2022-2023学年山东省济宁市梁山县九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年山东省济宁市梁山县九年级（上）期末数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列关于x的方程中，一定有实数根的是( )
A. x+2=0B. x2+5=0C. 1x=0D. x+4=0
2. 如图是一个质地均匀的转盘，转盘中四个扇形的面积都相等，小明随意转动转盘1次，转盘停止转动后，指针指向的数字为偶数的概率为(若指针指在分割线上，需重新转动，直到指针指向某一扇形为止)( )
A. 12B. 14C. 13D. 23
3. 如图，点A是函数y=kx图象上一点，AB垂直x轴于点B，若S△ABO=4，则k的值为( )
A. 4
B. 8
C. −4
D. −8
4. 下列事件中，属于随机事件的是( )
A. 等腰三角形有两条边相等
B. 三角形的三条边为3，4，5，则该三角形为直角三角形
C. 任选一个实数x，使得x有意义
D. 在装有10个红球的口袋内，摸出一个白球
5. 将函数y=2x2的图象先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线是( )
A. y=2(x−3)2−4B. y=2(x−3)2+4
C. y=2(x+3)2−4D. y=2(x+3)2+4
6. 如图，AB是⊙O的直径，C、D是圆上两点，且∠CDB=26°，则∠AOC的度数为( )
A. 108°
B. 154°
C. 118°
D. 128°
7. 如图，将△ABC绕点C(0,−1)旋转180°得到△A′B′C，设点A的坐标为(a,b)，则点A′的坐标为( )
A. (−a,−b)
B. (−a.−b−1)
C. (−a,−b+1)
D. (−a,−b−2)
8. 如图，△ABC中，∠B=60°，AB=6，BC=8.将△ABC沿图中的DE剪开．剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是( )
A.
B.
C.
D.
9. 若一次函数y=ax+b与反比例函数y=−cx的图象在第二象限内有两个交点，且其中一个交点的横坐标为−1，则二次函数y=ax2+bx+c的图象可能是( )
A. B.
C. D.
10. 如图，点P在y轴正半轴上，⊙P交x轴于A，B两点，连接BP并延长交⊙P于C，且⊙P的半径为5，AB=4.若函数y=kx(x<0)的图象过C点，则k的值是( )
A. ±4B. −4C. −25D. 4
11. 如图，A(0,1)，B(1,5)曲线BC是双曲线y=kx(k≠0)的一部分.曲线AB与BC组成图形G.由点C开始不断重复图形G形成一条“波浪线“.若点P(2025,m)，Q(x,n)在该“波浪线上，则m的值及n的最大值为( )
A. m=1，n=1B. m=5，n=1C. m=1，n=5D. m=1，n=4
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
12. 若关于x的方程x2−kx−12=0的一个根为2，则k的值为 ．
13. 如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，∠A=30°，则∠B的度数为 ．
14. 如图，已知直线a//b//c，直线m交直线a，b，c于点A，B，C，直线n交直线a，b，c于点D，E，F，若ABBC=12，则DEDF=______．
15. 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中x，y的部分对应值如表：
则该二次函数图象的对称轴为 ．
16. 如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转90°后，得到矩形AB′C′D′，如果CD=2DA=2，那么CC′=______．
17. 对于一切不小于2的自然数n，关于x的一元二次方程x2−(n+2)x−2n2=0的两个根为an，bn(n≥2)，则1(a2−2)(b2−2)+1(a3−2)(b3−2)+⋯+1(a2021−2)(b2021−2)=______．
三、解答题（本大题共8小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18. (本小题6.0分)
如图方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，三角形ABC的顶点都在格点上，且三个顶点的坐标分别为A(0,3)，B(3,4)，C(2,2)．
(1)画出△ABC关于原点O的中心对称图形△A′B′C′，并写出点B的对应点B′的坐标．
(2)画出将△ABC绕原点O逆时针方向旋转90度后的图形△A′′B′′C′′．
19. (本小题5.0分)
已知m是方程x2+x−3=0的解，求式子m3+2m2−2m+2022的值．
20. (本小题7.0分)
已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：Ω)是反比例函数关系，它的图象如图所示．
(1)求电流I与电阻R之间的函数表达式；
