第十八章 平行四边形 单元自测题 人教版八年级数学下册
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人教版八年级数学下册 第十八章 平行四边形 单元自测题一、单选题1．如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，下列结论中，不正确的是（ ）A．当AB⊥AD时，四边形ABCD是矩形B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形C．当OA=OB时，四边形ABCD是矩形D．当AB=AC时，四边形ABCD是菱形2．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，E是AB的中点，连接，若cm，则的长为（ ）A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm3．直角三角形的斜边上的中线长为4，则它的斜边长为( )A．16 B．8 C．4 D．24．下列命题是真命题的是（ ）A．对边相等的四边形是平行四边形B．有一个角是90°的平行四边形是矩形C．邻边相等的四边形是菱形D．对角线互相垂直的平行四边形为正方形5．菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）A．对角线相等 B．对角线互相垂直C．对角相等 D．对边平行6．下列语句正确的是（ ）A．对角线互相垂直的的四边形是菱形B．有两边及一角对应相等的两个三角形全等C．矩形的对角线相等D．平行四边形是轴对称图形7．矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）A．对角线互相平分 B．对角线相等C．邻边相等 D．对角线互相垂直8．如图，在正方形中，，E，F分别为边的中点，连接，点G，H分别为的中点，连接，则的长为（ ）A． B．1 C． D．29．如图，正方形的边长为8，在各边上顺次截取，则四边形的面积是（ ）A．34 B．36 C．40 D．10010．正方形具有而菱形不一定有的性质是（ ）A．对角线互相垂直 B．对角线相等C．对角相等 D．邻边相等二、填空题11．平行四边形的对角线与相交于点，若要使平行四边形成为矩形，则需要添加的一个条件是 ．（只写出一种情况即可）12．如图所示，将两个边长为2的正方形沿虚线剪开（如图甲），拼接成一个大的正方形（如图乙），则图乙中大正方形的边长为 ．13．如图所示，四边形ABCD中，AC⊥BD于点O，AO＝CO＝4，BO＝DO＝3，点P为线段AC上的一个动点.过点P分别作PM⊥AD于点M，作PN⊥DC于点N.连接PB，在点P运动过程中，PM+PN+PB的最小值等于 .14．如图，四边形中，，E，F，G分别是AB，DC，AC的中点．若，，则的度数为 ．三、计算题15． （1）计算：（2）已知，如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C，AB//DC．求证：四边形ABCD是平行四边形．16．如图，四边形 是平行四边形， 且分别交对角线 于点E，F．（1）求证： ；（2）当四边形 分别是矩形和菱形时，请分别说出四边形 的形状．（无需说明理由）四、解答题17．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC＋BD＝36，AB＝11，求△OCD的周长．18．如图，过的顶点A分别作及其外角的平分线的垂线，垂足分别为E、F，求证：四边形是矩形；19．如图，菱形中，交于点E，交于点F．求证：．20．如图，在矩形中，对角线相交于点O，，交于F，垂足为E，求的度数．五、综合题21．如图，在四边形中，，对角线的垂直平分线与边、分别相交于点M、N，连接、.（1）求证：四边形是菱形；（2）若四边形的周长为52，，求的长.22．如图，在矩形中，对角线相交于点O.（1）若，求证：矩形是正方形；（2）请添加一个异于（1）的条件，使矩形成为正方形，不用说明理由.23．如图，在中，相交于点O，E，F分别是的中点．（1）求证：；（2）连接，已知 （从以下两个条件中任选一个作为已知，填写序号），请判断四边形的形状，并证明你的结论．条件①：；条件②：．（注：如果选择条件①条件②分别进行解容，按第一个解答计分）
答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：A、当AB⊥AD时，∠BAD=90°，根据有一个角是90°的平行四边形是矩形可得四边形ABCD是矩形，故此选项正确，不符合题意；
B、当AC⊥BD时，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得四边形ABCD是菱形，故此选项正确，不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，BO=DO，
当OA=OB时，可得AO=CO=BO=DO，即AC=BD，
根据对角线相等的平行四边形是矩形可得四边形ABCD是矩形，故此选项正确，不符合题意；
D、当AB=AC时，不能判定平行四边形是矩形，故此选项错误，符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可判断A选项；根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可判断B选项，根据对角线相等的平行四边形是矩形可判断C选项，一条对角线与一边相等的平行四边形不能判断是菱形，据此可判断D选项.2．【答案】B【解析】【解答】解：在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∴点O为BD的中点，∵E是AB的中点，cm，∴AD=2OE=6cm.故答案为：B.【分析】根据平行四边形的对角线互相平分得点O为BD的中点，进而根据三角形的中位线等于第三边的一半可得AD的长.3．【答案】B【解析】【解答】解：∵直角三角形中，斜边上的中线长是4，
∴该直角三角形的斜边长为4×2=8.
故答案为：B.
