全图形：
②a=79.5，b=89
（2）解：男生的成绩更好些.
从平均数、中位数、众数来看，男生的成绩均高于女生，故男生成绩更好些
（3）解：（人），
∴九年级长跑成绩不低于80分的学生有930人.
20．（1）解：把代入
得
∴反比例函数的解析式为.
当x=1时，；
∴
把，代入得
解得
∴一次函数的解析式为
图象如图所示，
（2）解：如图，设交轴于点，连接
关于原点对称，
设直线的解析式为
则
解得
直线的解析式为
令，则
轴
（3）解：根据函数图象可知，当时，
21．（1）解：如图，过点作于点，
在中，米，
米，
答：凉亭到地面的距离为10米；
（2）解：如图，过点作于点，
则四边形是矩形，
米，，
在中，（米），
由题意得：米，，
米，
在中，（米），
则（米），
答：建筑物的高约为米.
22．（1）解：设1件雪容融挂件成本为x元，则1件冰墩墩挂件成本为 （x+6）元，
由题意得：1000x+1000（x+6）=84000，
解得：x=39，
x+6=45，
答：1件雪容融挂件成本为39元，则1件冰墩墩挂件成本为45元；
（2）解：由题意知：第一天，1件雪容融挂件售价为55元，成本为39元，共售出1000件；
第二天，1件雪容融挂件售价为55元，成本为39元，共售出（1000+0.125a）件；
所以，第二天通过雪容融挂件获利：（1000+0.125a）（55-39）=16（1000+0.125a）=16000+2a；
第一天，1件冰墩墩挂件售价为65元，成本为45元，共售出1000件；
第二天，1件冰墩墩挂件售价为（65+0.05a）元，成本为45元，共售出（1000-2a）件；
所以，第二天通过冰墩墩挂件获利：（1000-2a）（65+0.05a-45）=20000+10a-0.1a2；
∵两件挂件共获利36000元，
∴16000+2a+20000+10a-0.1a2=36000，
整理得：a（a-120）=0，
解得a=120或a=0（舍去） ，
故a的值为120.
23．（1）解：由题意可知：
7035的前两个数字组成的两位数是：70，后两个数字组成的两位数是：35，
∵，∴7035是“Duble数”；
3814的前两个数字组成的两位数是：38，后两个数字组成的两位数是：14，
∵，∴3814不是“Duble数”；
（2）解：设“Duble数”m的个位，十位，百位，千位分别为a、b、c、d，由“Duble数”定义可知a、b、c、d均为0到9，且b、d不为0，
∴，，
∴，
若能被8整除，则，利用排除法可知符合条件的“Duble数”有：3618、4623、7437、8442.
24．（1）解：∵抛物线经过点和点
∴ 解得
∴抛物线的解析式为
（2）解：如图，延长PQ直线CD于点H
∵ 直线坐标轴交于E、F两点
∴，
∴△EOF是等腰直角三角形
∵PG⊥CD，PQ∥y轴
∴△PGH是等腰直角三角形
∴
设，则
∴
∴当时，有最大值，最大值为，此时点P的坐标为
（3）解：平移后抛物线的解析式为：
设，，
∴，，
当时，解得，由中点坐标公式得
当时，无解
当时，解得，由中点坐标公式得或
综上所述满足条件的点N的坐标为或或.
25．（1）解：∵AB=AC，∠ABC=30°
∴∠ACP=30°
∵AE⊥AC
∴∠PAC=90°
∴AP=PC=2
∵∠APC=∠ABC+∠BAE=60°
∴∠ABC=∠BAE=30°
∴BP=AP=2
∵∠ABE=60°
∴∠PBE=30°，∠PEB=90°
∴PE=BP=1
（2）证明：延长CA至点P，使AP=CA，连接PD、PB ，
∵AP=AC，DF=CF
∴AF是△PCD的中位线
∴PD=2AF
∵∠BAC=120°
∴∠PAB=60°
∵AB=AC=AP
∴△PAB是等边三角形
∵∠PBD+∠ABD=60°，∠ABE+∠ABD=60°
∴∠PBD=∠ABE
在△PBD和△ABE中
∴△PBD≌△ABE
∴AE=PD=2AF
（3）解：如图，取的中点，连接，
，
取的中点，则
是等边三角形，
，
将△AEF沿EF翻折得到△MEF，
则关于对称，三点共线
是等边三角形
如图，连接，过作，记
分别为的中点
M轨迹为AC中垂线，
是的垂直平分线，
是等边三角形
BG=AB，
O是直线BC上的另一个动点，连接OG，将△BOG沿OG翻折得到△HOG，
的轨迹为以为圆心为半径的圆
当HM最小时，，且三点共线，如图，
过点作，过点作交的延长线于点，
，
设到的距离为，则
，
长跑成绩
平均数
中位数
众数
男生
85
88.5
b
女生
81.8
a
74
1．在，，，这四个数中，属于负整数的是（ ）
A．B．C．D．
2．如图，该下列四个图形中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．估计的运算结果应在下列哪两个数之间（ ）
