人教版中考一轮复习 第8讲 圆--提高班

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知识点1 圆的有关性质
1. 基本性质
①圆心角的度数和它所对弧的度数相等；
②同圆或等圆的半径相等；
③圆既是轴对称图形（无数条对称轴），又是中心对称图形，具有旋转不变性；
④圆内接四边形的对角互补.
2. 圆心角、弧、弦之间的关系
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧或两条弦中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量也分别相等.
3. 圆周角
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是90°，90°的圆周角所对的弦是直径；
推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.
注意：等弧指的是能互相重合的弧，长度相等的弧不一定是等弧.
【典例】
例1（2020秋•兴化市月考）下列说法中正确的是（ ）
A．弦是直径B．弧是半圆
C．半圆是圆中最长的弧D．直径是圆中最长的弦
【解答】解：A、错误．弦不一定是直径．
B、错误．弧是圆上两点间的部分．
C、错误．优弧大于半圆．
D、正确．直径是圆中最长的弦．
故选：D．
【方法总结】
本题考查圆的基本知识，解题的关键是记住弦、弧、半圆、直径等一个概念，属于基础题，中考常考题型．
例2（2020秋•沂水县期中）如图，半径为R的⊙O的弦AC＝BD．且AC⊥BD于E，连结AB，AD，若AD＝22，则半径R的长为（ ）
A．1B．2C．2D．22
【解答】解：连接OA，OD，
∵弦AC＝BD，
∴AC=BD，
∴BC=AD，
∴∠ABD＝∠BAC，
∴AE＝BE，
∵AC⊥BD，AE＝BE，
∴∠ABE＝∠BAE＝45°，
∴∠AOD＝2∠ABE＝90°，
∵OA＝OD，
∴AD=2R，
∵AD＝22，
∴R＝2，
故选：C．
【方法总结】
此题考查了圆周角定理、弧与弦的关系、等腰直角三角形的性质与判定等知识．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
例3（2020•广安）如图，点A，B，C，D四点均在⊙O上，∠AOD＝68°，AO∥DC，则∠B的度数为（ ）
A．40°B．60°C．56°D．68°
【解答】解：如图，
连接OC，
∵AO∥DC，
∴∠ODC＝∠AOD＝68°，
∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD＝68°，
∴∠COD＝44°，
∴∠AOC＝112°，
∴∠B=12∠AOC＝56°．
故选：C．
【方法总结】
此题考查平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和，圆周角定理，正确作出辅助线是解决问题的关键．
【随堂练习】
1．（2020•北海模拟）下列说法中，正确的是（ ）
A．弦是直径
B．半圆是弧
C．过圆心的线段是直径
D．圆心相同半径相同的两个圆是同心圆
【解答】解：A、直径是弦，但弦不一定是直径，故错误；
B、半圆是弧，正确；
C、过圆心的弦是直径，故错误；
D、圆心相同半径不同的两个圆是同心圆，故错误，
故选：B．
2．（2020•内江）如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠AOC＝120°，点B是AC的中点，则∠D的度数是（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【解答】解：连接OB，如图，
∵点B是AC的中点，
∴∠AOB=12∠AOC=12×120°＝60°，
∴∠D=12∠AOB＝30°．
故选：A．
3．（2021•武汉模拟）如图，在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点E，且AB＝CD．求证：CE＝BE．
【解答】证明：∵AB＝CD，
∴AB=CD，
∴AB-CB=CD-CB，即AC=BD，
∴∠C＝∠B，
∴CE＝BE．
知识点2 垂径定理及其推论
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
推论：①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.