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出即可．4．【答案】B【解析】【解答】解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故原命题是假命题，此选项不符合题意；
B、 有一个角是90°的平行四边形是矩形 ，故原命题是真命题，此选项符合题意；
C、 邻边相等的平行四边形是菱形 ，故原命题是假命题，此选项不符合题意；
D、 对角线互相垂直的平行四边形为菱形， 故原命题是假命题，此选项不符合题意.故答案为：B.【分析】分别根据平行四边形、矩形、菱形的判定方法一一判断即可.5．【答案】B【解析】【解答】矩形的对角线相等，菱形的对角线不一定相等，故A不符合题意；矩形的对角线互相不垂直，菱形的对角线互相垂直，故B符合题意；因为矩形与菱形都是特殊的平行四边形，所以矩形与菱形的对角都相等，故C不符合题意；因为矩形与菱形都是特殊的平行四边形，所以矩形与菱形的对边都平行，故D不符合题意；故答案为：B．
【分析】菱形和矩形具有平行四边形的一切性质，菱形特有：四条边都相等，对角线互相垂直且平分一组对角，矩形特有：四个角都是直角，对角线相等，据此逐一判断即可.6．【答案】C【解析】【解答】解：对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故A选项错误；两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，故B选项错误；矩形的对角线相等是正确的，故C选项正确；平行四边形是中心对称图形，故D选项错误.故答案为：C.【分析】根据菱形的判定可知，对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，据此判断A；根据全等三角形的判定方法可知，两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，据此判断B；根据矩形的性质可知，矩形的对角线相等，据此判断C；根据平行四边形的性质可知，平行四边形是中心对称图形，据此判断D.7．【答案】B【解析】【解答】解：A、矩形和菱形的对角线都互相平分，故A不符合题意；B、矩形的对角线相等，菱形的对角线不一定相等，故B符合题意；C、矩形的邻边不一定相等，菱形的邻边相等，故C不符合题意；D、矩形的对角线不一定互相垂直，菱形的对角线互相垂直，故D不符合题意；故答案为：B．
【分析】根据矩形和菱形的性质逐项判断即可。8．【答案】C【解析】【解答】解：连接AG，延长AG交CD于M，连接FM，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD＝BC＝AD＝4，ABCD，∠C＝90°，∴∠AEG＝∠GDM，∠EAG＝∠DMG，∵G为DE的中点，∴GE＝GD，∴△AEG≌△MDG（AAS），∴AG＝MG，AE＝DM＝AB＝CD，∴CM＝CD＝2，∵点H为AF的中点，∴GH＝FM，∵F为BC的中点，∴CF＝BC＝2，∴FM＝，∴GH＝FM＝，故答案为：C.【分析】连接AG，延长AG交CD于M，连接FM，根据正方形的性质可得AB＝CD＝BC＝AD＝4，AB∥CD，∠C＝90°，由平行线的性质可得∠AEG＝∠GDM，∠EAG＝∠DMG，根据中点的概念可得GE＝GD，利用AAS证明△AEG≌△MDG，得到AG＝MG，AE＝DM＝AB＝CD，由中点的概念可得GH、CF的值，根据勾股定理求出FM，据此求解.9．【答案】C【解析】【解答】解：∵正方形的边长为8，在各边上顺次截取，∴，∴四边形的面积为：；故答案为：C.【分析】根据正方形的性质结合题意可得BE=AH=DG=CF=2，然后根据S四边形EFGH=S正方形ABCD-4S△AEH进行计算.10．【答案】B【解析】【解答】解：正方形具有而菱形不一定有的性质是：对角线相等.故答案为：B.【分析】正方形的性质：两组对边分别平行；四条边都相等；邻边互相垂直；四个角全是90°；对角线互相垂直；对角线相等且互相平分；每条对角线平分一组对角；
菱形的性质：四条边都相等；两组对边分别平行；菱形的对角线互相垂直平分且平分每一组对角.11．【答案】AC=BD（答案不唯一）【解析】【解答】解：添加，理由如下：∵四边形是平行四边形，AC=BD，∴四边形是矩形．故答案为：AC=BD（答案不唯一）.
