河南省郑州市2022-2023学年高二下学期期末考试数学试题（含答案）

郑州市2022－2023学年下期期末考试

高二数学试题卷

注意事项：

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．考试时间120分钟，满分150分．考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效．交卷时只交答题卡．

第I卷（选择题，共60分）

一、单选题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知数列，满足，，则（    ）

A．18 B．36 C．72 D．144

2．2023年5月10日，第七届全球跨境电子商务大会在郑州举行，小郑同学购买了几件商品，这些商品的价格如果按美元计，则平均数为30，方差为60，如果按人民币计（汇率按1美元=7元人民币），则平均数和方差分别为（    ）

A．30，60 B．30，420 C．210，420 D．210，2940

3．如图，洛书古称龟书，是阴阳五行术数之源．在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图像，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数．若从四个阴数和五个阳数中随机选取4个数，则选取的4个数之和为奇数的方法数为（    ）

A．60 B．61 C．65 D．66

4．下列四个命题中，正确命题的个数为（    ）

①甲乙两组数据分别为：甲：28，31，39，42，45，55，57，58，66；；乙：，29，34，35，48，42，46，55，53，55，67．则甲乙的中位数分别为45和44．

②相关系数，表明两个变量的相关性较弱．

③若由一个列联表中的数据计算得的观测值，那么有99%的把握认为两个变量有关．

④用最小二乘法求出一组数据，的回归直线方程后要进行残差分析，相应于数据，的残差是指．

A．1 B．2 C．3 D．4

5．已知的二项展开式中二项式系数和为64，若，则等于（    ）

A．192 B．448 C．－192 D．－448

6．已知函数的图象在点处的切线与直线平行，则该切线的方程为（    ）

A．  B．

C．  D．

7．“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年．如图所示的是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，图中虚线上的数1，3，6，10…构成数列，记为该数列的第项，则（    ）

A．2016 B．2080 C．4032 D．4160

8．下列说法中不正确的是（    ）

A． 若随机变量 ，，则

B． 若随机变量 ， 则期望

C． 已知随机变量 的分布列为 , 则

D．从3名男生，2名女生中选取2人，则其中至少有一名女生的概率为

9．若需要刻画预报变量和解释变量的相关关系，且从已知数据中知道预报变量随着解释变量的增大而减小，并且随着解释变量的增大，预报变量大致趋于一个确定的值，为拟合和之间的关系，应使用以下回归方程中的（为自然对数的底数）（    ）

A．  B．

C．  D．

10．对于三次函数，现给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数，则（    ）

A． B． C．17 D．34

11．已知数列满足，若对于任意都有，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

12．若，则下列式子可能成立的是（    ）

A． B． C． D．

第II卷（非选择题，共90分）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知等比数列满足：，，则公比______．

14．在甲，乙，丙三个地区爆发了流感，这三个地区分别有7%，6%，5%的人患了流感．若这三个地区的人口数的比为，现从这三个地区中任意选取一个人，这个人患流感的概率是______．

15．为积极践行劳动教育理念，扎实开展劳动教育活动，某学校开设三门劳动实践选修课，现有五位同学参加劳动实践选修课的学习，每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参㕲，则不同的报名方法有______．

16．2023年第57届世界乒乓球锦标赛在南非德班拉开帷幕，参赛选手甲、乙进入了半决赛，半决赛采用五局三胜制，当选手甲、乙两位中有一位赢得三局比赛时，就由该选手晋级而比赛结束．每局比赛皆须分出胜负，且每局比赛的胜负不受之前比赛结果影响．假设甲在任一局赢球的概率为，比剉局数的期望值记为，则的最大值是______．

三、解答题：共70分．解答题应写出文字说明、证明过程或验算步骤．

17．（10分）

一只口袋中装有形状、大小都相同的10个小球，其中有红球1个，白球4个，黑球5个．

（I）若每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回．在第1次摸到白球的条件下，第2饮摸到白球的概率；

（II）若从袋子中一次性随机摸出3个球，记黑球的个数为，求随机变量的概率分布．

18．（12分）

设数列的前项和为，已知，．

（I）设，证明：数列是等比数列；

（II）求数列的前项和．

19．（12分）

黄河是中华民族的母亲河、生命河，也是一条桀骜难驯的忧患之河．小浪底水利枢纽工程位于河南省济源市、洛阳市孟津区边界，是黄河治理开发的关键控制性工程．它控制着黄河的流域面积、91%的径流量和近的泥沙，以防洪、防淩、减淤为主，兼顾供水、灌溉、发电，不仅是中华民族治黄史上的丰碑，也是世界水利工程史上最具标志性的杰作之一，其大坝为预测渗压值和控制库水位，工程师在水库选取一支编号为HN1渗压计，随机收集10个该渗压计管内水位和水库水位监测数据：