【典例】
例1 （2020•滨州）在⊙O中，直径AB＝15，弦DE⊥AB于点C，若OC：OB＝3：5，则DE的长为（ ）
A．6B．9C．12D．15
【解答】解：如图所示：连接OD，
∵直径AB＝15，
∴BO＝7.5，
∵OC：OB＝3：5，
∴CO＝4.5，
∴DC=DO2-CO2=6，
∴DE＝2DC＝12．
故选：C．
【方法总结】
此题主要考查了垂径定理和勾股定理，正确得出CO的长是解题关键．
例2（2020•泸县模拟）如图，在⊙O中，弦AB＝8，点C在AB上移动，连接OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值是（ ）
A．2B．4C．6D．8
【解答】解：作OH⊥AB于H，连接OA、OD，如图，
∴AH＝BH=12AB=12×8＝4，
∵CD⊥OC，
∴CD=OD2-OC2，
而OD为定值，OC最小时，CD最大，
∴当OC＝OH时，CD的值最大，
∴CD的最大值为4．
故选：B．
【方法总结】
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
【随堂练习】
1．（2020•周村区一模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，DE∥CB．若AB＝10，CD＝6，则DE的长为（ ）
A．9105B．12105C．6D．245
【解答】解：设AB与CD交于H，连接OD，作OM⊥DE，交BC于N，作DG⊥BC，
∵DE∥BC，
∴MN⊥BC，DG⊥DE，
∴DG＝MN，
∵OM⊥DE，ON⊥BC，
∴DM＝EM=12DE，BN＝CN，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，弦DE∥CB．
∴CH＝DH=12CD＝3，
∴OH=OD2-DH2=52-32=4，
∴BH＝9，
∴BC=BH2+CH2=310，
∴BN=12BC=3102，
∴ON=OB2-BN2=102，
∵sin∠BCH=BHBC=DGCD，即9310=DG6，
∴DG=9105，
∴MN＝DG=9105，
∴OM＝MN﹣ON=131010，
∴DM=OD2-OM2=91010，
∴DE＝2DM=9105．
故选：A．
2.（2020•朝阳区模拟）如图，点A，D，B，C在⊙O上，AB⊥BC，DE⊥AB于点E．若BC＝3，AE＝DE＝1，求⊙O半径的长．
【解答】解：如图，连接AD，AC，连接CD与AB交于点F，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°．
∴AC为直径．
∴∠ADC＝90°．
∵AE＝DE，DE⊥AB，
∴∠DAB＝∠ADE＝45°．
∴∠BCF＝∠DAB＝45°．
∴BC＝BF＝3．
在△ADF中，∠DAB＝∠AFD＝45°，
∴EF＝ED＝1．
∴AB＝5．
∴AC=AB2+BC2=34．
∴⊙O半径的长342．
知识点3 圆的切线
1. 点、直线与圆的位置关系
设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d1，圆心O到直线l的距离为d2.
①点P在⊙O外r＞d1；
②点P在⊙O上r＝d1；
③点P在⊙O内r＜d1；
④直线l和⊙O相交r＜d2；
⑤直线l和⊙O相切r＝d2；
⑥直线l和⊙O相离r＞d2.
2. 切线的性质与判定
切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径.
推论：①经过圆心且垂直于切线的直径必过切点；
②经过切点且垂直于切线的切线的直线必过圆心.
切线的判定方法：
①和圆有唯一公共点的直线是圆的切线；
②如果圆心到一条直线的距离等于圆的半径，那么这条直线是圆的切线；
③经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
常做辅助线：连接圆心和切点.
3. 切线长即切线长定理
切线长：经过圆外一点的圆的切线上，这点与切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.
切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，他们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
【典例】
例1（2020秋•河西区期末）已知⊙O的半径为10cm，点M到圆心O的距离为10cm，则该点M与⊙O的位置关系为（ ）
A．点M在圆内B．点M在圆上C．点M在圆外D．无法判断
【解答】解：∵⊙O的半径为10cm，点M到圆心O的距离为10cm，
∴d＝r，
∴点M与⊙O的位置关系是：点M在圆上，
故选：B．
【方法总结】
此题主要考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．
