人教版中考一轮复习 第7讲 平行四边形--提高班 学案

第7讲 平行四边形

知识点1 一般的平行四边形
1. 平行四边形的性质与判定
定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
平行四边形的性质：

如图，已知▱ABCD.

则①AB∥CD，AD∥BC，AB=CD，AD=BC;
②∠DAB=∠DCB,∠ADC=∠ABC;
③OA=OC,OB=OD.
拓展：①平行四边形的邻角互补；
②平行四边形具有中心对称性（自身旋转180°后与原图形重合）.
平行四边形的判定方法：
①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
④对角线互相平分的四边形是平行四边形；
⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
2. 两条平行线之间的距离
两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离.如图：AB∥CD，EF⊥CD.

EF是平行线AB，CD之间的距离.
结论：两条平行线之间的距离处处相等.
拓展：同底（等底）等高（同高）的平行四边形面积相等.
3. 三角形的中位线
图形：D，E分别为△ABC的边AB，AC的中点.

定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.（DE）
中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半.（DE∥BC，且DE=12BC）
注：三角形的中位线定理可利用平行四边形的性质与判定进行证明.（见课本P48探究）
拓展：梯形的中位线（两腰中点的连线）等于上底加下底和的一半. （连接梯形一条对角线，由中位线定理可证）
【典例】
例1（2020春•永春县期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，BE平分∠ABC交CD边于点E，且DE＝2，则BC的长为（　　）

A．6 B．5 C．4 D．3
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DC∥AB，CD＝AB＝5，
∴∠CEB＝∠ABE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC
∴∠CEB＝∠EBC，
∴BC＝CE，
∵CD＝5，DE＝2，
∴CE＝CD﹣DE＝5﹣2＝3，
∴BC＝3，
故选：D．
【方法总结】
本题考查了平行四边形的性质，解答本题的关键是根据平行线的性质和角平分线的意义得出∠CEB＝∠EBC．


例2（2020•霍林郭勒市模拟）在平面直角坐标系中，O为坐标系原点，A（﹣3，0）、B（﹣5，2）、C在坐标平面内，若以O、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形，则点C坐标为　（﹣2，2）或（﹣8，2）或（2，﹣2）　．
【解答】解：如图所示：

∵A（﹣3，0），
∴OA＝3，
①当四边形OACB是平行四边形时，BC＝OA＝3，
∵B（﹣5，2），
∴C（﹣2，2），
②当四边形OABC′是平行四边形时，BC'＝OA＝3，
∵B（﹣5，2），
∴C（﹣8，2）；
③当四边形OBAC′'是平行四边形时，
∵A（﹣3，0），B（﹣5，2），
∴C（2，﹣2），
故答案为：（﹣2，2）或（﹣8，2）或（2，﹣2）．
【方法总结】
本题考查平行四边形的判定与性质、坐标与图形性质等知识，解题的关键是学会利用平行四边形的性质，分情况讨论．
例3（2020春•南岗区校级期中）如图所示，BD是▱ABCD的对角线，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于F
（I）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若E是BF的中点，写出图中所有面积等于△ABE面积2倍的三角形．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴AE∥CF，∠AEB＝∠CFD＝90°，
在△AEB和△CFD中，
∠ABE=∠CDF∠AEB=∠DFCAB=CD，
∴△AEB≌△CFD（AAS），
∴AE＝CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
（2）解：∵△AEB≌△CFD，
∴BE＝DF，
∵E是BF的中点，
∴BE＝EF＝DF，
∴S△ABF＝S△AED＝S△BCF＝S△ECD＝2S△ABE．

∴图中所有面积等于△ABE面积2倍的三角形有：△ABF，△AED，△BFC，△ECD．
【方法总结】
此题考查了平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，三角形面积等知识，此题难度适中，证得△AEB≌△CFD，得到AE∥CF且AE＝CF是解此题的关键．
【随堂练习】
1．（2020春•沙坪坝区校级月考）如图，在平行四边形ABCD中，对角线BD的中垂线EF分别交AD、BC于点E、F，连接BE，已知△ABE的周长是5，则平行四边形ABCD的周长为（　　）