(2)如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过6A，那么用电器可变阻应控制在什么范围？
21. (本小题8.0分)
如图，在⊙O中，AE是直径，AB是弦，连接BE，若AB=8，OC⊥AB于点D，CD=2，则BE的长是多少？
22. (本小题9.0分)
某校以“我最喜爱的冰雪运动”为主题对全校学生进行随机抽样调查，调查的运动项目有短道速滑，花样滑冰，速度滑冰，冰壶以及其他项目(每个同学必须选择且只能选择一个项目)，并根据调查结果绘制出如图所示的两幅不完整的统计图：

(1)本次调查共抽取了多少名同学？
(2)将条形统计图补充完整；
(3)在学校举办的“共筑冰雪中国梦”的主题演讲比赛中，小明获得了一等奖，他可以在包装完全相同的A，B，C，D四枚冬奥纪念章中选取两枚，请用列表或画树状图法求出小明选到的纪念章恰好是“A”和“C”图案的概率．
23. (本小题10.0分)
随着柴静纪录片《穹顶之下》的播出，全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也大增，商社电器从厂家购进了A，B两种型号的空气净化器，已知一台A型空气净化器的进价比一台B型空气净化器的进价多300元，用7500元购进A型空气净化器和用6000元购进B型空气净化器的台数相同．
(1)求一台A型空气净化器和一台B型空气净化器的进价各为多少元？
(2)在销售过程中，A型空气净化器因为净化能力强，噪音小而更受消费者的欢迎．为了增大B型空气净化器的销量，商社电器决定对B型空气净化器进行降价销售，经市场调查，当B型空气净化器的售价为1800元时，每天可卖出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天将多售出1台，如果每天商社电器销售B型空气净化器的利润为3200元，请问商社电器应将B型空气净化器的售价定为多少元？
24. (本小题10.0分)
如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上两点，且D为弧BC中点，过点D的直线DE⊥AC交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F，连接AD．
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若∠DAB=30°，⊙O的半径为2，求阴影部分的面积．
25. (本小题11.0分)
如图，在直角坐标系xOy中，二次函数y=x2+(2k+1)x+k+1的图象与x轴相交于O，A两点．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使△AOB的面积等于3，求点B的坐标；
(3)对于(2)中的点B，在此抛物线(y轴右侧)上是否存在点P，使∠POB=90°？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
注：平面直角坐标系中的两点M(x1,y1)，N(x2,y2)之间的距离公式：MN=(x1−x2)2+(y1−y2)2．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A、x+2=0，x=−2，故该选项符合题意；
B、x2+5=0，x2=−5，则此方程无实数根，故该选项不正确，符合题意；
C、1x=0，此方程无解，故该选项不正确，符合题意；
D、x+4=0，x=−4，此方程无实数根，故该选项不正确，符合题意．
故选：A．
根据题意逐项分析判断即可即可求解．
本题考查了一元一次方程的解，一元二次方程根的判别式，分式方程、无理方程的根，掌握以上知识是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：∵转盘共有四个面积相等的扇形，其中偶数有2个扇形面，
∴转盘停止转动后，指针指向的数字为偶数的概率为24=12．
故选：A．
根据题意先得出偶数的个数，再根据概率公式即可得出答案．
本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
3.【答案】D
【解析】解：由题意得：S△ABO=−k2=4，
解得：k=−8；
故选：D．
根据k的几何意义和三角形的面积进行计算即可．
本题考查反比例函数k的几何意义．熟练掌握反比例函数k的几何意义是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：A.等腰三角形有两条边相等，是必然事件，故此选项不合题意；
B.三角形的三条边为3，4，5，则该三角形为直角三角形，是必然事件，故此选项不合题意；
C.任选一个实数x，使得x有意义，是随机事件，故此选项符合题意；
D.在装有10个红球的口袋内，摸出一个白球，是不可能事件，故此选项不合题意．
故选：C．
直接利用随机事件、必然事件、不可能事件的定义分别分析得出答案．
此题主要考查了随机事件、必然事件、不可能事件，正确掌握相关定义是解题关键．
5.【答案】B
【解析】解：把抛物线y=2x2先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数表达式为y=2(x−3)2+4，