A．5和6B．6和7C．7和8D．8和9
5．下列命题，为真命题的是 （ ）
A．三个角是直角的四边形是矩形
B．对角线相等的四边形是矩形
C．三条边相等的四边形是菱形
D．对角线互相垂直的四边形是菱形
6．中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，每三人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘.问有多少人，多少辆车？设共有x人，y辆车，可列方程组为（ ）
A．B．
C．D．
7．如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A1B1C1是位似图形.其中BC∶B1C1=1∶2，则△ABC与△A1B1C1的周长之比是（ ）
A．1∶4B．2∶1C．1∶2D．1∶3
8．如图，在中，AB为直径，CD为弦，若，则的度数是（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
9．如图，在正方形ABCD中，将边BC绕点B逆时针旋转至BC'，连接CC'，DC'，若∠CC'D = 90°，BC'=，则线段C'D的长度为（ ）
A．B．C．D．
10．A、B两地相距20 km，甲乙两人沿同一条路线从A地到B地，甲先出发，匀速行驶，甲出发1小时后乙再出发，乙以2 km/h的速度匀速行驶1小时后提高速度并继续匀速行驶，结果比甲提前到达，甲、乙两人离开A地的距离S（km）与时间t（h）的关系如图所示，则下列选项错误的是（ ）
A．乙比甲先到1小时B．甲的速度为4 km/h
C．乙提速后速度为9 km/hD．乙出发两小时后追上甲
11．若a使关于x的不等式组有且只有四个整数解，且使关于y的方程的解为非负数，则符合题意的所有整数α的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
12．定义：如果（，且），那么x叫做以a为底N的对数，记做.例如：因为，所以；因为，所以.下列说法：①；②；③若，则；④；正确的序号有（ ）
A．①③B．②③C．①②③D．②③④
二、填空题
13．计算： .
14．四个完全相同的球上分别标有数字，，，，从这四个球中任意取出一个球记为a，放回后，再取出一个记为b，则点能被5整除的概率为 .
15．如图，在△ABC中，∠C = 90°，点D在边BC上，以OA为半径的经过点D，连接AD，且AD平分∠BAC，若∠BAC = 60°，的半径为2，则阴影部分的面积为 .
16．在新冠肺炎疫情发生后，某企业引进12条A、B、C型生产线生产防护服，A、B、C型生产线每条生产线每分钟的产量之比为4∶2∶1，为了扩大生产，该企业准备增加7条生产线，其中B型生产线增加1条，每条生产线（包括之前的和新增的生产线）每分钟的产量将增加4件.统计发现，增加生产线后，该企业每分钟的总产量恰比增加生产线前多142件，且A型生产线每分钟的产量与三种类型生产线每分钟的总产量之比为2∶5.请问，增加生产线后，该企业A、C型生产线每分钟的产量之比为 .
三、解答题
17．计算
（1）；
（2）.
18．如图，四边形ABCD是菱形.
（1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：作出AB的垂直平分线EF，分别交AB，AC于点E和点F；连接BF.
（2）在（1）问图中，当时，请求出的度数.
解：∵EF垂直平分AB
∴ ▲
∴设
∴
∵
∴ ▲
∴
∵四边形ABCD是菱形
∴，
∴.
在△ABC中，，即：
∴ ▲
∴ ▲ .
19．为培养学生良好的运动习惯和运动能力，我校本学期开展了“趣味运动会”和“冬季长跑”等体育活动.为了解九年级学生的长跑水平，我校对全体九年级同学进行了长跑测试，体育组陈老师随机抽取20名男生和20名女生的测试成绩（满分100）进行整理和分析（成绩共分成五组：A.，B.，C.，D.，E.），绘制了不完整的统计图表：
（1）收集、整理数据
20名男生的长跑成绩分别为：
76，77，95，88，50，89，89，97，99，93，97，89，65，87，68，89，78，88，98，88.
女生长跑成绩在C组和D组的分别为：
73，74，74.74，74，76，
（2）分析数据：两组样本数据的平均数、中位数和众数如表所示：
请根据以上信息，回答下列问题；
（1）①补全频数分布直方图；
②填空： ▲ ， ▲ ；
（2）根据以上数据，你认为九年级学生是男生的长跑的成绩更好还是女生的长跑成绩更好？判断并说明理由（一条理由即可）；
（3）如果我校九年级有男生900名，女生600名，请估计九年级长跑成绩不低于80分的学生人数.