A．10 B．12 C．15 D．20
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC＝AB，AD＝BC，
∵BD的中垂线EF分别交AD、BC于点E、F，
∴BE＝DE，
∴△ABE的周长＝AB+AE+BE＝AB+AE+ED＝AB+AD＝5，
∴▱ABCD的周长＝2×5＝10，
故选：A．
2．（2020春•西市区期末）如图，平行四边形ABCD中，AB＝8cm，AD＝12cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止），在运动以后，以P、D、Q、B四点组成平行四边形的次数有　3　次．

【解答】解：设经过t秒，以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，
∵以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，
∴DP＝BQ，
分为以下情况：①点Q的运动路线是C﹣B，方程为12﹣4t＝12﹣t，
此时方程t＝0，此时不符合题意；
②点Q的运动路线是C﹣B﹣C，方程为4t﹣12＝12﹣t，
解得：t＝4.8；
③点Q的运动路线是C﹣B﹣C﹣B，方程为12﹣（4t﹣24）＝12﹣t，
解得：t＝8；
④点Q的运动路线是C﹣B﹣C﹣B﹣C，方程为4t﹣36＝12﹣t，
解得：t＝9.6；
⑤点Q的运动路线是C﹣B﹣C﹣B﹣C﹣B，方程为12﹣（4t﹣48）＝12﹣t，
解得：t＝16，
此时P点走的路程为16＞AD，此时不符合题意．
∴共3次．
故答案为：3．



3．（2020•山西模拟）如图，在线段AD上有两点E，F，且AE＝DF，过点E，F分别作AD的垂线BE和CF，连接AB，CD，BF，CE，且AB∥CD．求证：四边形BECF是平行四边形．

【解答】证明：∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠AEB＝∠BEF＝∠CFE＝∠CFD＝90°，
∴BE∥CF，
∵AB∥CD，
∴∠A＝∠D，
在△AEB和△DFC中，
∠AEB=∠DFCAE=DF∠A=∠D，
∴△AEB≌△DFC（ASA），
∴BE＝CF，
∵BE∥CF，
∴四边形BECF是平行四边形．
知识点2 矩形
矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.如图：矩形ABCD.

1. 矩形的性质
矩形除了具有平行四边形的所有性质外，还具有自己特有的性质，如下：
①矩形的四个角都是直角；（∠BAD=∠ADC=∠DCB=∠CBA=90°）
②矩形的对角线相等；（AC=BD）
③对称性：矩形是一个轴对称图形，它有两条对称轴.（对称轴是对边中点的连线）
推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.（在Rt△ADC中，DO为斜边AC的中线，
则DO=12AC）
拓展：若三角形一边上的中线等于该边的一半，则该三角形为直角三角形.
2. 矩形的判定
矩形的判定方法：
①有一个角时直角的平行四边形是矩形；
②对角线相等的平行四边形是矩形；
③三个角都是直角的四边形是矩形.
3. 拓展
矩形的两条对角线把矩形分成四个面积相等的等腰三角形.
【典例】
例1（2020春•香洲区校级期中）如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC、BD相交于点O，若AB＝OB＝5．则AC＝（　　）

A．10 B．5 C．53 D．8
【解答】解：∵矩形ABCD中，AB＝OB＝5，
∴BD＝2OB＝2×5＝10，
∴AC＝BD＝10，
故选：A．
【方法总结】
考查了矩形的性质，解题的关键是了解矩形的对角线互相平分且相等，难度较小．
例2（2020•安徽模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，E为BC边的中点，则点E到中线CD的距离EF的长为（　　）