故选：B．
直接利用平移规律求新抛物线的解析式．
主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
6.【答案】D
【解析】解：∵∠BOC和∠CDB都对BC，
∴∠BOC=2∠CDB=2×26°=52°，
∴∠AOC=180°−∠BOC=128°．
故选：D．
先根据圆周角定理得到∠BOC=2∠CDB=52°，然后利用邻补角的定义计算∠AOC的度数．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
7.【答案】D
【解析】
【分析】
此题通过平移把问题转化为学过的知识，从而解决问题，体现了数学的化归思想．
我们已知关于原点对称的点的坐标规律：横坐标和纵坐标都互为相反数；还知道平移规律：上加下减；左加右减．在此基础上转化求解．把AA′向上平移1个单位得A的对应点A1坐标和A′对应点A2坐标后求解．
【解答】
解：把AA′向上平移1个单位得A的对应点A1坐标为(a,b+1)．
因A1、A2关于原点对称，所以A′对应点A2(−a,−b−1)．
∴A′(−a,−b−2)．
故选：D．
8.【答案】D
【解析】解：A、∵∠C=∠C，∠DEC=∠B=60°，
∴△DEC∽△ABC，
故A不符合题意；
B、∵∠C=∠C，∠CDE=∠B，
∴△CDE∽△CBA，
故B不符合题意；
C、由图形可知，BE=AB−AE=6−2=4，
BD=BC−CD=8−5=3，
∵BEBC=48=12，BDAB=36=12，
∴BEBC=BDBA，
又∵∠B=∠B，
∴△BDE∽△BAC，
故C不符合题意；
D、由已知条件无法证明△ADE与△ABC相似，
故D符合题意，
故选：D．
根据相似三角形的判定逐一判断即可．
本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：∵一次函数y=ax+b与反比例函数y=−cx图象在第二象限内有一个交点的横坐标为−1，
∴c=−a+b，
∴a−b+c=0，
∵一次函数y=ax+b与反比例函数y=−cx的图象在第二象限内有两个交点，
∴a>0，
∴二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，
当x=−1时，y=a−b+c=0，
∴抛物线y=ax2+bx+c过(−1,0)点，
故选：A．
依据直线y=ax+b与反比例函数y=−cx图象在第二象限内有一个交点的横坐标为−1，即可得a−b+c=0，a>0，进而得出结论．
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a>0时，抛物线向上开口，当a<0时，抛物线向下；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左；当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点．
10.【答案】D
【解析】解：连接AC，
∵BC是圆P的直径，
∴AC⊥AB，
在直角三角形ABC中，AB=4，BC=25，
∴AC=BC2−AB2=(25)2−42=2，
∵OP⊥AB，AC⊥AB，
∴AC//OP，
∵BP=PC，AB=4，
∴OA=OB=2，
∴C的坐标为(−2,2)，
将C的坐标代入y=kx(k<0)中，可得k=xy=(−2)×2=−4．
故选：D．
本题的关键是求出C点的坐标，由于BC是圆P的直径，那么连接AC后三角形ACB就是直角三角形，已知了BC，AB的长，可通过勾股定理求出AC的值，那么即可得出C点的坐标，将C的坐标代入反比例函数的解析式中即可求出k的值．
本题主要考查了用待定系数法求反比例函数的方法，用数形结合的思想求出C点的坐标是解题的关键．
11.【答案】C
【解析】解：∵B(1,5)在y=kx的图象上．
∴k=1×5=5．
当x=5时，y=55=1．
∴C(5,1)．
又因为2025÷5=405．
∴m=1．
∵Q(x,n)在该“波浪线”上．
∴n的最大值是5．
故选：C．
利用点在函数图象上及图象的规律性求解．
本题考查反比例函数的图象，求出函数表达式和相应点的坐标是求解本题的关键．
12.【答案】−4
【解析】解：把x=2代入x2−kx−12=0得4−2k−12=0，
解得k=−4．
故答案为：−4．
根据一元二次方程的定义，把x=2代入方程得到关于k的一次方程，然后解一次方程即可．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
13.【答案】60°
【解析】解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠C=90°，
而∠A+∠B+∠C=180°，∠A=30°
∴∠B=180°−90°−30°=60°．
故答案为60°．
由AB为⊙O的直径，根据圆周角定理的推论得到∠C=90°，利用三角形内角和定理得到∠A+∠B+∠C=180°，然后把∠A=30°，∠C=90°代入计算即可得到∠B的度数．
本题考查了圆周角定理的推论：直径所对的圆周角为直角．也考查了三角形内角和定理．
14.【答案】13