例2（2020秋•松北区期末）如图，PA、PB分别与O相切于A、B两点，点C为O上一点，连接AC、BC，若∠P＝50°，则∠ACB的度数为（ ）
A．115°B．130°C．65°D．75°
【解答】解：如图所示，连接OA，OB，在优弧AB上取点D，连接AD，BD，
∵AP、BP是切线，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，
∴∠ADB＝65°，
又∵圆内接四边形的对角互补，
∴∠ACB＝180°﹣∠ADB＝180°﹣65°＝115°．
故选：A．
【方法总结】
本题考查了切线的性质、圆周角定理、圆内接四边形的性质．解题的关键是连接OA、OB，求出∠AOB．
例3（2020•陕西模拟）如图，已知以Rt△ABC的边AB为直径作△ABC的外接圆⊙O，∠B的平分线BE交AC于D，交⊙O于E，过E作EF∥AC交BA的延长线于F．
（1）求证：EF是⊙O切线；
（2）若AB＝15，EF＝10，求AE的长．
【解答】（1）证明：连接OE，
∵∠B的平分线BE交AC于D，
∴∠CBE＝∠ABE．
∵EF∥AC，
∴∠CAE＝∠FEA．
∵∠OBE＝∠OEB，∠CBE＝∠CAE，
∴∠FEA＝∠OEB．
∵∠AEB＝90°，
∴∠FEO＝90°．
∴EF是⊙O切线．
（2）解：在△FEA与△FBE中，
∵∠F＝∠F，∠FEA＝∠FBE，
∴△FEA∽△FBE，
∴AFEF=EFBF=AEBE，
∴AF•BF＝EF•EF，
∴AF×（AF+15）＝10×10，
解得AF＝5．
∴BF＝20．
∴1020=AEBE，
∴BE＝2AE，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴AE2+BE2＝152，
∴AE2+（2AE）2＝225，
∴AE＝35．
【方法总结】
本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
【随堂练习】
1．（2020秋•乐亭县期末）已知⊙O的半径为1，AO＝d，且关于x的方程x2﹣2dx+1＝0有两个相等的实数根，则点A与⊙O的位置关系是（ ）
A．在⊙O内B．在⊙O外C．在⊙O上D．无法确定
【解答】解：∵a＝1，b＝﹣2d，c＝1，
∴△＝b2﹣4ac＝（﹣2d）2﹣4×1×1＝4d2﹣4＝0，
解得：d＝1．
则点A在⊙O上．
故选：C．
2．（2020秋•红桥区期末）如图，AB为⊙O的切线，点A为切点，OB交⊙O于点C，点D在⊙O上，连接AD，CD，OA，若∠ADC＝28°，则∠ABO的大小（ ）
A．28°B．34°C．56°D．62°
【解答】解：∵AB为⊙O的切线，点A为切点，
∴OA⊥AB，
∴∠OAB＝90°，
∵∠AOB＝2∠ADC＝2×28°＝56°，
∴∠ABO＝90°﹣∠AOB＝90°﹣56°＝34°．
故选：B．
3．（2020秋•乐亭县期末）如图，AB为⊙O的直径，PQ切⊙O于E，AC⊥PQ于C，交⊙O于D．
（1）求证：AE平分∠BAC；
（2）若AD＝EC＝4，求⊙O的半径．
【解答】（1）证明：连接OE，
∴OA＝OE，
∴∠OEA＝∠OAE．
∵PQ切⊙O于E，
∴OE⊥PQ．
∵AC⊥PQ，
∴OE∥AC．
∴∠OEA＝∠EAC，
∴∠OAE＝∠EAC，
∴AE平分∠BAC．
（2）解：过点O作OM⊥AC于M，
∴AM＝MD=AD2=2；
又∠OEC＝∠ACE＝∠OMC＝90°，
∴四边形OECM为矩形，
∴OM＝EC＝4，
在Rt△AOM中，OA=OM2+AM2=42+22=25；
即⊙O的半径为25．
4．（2020秋•仙游县期中）如图，四边形OABC是平行四边形，且AO＝2OC，以O为圆心，OC为半径的圆交CB于E点，且E恰好是BC的中点，连接AE，求证：AE是⊙O的切线．
【解答】证明：连接OE，如图所示：
∵四边形OABC是平行四边形，
∴BC＝AO＝2OC，AB＝OC，AB∥OC，
∴∠B+∠C＝180°，BC＝2AB，
∵E是BC的中点，
∴BC＝2BE＝2CE，BE＝CE，
∴CE＝OC，
又∵OC＝OE，
∴OC＝OE＝CE，
∴△OCE是等边三角形，
∴∠C＝60°，
∴∠B＝120°，
∵BC＝2AB，BC＝2BE，
∴AB＝BE，
∴∠BAE＝∠BEA＝30°，
∴∠OEA＝180°﹣30°﹣60°＝90°，
∴AE⊥OE，
又∵OE是⊙O的半径，
∴AE是⊙O的切线．
知识点4 三角形的外心与内心
1. 确定圆的条件
不在同一直线上的三个点确定一个圆.
反证法：不直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作的假设不正确，从而得到原命题题成立，这种判定方法叫做反证法.
2. 三角形的外心
外心：三角形三边垂直平分线的交点，即外接圆的圆心.如图：
性质：外心到三角形三个顶点的距离相等.
3. 三角形的内心
内心：三角形三个内角的平分线的交点，即内切圆的圆心.如图：
性质：内心到三角形三边的距离相等.
拓展：直角三角形内切圆的半径等于两直角边的和与斜边的差的一半.