A．3 B．4 C．125 D．245
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝10，
∵中线CD，
∴AD＝BD＝CD＝5，△BDC的面积=12△ABC的面积=12×12×6×8=12
连接DE，
∵E为BC边的中点，
∴△DEC的面积=12△BDC的面积＝6，
∵△DEC的面积=12DC⋅EF，
可得：12×5×EF=6，
解得：EF=125，
故选：C．
【方法总结】
此题考查直角三角形的性质，关键是根据勾股定理得出AB，进而利用直角三角形的性质得出BD＝DC＝AD＝5解答．
例3（2020春•云县期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC，对角线AC、BD相交于点O，OA＝OB．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若AB＝5，∠AOB＝60°，求BC的长．

【解答】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，∠ADC+∠BCD＝180°，
∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠BAD＝∠BCD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC=12AC，OB＝OD=12BD，
∵OA＝OB，
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形．
（2）解：∵OA＝OB，∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA＝AB＝5，
由（1）得：四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，AC＝2OA＝10，
∴BC=AC2-AB2=102-52=53．
【方法总结】
本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握矩形的判定与性质，属于中考常考题型．
【随堂练习】
1．（2020春•云县期中）如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝CA，连接AE，若∠BAC＝52°，则∠E的度数是（　　）

A．18° B．19° C．20° D．40°
【解答】解：∵CE＝CA，
∴∠E＝∠CAE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∴∠ACB＝90°﹣∠BAC＝90°﹣52°＝38°，
∵∠ACB＝∠E+∠CAE＝2∠E，
∴∠E＝19°；
故选：B．
2．（2020春•蚌埠期末）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠DAC＝45°，∠BAC＝30°，E是AC的中点，连接BE，BD．则∠DBE的度数为（　　）

A．10° B．12° C．15° D．18°
【解答】解：连接DE，
∵∠ADC＝90°，E是AC的中点，
∴DE=12AC＝AE，
∴∠EDA＝∠DAC＝45°，
∴∠DEC＝∠EDA+∠DAC＝90°，
同理，∠BEC＝60°，
∴∠DEB＝90°+60°＝150°，
∵DE=12AC，BE=12AC，
∴DE＝BE，
∴∠DBE=12×（180°﹣150°）＝15°，
故选：C．

3．（2020秋•海曙区月考）如图，已知Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，AB＝6，M为边BC上的一个动点，ME⊥AB，MF⊥AC，则EF的最小值为（　　）

A．6 B．63 C．33 D．3
【解答】解：∵∠BAC＝90°，ME⊥AB，MF⊥AC，
∴∠A＝∠AEP＝∠AFP＝90°，
∴四边形AEMF是矩形，
∴EF＝AM，
要使EF最小，只要AM最小即可，
过A作AM⊥BC于M，此时AM最小，
在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，AB＝6，
∴AM=32AB＝33，
即EF＝33
故选：C．
4．（2020春•长清区期末）已知：如图，在矩形ABCD中，E是AB的中点，连接DE、CE．
（1）求证：△ADE≌△BCE；
（2）若AB＝12，AD＝8，求△CDE的周长．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠A＝∠B＝90°，AB＝CD，
∵E是AB的中点，
∴AE＝BE．
在△ADE与△BCE中，AD=BC∠A=∠BAE=BE，
∴△ADE≌△BCE（SAS）；
（2）由（1）知：△ADE≌△BCE，
∴DE＝CE．
在Rt△ADE中，AD＝8，AE=12AB＝6，CD＝AB＝12，
由勾股定理知，DE=AD2+AE2=82+62=10，
∴△CDE的周长＝CE+DE+CD＝2DE+AB＝2×10+12＝32．


知识点3 菱形
菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 如图：菱形ABCD.