【解析】解：∵a//b//c，
∴DEDF=ABAC=11+2=13．
故答案为13．
根据平行线分线段成比例定理和比例的性质求解．
本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
15.【答案】x=12
【解析】解：由图表可知：x=0时，y=−6，x=1时，y=−6，
∴二次函数的对称轴为x=0+12=12，
故答案为：x=12．
根据图表找出函数值相等时对应的自变量即可求出对称轴．
本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握对应点的函数值关于对称轴对称．
16.【答案】10
【解析】解：由旋转的性质可知，∠CAC′=90°，AC=AC′，
Rt△ACD中，由勾股定理得，
AC=AD2+CD2=12+22=5，
在Rt△CAC′中，由勾股定理得，
CC′=AC2+AC′2=10．
矩形ABCD绕点A顺时针旋转90°得到矩形AB′C′D′，可知旋转中心为点A，旋转角∠CAC′=90°，根据对应点C、C′到旋转中心的距离相等可知，AC=AC′，先在Rt△ACD中用勾股定理求AC，再在Rt△CAC′中，利用勾股定理求CC′．
本题考查了旋转的性质，勾股定理的运用，属于基础题，需要熟练掌握．
17.【答案】−5052022
【解析】解：由根与系数的关系得an+bn=n+2，an⋅bn=−2n2，
所以(an−2)(bn−2)=anbn−2(an+bn)+4=−2n2−2(n+2)+4=−2n(n+1)，
则1(an−2)(bn−2)=12n(n+1)=−12(1n−1n+1)，
则1(a2−2)(b2−2)+1(a3−2)(b3−2)+⋯+1(a2021−2)(b2021−2)
=−12[(12−13)+(13−14)+…+(12021−12022)]
=−12×(12−12022)
=−12×10102022
=−5052022．
故答案为：−5052022．
由根与系数的关系得an+bn=n+2，an⋅bn=−2n2，所以(an−2)(bn−2)=anbn−2(an+bn)+4=−2n2−2(n+2)+4=−2n(n+1)，则1(an−2)(bn−2)=12n(n+1)=−12(1n−1n+1)，然后代入即可求解．
本题考查了根与系数的关系，难度较大，关键是根据根与系数的关系求出一般形式再进行代入求值．
18.【答案】解：(1)如图，△A′B′C′即为所求，点B′的坐标(−3,−4)；
(2)画如图，△A′′B′′C′′即为所求．

【解析】本题考查作图−旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的性质，属于中考常考题型．
(1)利用中心对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可；
(2)利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点A″，B″，C″即可．
19.【答案】解：∵m是方程x2+x−3=0的解，
∴m2+m−3=0，
∴m2+m=3，
∴m3+2m2−2m+2022
=m3+m2+m2−2m+2022
=m(m2+m)+m2−2m+2022
=3m+m2−2m+2022
=m2+m+2022
=3+2022
=2025，
∴式子m3+2m2−2m+2022的值为2025．
【解析】根据题意可得：m2+m−3=0，从而可得m2+m=3，然后代入式子中，进行计算即可解答．
本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解的意义是解题的关键．
20.【答案】解：(1)设电流I与电阻R之间的函数表达式为I=kR．
∵函数图象过点(9,4)，
∴4=k9，
解得k=36．
∴电流I与电阻R之间的函数表达式为I=36R．
(2)∵限制电流不能超过6A，
∴36R≤6，
解得R≥6，
∴用电器的可变电阻应大于或等于6Ω．
【解析】(1)先由电流I是电阻R的反比例函数，可设I=kR，将点(20,1.8)代入函数解析式，利用待定系数法即可求出这个反比例函数的解析式；
(2)将I≤3代入(1)中所求的函数解析式即可确定电阻的取值范围．
本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是正确地从题干中整理出函数模型，并利用函数的知识解决实际问题．
21.【答案】解：∵OC是⊙O的半径，OC⊥AB，
∴AD=12AB=4．
在Rt△ADO中，
设OC=OA=x，则OD=x−2．
由勾股定理，得x2−(x−2)2=42，
解得x=5，即OA=5．
∴AE=2×OA=10．
∵AE是直径，
∴∠B=90°．
在Rt△ADO中，
∴BE=AE2−AB2=102−82=6．
【解析】利用垂径定理先求出AD，再利用勾股定理在Rt△ADO中求出圆的半径，最后在Rt△ADO中利用勾股定理求出BE的长．
本题主要考查了垂径定理和勾股定理，掌握圆周角定理、垂径定理及勾股定理是解决本题的关键．
22.【答案】解：(1)30÷25%=120(名)，
答：本次调查共抽取了120名同学．
(2)速度滑冰的人数为：120−24−30−18−12=36(人)，