20．一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，两点.
（1）分别求出一次函数和反比例函数的解析式，并在给出的平面直角坐标系中，直接画出一次函数和反比例函数的图象；
（2）连接AO并延长交双曲线于点C，连接BC，求△ABC的面积；
（3）直接写出当时，x的取值范围.
21．如图，建筑物后有一座小山，，测得小山坡脚C点与建筑物水平距离米，若山坡上E点处有一凉亭，且凉亭与坡脚距离米，某人从建筑物顶端A点测得E点处的俯角为.
（1）求凉亭到地面的距离；
（2）求建筑物的高.（精确到）
（参考数据：，，，，，，）
22．冰墩墩和雪容融是北京奥运会和冬残奥会吉祥物，冰墩墩是一只熊猫，它的外表给人一种朴实的感觉，雪容融是一个灯笼，它的外表总能给人温暖.钥匙扣，手办两用冰墩墩和雪容融立体挂件在奥林匹克官方旗舰店销售异常火爆.
（1）开售第一天，旗舰店共花费84000元从授权生产厂家购进两种挂件各1000件，其中1件雪容融挂件成本比1件冰墩墩挂件成本少6元，则1件雪容融挂件成本和1件冰墩墩挂件成本分别是多少元？
（2）开售第一天，冰墩墩和雪容融挂件很快售罄，售价分别为65元和55元.第二天，旗舰店又以第一天的成本价从授权生产厂家购进一批两种挂件，其中冰墩墩挂件售价提高了0.05a元，销售比第一天减少了2a件，而雪容融挂件售价不变，销量比第一天增加了0.125a件，最终旗舰店第二天销售两种挂件共获利36000元，求a的值.
23．若一个四位正整数m满足前两个数字组成的两位数是后两个数字组成的两位数的2倍，则把这个四位数m称为“Duble数”.
例如：2010的前两个数字组成的两位数是：20，后两个数字组成的两位数是：10，
∵，∴2010是“Duble数”；
9246的前两个数字组成的两位数是：92，后两个数字组成的两位数是：46，
∵，∴9246是“Duble数”；
7525的前两个数字组成的两位数是：75，后两个数字组成的两位数是：25，
∵，∴7525不是“Duble数”.
（1）判断7035，3814是否是“Duble数”？并说明理由；
（2）记一个“Duble数”m各个数位数字之和为，令.当能被8整除时，求出所有符合条件的“Duble数”m.
24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，直线与抛物线交于C、D两点，与坐标轴交于E、F两点. 点P是抛物线在第四象限内图象上的一个动点.过点P作PG⊥CD，垂足为G，PQ∥y轴，交x轴于点Q.
（1）求抛物线的解析式；
（2）当取得最大值时，求点P的坐标和的最大值；
（3）将抛物线向右平移个单位得到新抛物线，M为新抛物线对称轴上的一点，点N是平面内一点.当（2）中最大时，直接写出所有使得以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形的点N的坐标.
25．在△ABC中，AB = AC，∠ABC = 30°，△BDE是等边三角形，连接CD、AE.
（1）如图1，当A、B、D三点在同一直线上时，AE、BC交于点P，且AE⊥AC.若PC = 4，求PE的长；
（2）如图2，当B、E、C三点在同一直线上时，F是CD中点，连接AF、EF，求证：AE = 2AF ；
（3）如图3，在（2）的条件下，AB=8，E在直线BC上运动，将△AEF沿EF翻折得到△MEF，连接DM，G是AB上一点，且BG=AB，O是直线BC上的另一个动点，连接OG，将△BOG沿OG翻折得到△HOG，连接HM，当HM最小时，直接写出此时点D到直线EM的距离.
1．A
2．C
3．B
4．B
5．A
6．C
7．C
8．D
9．B
10．D
11．C
12．D
13．
14．
15．
16．14∶15
17．（1）解：原式
；
（2）解：原式
.
18．（1）解：如图，直线EF即为所求作：
；
（2）解：∵EF垂直平分AB，
∴AF=FB，∴设∠CAB=∠ABF=x，
∴∠CFB=∠CAB+∠ABF=2x，
∵CF=CB，
∴∠CBF=∠CFB=2x，
∴∠ABC=∠ABF+∠FBC=3x，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，∠ADC=∠ABC，
∴∠ACB=∠CAB=x.
在△ABC中，∠CAB+∠ABC+∠BCA=180°，即：x+3x+x=180°，
∴x=36 ，
∴∠ADC=3x=108°.
故答案为：FB；∠CBF；36°；108°.
19．（1）解：①20-1-2-3-6=8，补全图形：
②a=79.5，b=89
（2）解：男生的成绩更好些.