1. 菱形的性质
菱形除了具有平行四边形的所有性质外，还具有自己特有的性质，如下：
①菱形的四条边都相等；（AB=BC=CD=AD）
②菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；（AC⊥BD，AC是∠DAB
和∠DCB的角平分线，BD是∠ADC和∠CBA的角平分线）
③对称性：菱形是一个轴对称图形，它有两条对称轴.（对称轴是它的两条对角线所在的直
线（AC，BD））
2. 菱形的判定
菱形的判定方法：
①有一组邻边相等的平行四边形是菱形；
②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
③四条边相等的四边形是矩形.
3. 拓展
①菱形的两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形；
②菱形的面积等于两对角线乘积的一半.
【典例】
例1（2020春•温州期中）如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC＝12，BD＝16，点P为边BC上一点，且P不与B、C重合．过P作PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，连结EF，则EF的最小值为（　　）

A．4 B．4.8 C．5 D．6
【解答】解：连接OP，

∵四边形ABCD是菱形，AC＝12，BD＝16，
∴AC⊥BD，BO=12BD＝8，OC=12AC＝6，
∴BC=OB2+OC2=64+36=10，
∵PE⊥AC，PF⊥BD，AC⊥BD，
∴四边形OEPF是矩形，
∴FE＝OP，
∵当OP⊥BC时，OP有最小值，
此时S△OBC=12OB×OC=12BC×OP，
∴OP=6×810=4.8，
∴EF的最小值为4.8，
故选：B．
【方法总结】
本题考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，掌握菱形的性质是本题的关键．
例2（2020春•五莲县期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F分别为边AB、CD的中点，连结DE、DB、BF．
（1）求证：∠DEB＝∠BFD；
（2）若∠ADB＝90°，证明：四边形BFDE是菱形．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC＝AB且DC∥AB，
∵E，F分别为边AB、CD上的中点，
∴DF=12DC，BE＝AB，且DF∥BE，
∴DF＝BE且DF∥BE，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴∠DEB＝∠BFD；
（2）证明：∵E为边AB的中点，
∴AE＝BE，
∵∠ADB＝90°，
∴△ADB为直角三角形
∴DE=12AB＝BE，
由（1）得，四边形BFDE是平行四边形，
∴平行四边形BFDE是菱形．
【方法总结】
此题主要考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质、直角三角形的性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
【随堂练习】
1．（2020春•长兴县期中）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，若AB＝3，则菱形ABCD的面积是（　　）
A．943 B．83 C．925 D．923
【解答】解：如图，过点A作AM⊥BC于点M，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝3，
∵∠ABC＝60°，AM⊥BC，
∴∠BAM＝30°，
∴BM=12AB=32，AM=3BM=332，
∴菱形ABCD的面积＝BC×AM＝3×332=932；
故选：D．

2．（2020•海陵区一模）已知：如图，BD是△ABC的角平分线，点E、F分别在AB、BC上，且ED∥BC，EF∥AC．
（1）求证：BE＝DE；
（2）当AB＝AC时，试说明四边形EFCD为菱形．

【解答】（1）证明：∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠EBD＝∠CBD，
∵DE∥BC，
∴∠CBD＝∠EDB，
∴∠EBD＝∠EDB，
∴BE＝DE；
（2）解：∵ED∥BC，EF∥AC，
∴四边形EFCD为平行四边形，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∵EF∥AC，
∴∠EFB＝∠C，
∴∠EBC＝∠EFB，
∴BE＝FE，
而BE＝DE，
∴DE＝FE，
而四边形EFCD为平行四边形，
∴四边形EFCD为菱形．
3.（2020春•麻城市校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，DB＝DA，∠ADB的平分线交AB于点F，交CB的延长线于点E，连接AE．
（1）求证：四边形AEBD是菱形；
（2）若DC＝6，EF：BF＝2：1，求菱形AEBD的面积．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADE＝∠DEB，
∵DE平分∠ADB，
∴∠ADE＝∠BDE，
∴∠BED＝∠BDE，
∴BE＝BD，
∵BD＝DA，
∴AD＝BE，且AD∥BE，
∴四边形ADBE是平行四边形，
∵AD＝BD，
∴四边形AEBD是菱形．
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝6，
∵四边形AEBD是菱形，
∴AB⊥DE，AF＝FB=12AB＝3，EF＝DF，
∵EF：BF＝2：1，
∴EF＝2BF＝6，
∴DE＝2EF＝12，
∴菱形AEBD的面积=12AB•DE=12×6×12＝36

知识点4 正方形
正方形：有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形. 如图：正方形ABCD.