补全条形统计图如图所示：

(3)
一共产生12种结果，每种结果发生的可能性相同，其中恰好选中A和C的结果有2种，分别是(A,C)，(C,A)，
∴P(恰好选中A和C)=212=16．
【解析】(1)用花样滑冰的人数除以其所占百分比可以得解；
(2)由(1)所得结论及已知条件可以得到速度滑冰的人数，从而可以补全条形统计图；
(3)通过列表把所有可能的结果表示出来，然后根据概率的意义即可得到解答．
本题考查数据的整理和应用，熟练掌握条形统计图与扇形统计图的关联应用及列表法求概率的方法是解题关键．
23.【答案】解：(1)设每台B型空气净化器为x元，A型净化器为(x+300)元，
由题意得，6000x=7500x+300，
解得：x=1200，
经检验x=1200是原方程的根，
则x+300=1500，
答：每B型空气净化器、每台A型空气净化器的进价分别为1200元，1500元；
(2)设B型空气净化器的售价为x元，根据题意得；(x−1200)(4+1800−x50)=3200，
解得：x=1600，
答：如果每天商社电器销售B型空气净化器的利润为3200元，请问商社电器应将B型空气净化器的售价定为1600元．
【解析】(1)设每台B种空气净化器为x元，A种净化器为(x+300)元，根据用6000元购进B种空气净化器的数量与用7500元购进A种空气净化器的数量相同，列方程求解；
(2)根据总利润=单件利润×销量列出一元二次方程求解即可．
本题考查了一元二次方程及分式方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系，注意分式方程应该检验，难度不大．
24.【答案】(1)证明：连接OD，

∵DE⊥AC，
∴∠E=90°，
∵D为弧BC中点，
∴CD=DB，
∴∠CAD=∠BAD，
∵OA=OD，
∴∠BAD=∠ADO，
∴∠CAD=∠ADO，
∴AC//OD，
∴∠E=∠ODF=90°，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
(2)解：∵∠DAB=30°，
∴∠DOF=2∠DAB=60°，
在Rt△ODF中，DO=2，
∴DF=OD⋅tan60°=23，
∴阴影部分的面积=△ODF的面积−扇形BOD的面积
=12OD⋅DF−60π×22360
=12×2×23−23π
=23−23π，
∴阴影部分的面积为23−23π.
【解析】(1)连接OD，根据垂直定义可得∠E=90°，再根据等弧所对的圆周角相等可得∠CAD=∠BAD，从而利用角平分线和平行证明AC//OD，然后利用平行线的性质求出∠ODF=90°，即可解答；
(2)根据圆周角定理可得∠DOF=2∠DAB=60°，然后在Rt△ODF中，利用锐角三角函数的定义求出DF的长，最后根据阴影部分的面积=△ODF的面积−扇形BOD的面积，进行计算即可解答．
本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，圆周角定理，垂径定理，切线的判定与性质，扇形面积的计算，熟练掌握相似三角形的判定与性质，以及解直角三角形是解题的关键．
25.【答案】解：(1)∵函数的图象与x轴相交于O，
∴0=k+1，即k=−1，
∴y=x2+(2k+1)x+k+1=x2−x，
∴这个二次函数的解析式为y=x2−x；
(2)过点B作BD⊥x轴于点D，

∵△AOB的面积等于3，
∴12AO⋅BD=3，
当0=x2−x，即x(x−1)=0，
解得：x=0或1，
∴AO=1，
∴BD=6，
即6=x2−x，
解得：x=3或x=−2(舍去)，
y=x2−x=(x−12)2−14，
又∵顶点坐标为：(12,−14)，
∵14<6，
∴x轴下方不存在B点，
∴点B的坐标为：(3,6)；
(3)存在，

设P(x,x2−x)，
∵点B的坐标为：(3,6)，
∴OB2=32+62=45，
OP2=x2+(x2−x)2，
BP2=(x−3)2+(x2−x−6)2，
∵∠POB=90°，
∴OB2+OP2=BP2，
∴45+x2+(x2−x)2=(x−3)2+(x2−x−6)2，
化简得2x2−x=0，
∴x=12或0(舍去)，
∴点P的坐标为(12,−14)，
∴在此抛物线(y轴右侧)上是存在点P，使∠POB=90°，点P的坐标为(12,−14).
【解析】(1)把(0,0)代入二次函数y=x2+(2k+1)x+k+1中可得k的值，可得结论；
(2)根据(1)得出的抛物线的解析式可得出A点的坐标，也就求出了OA的长，根据△OAB的面积可求出B点纵坐标的绝对值，然后将符合题意的B点纵坐标代入抛物线的解析式中即可求出B点的坐标，然后根据B点在抛物线对称轴的右边来判断得出的B点是否符合要求即可；
(3)设P(x,x2−x)，根据勾股定理列方程可得结论．
本题是二次函数的综合题，考查了二次函数解析式的确定、勾股定理、三角形面积求法等知识．利用数形结合的思想并与方程相结合求点的坐标是解题关键．
x
…
−2
−1
0
1
2
…
y
…
0
−4
−6
−6
−4
…
A
B
C
D
A
(B,A)
(C,A)
(D,A)
B
(A,B)
(C,B)
(D,B)
C
(A,C)
(B,C)
(D,C)
D
(A,D)
(B,D)
(C,D)