【分析】对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，据此添加即可（答案不唯一）.12．【答案】【解析】【解答】解：由题意大正方形的面积为，∴大正方形的边长为．故答案为：．【分析】先求出大正方形的面积，再利用正方形的性质求出边长即可。13．【答案】7.8【解析】【解答】解：∵AO＝CO＝4，BO＝DO＝3，∴AC＝8，四边形ABCD是平行四边形，∵AC⊥BD于点O，∴平行四边形ABCD是菱形，AD＝＝＝5，∴CD＝AD＝5，连接PD，如图所示：∵S△ADP+S△CDP＝S△ADC，∴AD•PM+DC•PN＝AC•OD，即×5×PM+×5×PN＝×8×3，∴5×（PM+PN）＝8×3，∴PM+PN＝4.8，∴当PB最短时，PM+PN+PB有最小值，由垂线段最短可知：当BP⊥AC时，PB最短，∴当点P与点O重合时，PM+PN+PB有最小值，最小值＝4.8+3＝7.8.故答案为：7.8.【分析】由题意可得AC＝8，四边形ABCD是菱形，根据勾股定理可得AD的值，连接PD，根据S△ADP+S△CDP＝S△ADC结合三角形的面积公式可得PM+PN＝4.8，由垂线段最短可知：当BP⊥AC时，PB最短，据此解答.14．【答案】21°【解析】【解答】解：∵F、G分别是、的中点， ∴，，∴，∵E、G分别是、的中点，∴，，∴，∴，∴，∵，∴，∴；故答案为：．
【分析】根据三角形中位线的性质可得，，，，求出，，再利用角的运算求出，最后利用三角形的内角和求出即可。15．【答案】（1）解：=2-4=-2；（2）证明：∵ABDC，∴∠A+∠D=180°，∠B+∠C=180°，∵∠A=∠C，∴∠B=∠D，∴四边形ABCD是平行四边形．【解析】【分析】（1）利用二次根式的混合运算的计算方法求解即可；
（2）利用两组对角分别相等的四边形是平行四边形的判定方法求解即可。16．【答案】（1）证明：∵∴∴∵四边形 是平行四边形∴ ， ，∴在△ABE和△CDF中 ，∴ ．（2）四边形BEDF是平行四边形与菱形 【解析】【解答】解：（2）如图，当四边形ABCD为矩形时，连接DE、BF，同（1）可知 ，∴BE=DF，∵BE//DF，∴四边形BEDF是平行四边形．如图，当四边形ABCD是菱形时，连接DE、BF，同理可知四边形BEDF是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，∠BAE=∠DAE，在△ABE和△ADE中， ，∴△ABE≌△ADE，∴BE=DE，∴四边形BEDF是菱形．综上所述：当四边形 分别是矩形和菱形时，四边形 分别是平行四边形与菱形．【分析】（1）先求出 ，再求出 ，最后证明三角形全等即可；
（2）先求出四边形BEDF是平行四边形，再求出△ABE≌△ADE，最后求解即可。17．【答案】解：∵ABCD是平行四边形，∴AB＝CD＝11，，，∵AC＋BD＝36，∴，∴△OCD的周长＝OC＋OD＋CD＝18＋11＝29．【解析】【分析】根据平行四边形的性质可得，再利用三角形的周长公式计算即可。18．【答案】证明：∵平分，平分，∴，，∵，∴，即，又∵，，∴，∴四边形是矩形.【解析】【分析】根据角平分线的概念可得∠ACE=∠BCE=∠ACB，∠ACF=∠ACD，由邻补角的性质可得∠ACB+∠ACD=180°，推出∠ECF=90°，根据垂直的概念可得∠AEC=∠AFC=90°，然后根据矩形的判定定理进行证明.19．【答案】证明：∵四边形是菱形，∴，，∵，，∴，∴，∴，∴，即．【解析】【分析】先利用“AAS”证明，可得，再利用线段的和差求出即可。20．【答案】解：∵四边形是矩形，∴，，，，∵，∴．∵，∴．∴．∵，，，∴，∴，∴．【解析】【分析】先根据求出，利用角的运算求出，再结合，可得，最后利用角的运算求出即可。21．【答案】（1）证明：∵，∴.∵直线是对角线的垂直平分线，∴，.在和中，，∴，∴，∵，∴四边形是平行四边形，∵，∴四边形是菱形；（2）解：∵菱形的周长为52，∴，又∵，∴在中，由勾股定理得，∴，∴.【解析】【分析】（1）根据平行线的性质可得∠DMO=∠BNO，由垂直平分线的性质可得OB=OD，MN⊥
BD，利用AAS证明△MOD≌△NOB，得到OM=ON，然后根据菱形的判定定理进行证明；
（2）根据菱形的性质可得BN=ND=DM=MB=13，由MN=10可得OM=ON=5，利用勾股定理可得OB的值，然后由BD=2OB就可求出BD.22．【答案】（1）证明：∵四边形是矩形，∴，∵，∴，∴，∴矩形是正方形（2）解：添加的条件可以是.理由如下：∵四边形是矩形，，∴矩形是正方形【解析】【分析】（1）根据矩形的性质可得∠ABC=90°，则∠ACB=90°-∠OAB=45°，推出∠ACB=∠CAB，则AB=BC，然后根据正方形的判定定理进行证明；
（2）根据正方形的判定定理进行解答.23．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，∵E，F分别是的中点，∴，∵，∴，∴；（2）解：由（1）得：，，∴四边形是平行四边形，选条件①：四边形是矩形，理由如下：∵， ，∴，即，∵，∴，∵四边形是平行四边形，∴四边形是矩形；选条件②：四边形是菱形，理由如下：∵四边形是平行四边形，，∴四边形是菱形，∴，∵四边形是平行四边形，∴四边形是菱形．【解析】【分析】（1）根据SAS证明，利用全等三角形的性质即得结论；
（2）由（1）可证四边形是平行四边形，选条件①：四边形是矩形，理由：易证BD=EF，根据对角线相等的平行四边形是矩形即证；选条件②：四边形是菱形，理由：易证AC⊥BD，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即证.