【典例】
例1（2020秋•宽城区期末）如图，△ABC内接于⊙O，连结OA、OB．若OA＝4，∠C＝45°，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．π﹣2B．π-42C．4π-42D．4π﹣8
【解答】解：∵∠C＝45°，
∴∠AOB＝90°，
∴S阴影＝S扇形AOB﹣S△AOB
=90⋅π×42360-12×4×4
＝4π﹣8，
故选：D．
【方法总结】
本题考查的是扇形面积的计算，根据题意求得三角形与扇形的面积是解答此题的关键．
例2（2020春•中山市校级月考）如图所示，△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，若∠DEF＝55°，则∠A的度数是（ ）
A．35°B．55°C．70°D．125°
【解答】解：连接OD，OF，OA，如下图所示，
∵△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，
∵∠DEF＝55°，
∴∠DOF＝2∠DEF＝2×55°＝110°（圆心角是圆周角的2倍），
∵在三角形AOD与三角形AOF中，
∵∠A+∠ADO+∠AFO+∠DOF＝360°，
∵AD，AF是圆的切线，
∴∠ADO＝∠AFO＝90°，
∴∠A＝360°﹣90°﹣90°﹣110°＝70°，
故选：C．
【方法总结】
本题考查了三角形的内切圆与圆心和圆周角定理，解题关键根据圆周角求出圆心角∠DOF即可得出答案．
【随堂练习】
1．（2020秋•富裕县期末）如图，⊙O是△ABC的外接圆，半径为3cm，若BC＝3cm，则∠A的度数为（ ）
A．15°B．25°C．30°D．10°
【解答】解：连接OB、OC，如图，
∵OB＝OC＝BC＝3，
∴△OBC为等边三角形，
∴∠BOC＝60°，
∴∠A=12∠BOC＝30°．
故选：C．
2．（2020•碑林区校级三模）如图，在△ABC中，∠C＝58°，点O为△ABC的内心，则∠AOB的度数为（ ）
A．119°B．120°C．121°D．122°
【解答】解：∵点O为△ABC的内心，
∴AO平分∠CAB，BO平分∠CBA，
∴∠BAO=12∠CAB，∠ABO=12∠CBA，
∴∠AOB＝180°-12（∠CAB+∠CBA），
∵∠C＝58°，
∴∠CAB+∠CBA＝122°，
∴∠AOB＝180°﹣61°＝119°，
故选：A．
知识点5 与圆有关的计算
1. 多边形与圆
在正n变形中，Rn为正n边形的半径，有下列关系：
①边长：an=2Rn·sin180°n； ②周长：Pn=n·an；
③边心距：rn=Rn·cs180°n； ④面积：Sn=12an·Rn·n；
⑤内角度数：n-2×180°n； ⑥外角度数：360°n；
⑦中心角度数：360°n.
2. 弧长与扇形的面积
若一条弧所对的圆心角是n°，半径是R，弧长l=nπR180.
若一个扇形的圆心角是n°，半径是R，弧长为l，则S扇形=nπR²360=12lR.
拓展：S弓形=S扇形±S△.
3. 圆锥的侧面积与全面积
若一个圆锥的底面半径为r，母线长为a，则S全=S侧+S底=πra+πr².
【典例】
例1（2020•福州模拟）如图，扇形OAB中，OB＝3，∠AOB＝100°，点C在OB上，连接AC，点O关于AC的对称点D刚好落在AB上，则BD的长是（ ）
A．π3B．2π3C．π2D．3π2
【解答】解：连接OD，
∵点D是点O关于AC的对称点，
∴AD＝OA，
∵OA＝OD，
∴OA＝OD＝AD，
∴△OAD为等边三角形，
∴∠AOD＝60°，
∴∠BOD＝100°﹣60°＝40°，
∴BD的长=40π×3180=23π，
故选：B．
【方法总结】
本题考查的是弧长的计算、轴对称的性质，掌握弧长公式是解题的关键．
例2（2020•苏州）如图，在扇形OAB中，已知∠AOB＝90°，OA=2，过AB的中点C作CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D、E，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．π﹣1B．π2-1C．π-12D．π2-12
【解答】解：∵CD⊥OA，CE⊥OB，
∴∠CDO＝∠CEO＝∠AOB＝90°，
∴四边形CDOE是矩形，
连接OC，
∵点C是AB的中点，
∴∠AOC＝∠BOC，
∵OC＝OC，
∴△COD≌△COE（AAS），
∴OD＝OE，
∴矩形CDOE是正方形，
∵OC＝OA=2，
∴OE＝1，
∴图中阴影部分的面积=90⋅π×2360-1×1=π2-1，
故选：B．
【方法总结】