并计算得，，，，，．

（I）求该水库HN1号渗压计管内水位与水库水位的样本相关系数（精确到0.01）；

（II）某天雨后工程师测量了水库水位，并得到水库的水位为．利用以上数据给出此时HN1号渗压计管内水位的估计值．

附：相关系数，，．

20．（12分）

已知函数．

（I）讨论的单调性；

（II）若有两个零点，求的取值范围．

21．（12分）

根据长期生产经验，某种零件的一条生产线在设备正常状态下，生产的产品正品率为0.985．为了监控该生产线生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取10个零件，并测量其质量，规定：抽检的10件产品中，若至少出现2件次品，则认为设备出现了异常情况，需对设备进行检测及修理．

（I）假设设备正常状态，记表示一天内抽取的10件产品中的次品件数，求，并说明上述监控生产过程规定的合理性；

（II）该设备由甲、乙两个部件构成，若两个部件同时出现故䧐，则设备停止运转；若只有一个部件出现故障，则设备出现异常．已知设备出现异常是由甲部件故障造成的概率为，由乙部件故障造成的概率为．若设备出现异常，需先检测其中一个部件，如果确认该部件出现故障，则进行修理，否则，继续对另一部件进行检测及修理．已知甲部件的检测费用2000元，修理费用6000元，乙部件的检测费用3000元，修理费用4000元．当设备出现异常时，仅考虑检测和修理总费用，应先检测甲部件还是乙部件，请说明理由。

参考数据：，，．

22．（12分）

已知函数．

（I）求函数的最小值；

（II）设函数．证明：当时，，恒成立．

郑州市2022－2023学年下学期期末考试

高中二年级数学评分参考

一、单选题

二、1．A　2．D　3．A　4．B　5．C　6．B　7．B　8．C　9．D　10．C　11．C　12．D

三、填空题

13．   14．    15．150    16．

四、解答题

17．解：（1）设“第1次摸到白球”为事件；“第2次摸到白球”为事件．

则，

由条件概率公式可得，

∴从袋子中任取两个小球，若其中一个小球是白球，另一个小球也是白球的概率为．

（2）可能的取值为0，1，2，3．

，，，，

概率分布为

18．（1）证明：由及，

得，∴，∴．

又，

由①－②，得，

∴．

∵，∴，

故是首项，公比为2的等比数列．

（2）解由（1）知，∴，

故是首项为1，公差为1的等差数列，．

19．解：（1）水库的平均水位，

HN1号渗压计管内平均水位．

，

同理可得：，

，

∴

（3）∵，

，

∴HN1号渗压计管内水位关于水库水位的经验回归方程为，

当时，预测值，

即水库的水位为时，HN1号渗压计管内水位的估计值为

20．解：（1）的定义域为R，，

若则恒成立，∴，即在上单调递减；

若令，得，

当时，当时，．

∴在上单调递减，在单调递增．

（2）因为有两个零点，所以，否则在上单调递减，至多一个零点，

与题设不符；所以，即，即，

令，，

在上单调递增，，故的取值范围．

又，∴在上有一个零点；

设存在正整数，满足，

则，

由于，∴在上有一个零点．

综上，a的取值范围（0，1）

21．解：（1）由题可知，单件产品为次品的概率为0.015，所以，

所以，

所以．

由可知，如果生产状态正常，一天内抽取的10个零件中，至少出现2个次品的概率约为0.0095，该事件是小概率事件，因此一旦发生这种状况，就有理由认为设备在这一天的生产过程出现了异常情况，需对设备进行检测和修理，可见上述监控生产过程的规定是合理的．

（2）若先检测甲部件，设检测费和修理费之和为元，则的所有可能值为8000，9000，

则，，

所以，

若先检测乙部件，设检测费和修理费之和为元，则的所有可能值为7000，11000，

则，，

所以，

所以，

则当时，，应先检测乙部件；当时，，

先检测甲部件或乙部件均可；当时，，应先检测甲部件．

22．解：（1）的定义域为，．

所以在上单调递减，在上单调递增．

所以的最小值为

（2）①法一：，．

∵，

∴，即在上单调递减．

∴．

由（1）知，的最小值为，即（当且仅当时，等号成立）．

∴，即．

法二：由（1）知，的最小值为，

即（当且仅当时，等号成立）．

因为，所以．

所以得证．