1. 正方形的性质
正方形除了具有平行四边形的所有性质外，还具有矩形和菱形的所有性质，如下：
①正方形的对边平行且相等；（AB∥CD，AB=CD；BC∥AD，BC=AD）
②正方形的四条边都相等；（AB=BC=CD=AD）
③正方形的四个角都是直角；（∠BAD=∠ADC=∠DCB=∠CBA=90°）
④正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角；（AC=BD，
AC⊥BD，OA=OB=OC=OD，AC是∠DAB和∠DCB的角平分线，BD是∠ADC和∠CBA
的角平分线）
⑤对称性：正方形是一个轴对称图形，它有四条对称轴.（对称轴是它对边中点的连线和它
的两条对角线所在的直线（AC，BD））
2. 正方形的判定
正方形的判定方法：
①有一组邻边相等的矩形是正方形；
②有一个角是直角的菱形是正方形.
判定正方形的思路图：

3. 拓展
正形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形.
【典例】
例1（2020秋•南岗区校级月考）如图，在正方形ABCD中，AB＝2，点E为边BC中点，P为正方形边上一点，且PB＝AE，则PE的长为　2或2　．

【解答】解：当点P在AD边上时，
∵PB＝AE，点E为边BC中点，
∴点P为边AD中点，
∴PE＝AB＝2；
当点P在CD边上时，
∵PB＝AE，点E为边BC中点，
∴点P为边CD中点，
∴PE=CE2+CP2=12+12=2．
所以PE的长为：2或2．
故答案为：2或2．
【方法总结】
本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握正方形的性质．
例2（2020秋•大田县期中）已知：如图，点D是△ABC中BC边上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是点EF，且BF＝CE．
（1）求证：Rt△BDF≌Rt△CDE
（2）问：△ABC满足什么条件时，四边形AEDF是正方形，并说明理由．

【解答】（1）证明：∵DE⊥AC，DF⊥AB，
∴∠BDF＝∠CED＝90°
∵点D是△ABC中BC边上的中点，
∴BD＝CD，在Rt△BDF和Rt△CDF中，BD=CDBF=CE，
∴Rt△BDF≌Rt△CDE（HL）；
（2）解：当△ABC满足∠A＝90°（答案不唯一）时，四边形AEDF是正方形；理由如下：
∵∠BDF＝∠CED＝90°，∠A＝90°，
∴四边形AEDF是矩形，
∵Rt△BDF≌Rt△CDE，
∴DE＝DF，
∴四边形AEDF是正方形．
【方法总结】
此题主要考查了正方形的判定、全等三角形的判定和性质、矩形的判定等知识；熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
【随堂练习】
1．（2020春•临高县期末）如图，点P为正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥CD于E，PF⊥BC于点F．
（1）求证：PA＝PC；
（2）若正方形ABCD的边长为1，求四边形PFCE的周长．

【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CB，∠ABD＝∠CBD＝45°，∠C＝90°，
在△ABP与△CBP中，
AB=CB∠ABP=∠CBPBP=BP，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴PA＝PC；
（2）∵PE⊥CD，PF⊥BC，
∴∠PFC＝90°，∠PEC＝90°．
又∵∠BCD＝90°，
∴四边形PFCE是矩形，
∴EC＝PF，PE＝CF，
∵∠CBD＝45°，∠PFB＝90°，
∴BF＝PF，
又∵BC＝1，
∴矩形PFCE的周长为2（PF+FC）＝2（BF+FC）＝2BC＝2．
2．（2020春•阳西县期末）如图，在矩形ABCD中，AD＝6，DC＝8，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，DA上，AH＝2，DG＝2．求证：四边形EFGH为正方形．