本题考查了扇形面积的计算，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确识别图形是解题的关键．
【随堂练习】
1．（2020•淄川区二模）如图，在扇形OAB中，∠AOB＝100°30'，OA＝20，将扇形OAB沿着过点B的直线折叠，点O恰好落在AB的点D处，折痕交OA于点C，则AD的长为（ ）
A．4.5πB．5πC．203πD．7.2π
【解答】解：连接OD，
100°30′＝100.5°，
由折叠的性质可知，OB＝BD，
∴OD＝OB＝BD，
∴△OBD为等边三角形，
∴∠BOD＝60°，
∴∠AOD＝100.5°﹣60°＝40.5°，
∴AD的长=40.5π×20180=4.5π，
故选：A．
2．（2020•天桥区二模）如图，从一块直径为2m的圆形铁皮⊙O上剪出一个圆心角为90°的扇形ABC，且点A、B、C都在⊙O上，则此扇形的面积是（ ）
A．π2m2B．32πm2C．πm2D．2πm2
【解答】解：连接AC，
∵AB＝CB，∠ABC＝90°，AC＝2，
∴AB＝BC=2，
∴此扇形的面积是：90π×(2)2360=π2m2，
故选：A．
综合运用
1．（2020•资中县一模）已知⊙O中最长的弦长8cm，则⊙O的半径是（ ）
A．2cmB．4cmC．8cmD．16cm
【解答】解：∵⊙O中最长的弦为8cm，即直径为8cm，
∴⊙O的半径为4cm．
故选：B．
2．（2020秋•定西期末）在平面直角坐标系xOy中，若点P（4，3）在⊙O内，则⊙O的半径r的取值范围是（ ）
A．0＜r＜4B．3＜r＜4C．4＜r＜5D．r＞5
【解答】解：∵点P（4，3），
∴PO=42+32=5，
∵点P在⊙O内，
∴r＞OP，即r＞5，
故选：D．
3．（2020春•沙坪坝区校级月考）如图，一张扇形纸片OAC，∠AOC＝120°，OA＝8，连接AB，BC，AC，若OA＝AB，则图中阴影部分的面积为 32π3 （结果保留π）．
【解答】解：∵OA＝AB，OA＝OB，
∴OA＝OB＝AB，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB＝∠ABO＝60°，
∵∠AOC＝120°，
∴∠BOC＝120°﹣60°＝60°，
∴∠ABO＝∠BOC＝60°，
∴AB∥OC，
∴S△ABC＝S△ABO，
∴S阴＝S扇形AOB=60⋅π⋅82360=32π3．
故答案为32π3．
4．（2020秋•崆峒区期末）如图，AB，CD为⊙O内两条相交的弦，交点为E，且AB＝CD，求证：AD∥BC．
【解答】解：∵AB＝CD，
∴AB=CD，
∴AB-AD=CD-AD，
即AC=BD，
∴∠A＝∠B，
∴AD∥BC．
5．（2020秋•路北区期末）如图，AD是⊙O的弦，AC是⊙O直径，⊙O的切线BD交AC的延长线于点B，切点为D，∠DAC＝30°．
（1）求证：△ADB是等腰三角形；
（2）若BC=3，则AD的长为 3 ．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵∠DAC＝30°，
∴∠ADO＝∠DAC＝30°，∠DOC＝60°，
∵BD是⊙O的切线，
∴OD⊥BD，即∠ODB＝90°，
∴∠B＝30°，
∴∠DAC＝∠B，
∴DA＝DB，
即△ADB是等腰三角形．
（2）解：连接DC，
∵∠DAC＝∠B＝30°，
∴∠DOC＝60°，
∵OD＝OC，
∴△DOC是等边三角形，
∵，⊙O的切线BD交AC的延长线于点B，切点为D，
∴BC＝DC＝OC=3，
∴AD=AC2-DC2=(23)2-(3)2=3，
故答案为：3
6.（2020秋•同心县期末）如图，AB是⊙O的直径，点F、C是半圆弧ABC上的三等分点，连接AC，AF，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于点D，垂足为D．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AB＝4，求AC的长．
【解答】（1）证明：连结OC，如图，
∵F，C，B三等分半圆，
∴∠FAC＝∠BAC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠FAC＝∠OCA，
∴OC∥AF，
∵CD⊥AF，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：连结BC，如图，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∵F，C，B三等分半圆，
∴∠BOC=13×180°＝60°，
∴∠BAC＝30°，
∵AB＝4，
∴BC=12AB＝2，
∴AC=AB2-BC2=42-22=23．