中考数学二轮压轴培优专题 二次函数与圆存在性问题（2份打包，教师版+原卷版）

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1.如图1：抛物线y＝﹣x2＋bx＋c过点A(﹣1，0)，点B(3，0)，与y轴交于点C．动点E(m，0)(0＜m＜3)，过点E作直线l⊥x轴，交抛物线于点M．
(1)求抛物线的解析式及C点坐标；
(2)连接BM并延长交y轴于点N，连接AN，OM，若AN∥OM，求m的值．
(3)如图2．当m＝1时，P是直线l上的点，以P为圆心，PE为半径的圆交直线l于另一点F(点F在x轴上方)，若线段AC上最多存在一个点Q使得∠FQE＝90°，求点P纵坐标的取值范围．
2.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋2与直线AB相交于A(﹣1，0)，B(3，2)，与x轴交于另一点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在y上是否存在一点E，使四边形ABCE为矩形，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)以C为圆心，1为半径作⊙O，D为⊙O上一动点，求DA＋eq \f(\r(5),5)DB的最小值.
3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣eq \f(1,4)x2＋bx＋3的对称轴是直线x＝2，与x轴相交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C．
(Ⅰ)求抛物线的解析式及顶点坐标；
(Ⅱ)M为第一象限内抛物线上的一个点，过点M作MN⊥x轴于点N，交BC于点D，连接CM，当线段CM＝CD时，求点M的坐标；
(Ⅲ)以原点O为圆心，AO长为半径作⊙O，点P为⊙O上的一点，连接BP，CP，求2PC＋3PB的最小值．
4.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的顶点为M，经过C(1，1)，且与x轴正半轴交于A，B两点．
(1)如图1，连接OC，将线段OC绕点O顺时针旋转，使得C落在y轴的负半轴上，求点C的路径长；
(2)如图2，延长线段OC至N，使得ON＝eq \r(3)，若∠OBN＝∠ONA，且tan∠ABM=eq \f(\r(13),2)，求抛物线的解析式；
(3)如图3，抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x=eq \f(5,2)，与y轴交于(0，5)，经过点C的直线l：y＝kx＋m(k＞0)与抛物线交于点C、D，若在x轴上存在P1、P2，使∠CP1D＝∠CP2D＝90°，求k的取值范围．
5.如图，已知抛物线y＝﹣x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点(点A在点B左边)，与y轴交于点C，⊙M是△ABC的外接圆．若抛物线的顶点D的坐标为(1，4)．
(1)求抛物线的解析式，及A、B、C三点的坐标；
(2)求⊙M的半径和圆心M的坐标；
(3)如图2，在x轴上有点P(7，0)，试在直线BC上找点Q，使B、Q、P三点构成的三角形与△ABC相似．若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．
6.我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”．如图所示，点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点D的坐标为(0，﹣3)，AB为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为(1，0)，半圆半径为2．
(1)求“蛋圆”抛物线部分的解析式及“蛋圆”的弦CD的长；
(2)已知点E是“蛋圆”上的一点(不与点A，点B重合)，点E关于x轴的对称点是点F，若点F也在“蛋圆”上，求点E坐标；
(3)点P是“蛋圆”外一点，满足∠BPC＝60°，当BP最大时，直接写出点P的坐标．
7.如图1，已知圆O的圆心为原点，半径为2，与坐标轴交于A，C，D，E四点，B为OD中点．
(1)求过A，B，C三点的抛物线解析式；
(2)如图2，连接BC，AC．点P在第一象限且为圆O上一动点，连接BP，交AC于点M，交OC于点N，当MC2＝MNMB时，求M点的坐标；
(3)如图3，若抛物线与圆O的另外两个交点分别为H，F，请判断四边形CFEH的形状，并说明理由．
8.如图，△AOB的三个顶点A、O、B分别落在抛物线C1：y＝eq \f(1,3)x2＋eq \f(7,3)x上，点A的坐标为(﹣4，m)，点B的坐标为(n，﹣2)．(点A在点B的左侧)
(1)则m＝ ，n＝ ．
(2)将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△A'OB'，抛物线C2：y＝ax2＋bx＋4经过A'、B'两点，延长OB'交抛物线C2于点C，连接A'C．设△OA'C的外接圆为⊙M．
①求圆心M的坐标；
②试直接写出△OA'C的外接圆⊙M与抛物线C2的交点坐标(A'、C除外)．
9.在平面直角坐标系中，已知某二次函数的图象同时经过点A(0，3)、B(2m，3)、C(m，m＋3)．其中，m≠0．
(1)当m＝1时．
①该二次函数的图象的对称轴是直线 ．
②求该二次函数的表达式．
(2)当|eq \f(1,2)m|≤x≤|eq \f(3,2)m|时，若该二次函数的最大值为4，求m的值．
(3)若同时经过点A、B、C的圆恰好与x轴相切时，直接写出该二次函数的图象的顶点坐标．
10.抛物线：y＝﹣x2＋bx＋c与y轴的交点C(0，3)，与x轴的交点分别为E、G两点，对称轴方程为x＝1．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，过点C作y轴的垂线交抛物线于另一点D，F为抛物线的对称轴与x轴的交点，P为线段OC上一动点．若PD⊥PF，求点P的坐标．
(3)如图1，如果一个圆经过点O、点G、点C三点，并交于抛物线对称轴右侧x轴的上方于点H，求∠OHG的度数；
(4)如图2，将抛物线向下平移2个单位长度得到新抛物线L，点B是顶点．直线y＝kx﹣k＋4(k＜0)与抛物线L交于点M、N．与对称轴交于点G，若△BMN的面积等于2eq \r(2)，求k的值．