从平均数、中位数、众数来看，男生的成绩均高于女生，故男生成绩更好些
（3）解：（人），
∴九年级长跑成绩不低于80分的学生有930人.
20．（1）解：把代入
得
∴反比例函数的解析式为.
当x=1时，；
∴
把，代入得
解得
∴一次函数的解析式为
图象如图所示，
（2）解：如图，设交轴于点，连接
关于原点对称，
设直线的解析式为
则
解得
直线的解析式为
令，则
轴
（3）解：根据函数图象可知，当时，
21．（1）解：如图，过点作于点，
在中，米，
米，
答：凉亭到地面的距离为10米；
（2）解：如图，过点作于点，
则四边形是矩形，
米，，
在中，（米），
由题意得：米，，
米，
在中，（米），
则（米），
答：建筑物的高约为米.
22．（1）解：设1件雪容融挂件成本为x元，则1件冰墩墩挂件成本为 （x+6）元，
由题意得：1000x+1000（x+6）=84000，
解得：x=39，
x+6=45，
答：1件雪容融挂件成本为39元，则1件冰墩墩挂件成本为45元；
（2）解：由题意知：第一天，1件雪容融挂件售价为55元，成本为39元，共售出1000件；
第二天，1件雪容融挂件售价为55元，成本为39元，共售出（1000+0.125a）件；
所以，第二天通过雪容融挂件获利：（1000+0.125a）（55-39）=16（1000+0.125a）=16000+2a；
第一天，1件冰墩墩挂件售价为65元，成本为45元，共售出1000件；
第二天，1件冰墩墩挂件售价为（65+0.05a）元，成本为45元，共售出（1000-2a）件；
所以，第二天通过冰墩墩挂件获利：（1000-2a）（65+0.05a-45）=20000+10a-0.1a2；
∵两件挂件共获利36000元，
∴16000+2a+20000+10a-0.1a2=36000，
整理得：a（a-120）=0，
解得a=120或a=0（舍去） ，
故a的值为120.
23．（1）解：由题意可知：
7035的前两个数字组成的两位数是：70，后两个数字组成的两位数是：35，
∵，∴7035是“Duble数”；
3814的前两个数字组成的两位数是：38，后两个数字组成的两位数是：14，
∵，∴3814不是“Duble数”；
（2）解：设“Duble数”m的个位，十位，百位，千位分别为a、b、c、d，由“Duble数”定义可知a、b、c、d均为0到9，且b、d不为0，
∴，，
∴，
若能被8整除，则，利用排除法可知符合条件的“Duble数”有：3618、4623、7437、8442.
24．（1）解：∵抛物线经过点和点
∴ 解得
∴抛物线的解析式为
（2）解：如图，延长PQ直线CD于点H
∵ 直线坐标轴交于E、F两点
∴，
∴△EOF是等腰直角三角形
∵PG⊥CD，PQ∥y轴
∴△PGH是等腰直角三角形
∴
设，则
∴
∴当时，有最大值，最大值为，此时点P的坐标为
（3）解：平移后抛物线的解析式为：
设，，
∴，，
当时，解得，由中点坐标公式得
当时，无解
当时，解得，由中点坐标公式得或
综上所述满足条件的点N的坐标为或或.
25．（1）解：∵AB=AC，∠ABC=30°
∴∠ACP=30°
∵AE⊥AC
∴∠PAC=90°
∴AP=PC=2
∵∠APC=∠ABC+∠BAE=60°
∴∠ABC=∠BAE=30°
∴BP=AP=2
∵∠ABE=60°
∴∠PBE=30°，∠PEB=90°
∴PE=BP=1
（2）证明：延长CA至点P，使AP=CA，连接PD、PB ，
∵AP=AC，DF=CF
∴AF是△PCD的中位线
∴PD=2AF
∵∠BAC=120°
∴∠PAB=60°
∵AB=AC=AP
∴△PAB是等边三角形
∵∠PBD+∠ABD=60°，∠ABE+∠ABD=60°
∴∠PBD=∠ABE
在△PBD和△ABE中
∴△PBD≌△ABE
∴AE=PD=2AF
（3）解：如图，取的中点，连接，
，
取的中点，则
是等边三角形，
，
将△AEF沿EF翻折得到△MEF，
则关于对称，三点共线
是等边三角形
如图，连接，过作，记
分别为的中点
M轨迹为AC中垂线，
是的垂直平分线，
是等边三角形
BG=AB，
O是直线BC上的另一个动点，连接OG，将△BOG沿OG翻折得到△HOG，
的轨迹为以为圆心为半径的圆
当HM最小时，，且三点共线，如图，
过点作，过点作交的延长线于点，
，
设到的距离为，则
，
长跑成绩
平均数
中位数
众数
男生
85
88.5
b
女生
81.8
a
74
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