【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，四边形HEFG为菱形，
∴∠D＝∠A＝90°，HG＝HE，又AH＝DG＝2，
∴Rt△AHE≌Rt△DGH（HL），
∴∠DHG＝∠HEA，
∵∠AHE+∠HEA＝90°，
∴∠AHE+∠DHG＝90°，
∴∠EHG＝90°，
∴四边形HEFG为正方形．
3．（2020春•邹城市期末）如图，▱ABCD中，∠A＝45°，过点D作ED⊥AD交AB的延长线于点E，且BE＝AB，连接BD，CE．
（1）求证：四边形BDCE是正方形；
（2）P为线段BC上一点，点M，N在直线AE上，且PM＝PB，∠DPN＝∠BPM．求证：AN=2PB．

【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∵BE＝AB，
∴BE∥CD，
∴四边形BDCE是平行四边形，
∵ED⊥AD，∠A＝45°，
∴∠A＝∠DEA＝45°，
∴AD＝DE，
∴△ADE是等腰直角三角形，
又∵AB＝BE，
∴DB＝BE，DB⊥BE，
∴平行四边形BDCE是正方形；
（2）∵四边形BDCE是正方形，
∴BD＝BE＝AB，∠DBP＝∠EBP＝45°，
∵PM＝PB，
∴∠PBM＝∠PMB＝45°，
∴∠BPM＝90°，
∴∠DPN＝∠BPM＝90°，
∴∠DPB＝∠NPM，
在△DBP和△NMP中，
∠DPB=∠NPM∠DBP=∠NMP=45°BP=PM，
∴△DBP≌△NMP（AAS），
∴DB＝MN，
∴AB＝NM，
∴AN＝BM，
∵BP＝PM，∠BPM＝90°，
∴BM=2BP，
∴AN=2BP．
知识点4 中点四边形
1. 中点四边形：顺次连接四边形各边中点所得的四边形，我们称之为中点四边形.

如图，点E，F，G，H分别为四边形ABCD各边的中点，则四边形EFGH为中点四边形.
2. 常见中点四边形
①四边形的中点四边形为平行四边形；
②矩形的中点四边形为菱形；
③菱形的中点四边形为矩形；
④正方形的中点四边形为正方形；
⑤等腰梯形的中点四边形为菱形；
⑥对角线相等的中点四边形为菱形；
⑦对角线互相垂直的中点四边形为矩形.
【典例】
例1（2020秋•南沙区期中）如图，点D为Rt△ABC中的一点，∠BAC＝90°，AD⊥BD，AD＝3，BD＝4，AC＝12，E、F、G、H分别是线段AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长为（　　）

A．7 B．9 C．16 D．17
【解答】解：在Rt△ADB中，AB=AD2+BD2=32+42=5，
在Rt△ABC中，BC=AB2+AC2=52+122=13，
∵E、F、G、H分别是线段AB、AC、CD、BD的中点，
∴EF=12BC=132，HG=12BC=132，EH=12AD=32，FG=12AD=32，
∴四边形EFGH的周长＝EF+FG+GH+EH＝16，
故选：C．
【方法总结】
本题考查的是勾股定理、三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
例2（2020春•兰州期末）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO的中点．
（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；
（2）若AC+BD＝36，AB＝10，求△OEF的周长．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO，
∵E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO的中点，
∴EO=12AO，GO=12CO，FO=12BO，HO=12DO，
∴EO＝GO，FO＝HO，
∴四边形EFGH是平行四边形；
（2）解：∵E、F分别是AO、BO的中点，
∴EF=12AB=12×10＝5，
∵AC+BD＝36
∴AO+BO＝18，
∴EO+FO＝9，
∴△OEF的周长＝OE+OF+EF＝9+5＝14．
【方法总结】
本题考查的是平行四边形的性质和判定、三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
【随堂练习】
1．（2020秋•魏县月考）如图，在任意四边形ABCD中，AC，BD是对角线，E，F，G，H分别是线段AB，BC，CD，AD上的点，对于四边形EFGH的形状，某班的学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（　　）

A．当E，F，G，H是各条线段的中点时，四边形EFGH为平行四边形
B．当E，F，G，H不是各条线段的中点时，四边形EFGH可以为平行四边形
C．当E，F，G，H是各条线段的中点时，且AC＝BD，四边形EFGH为菱形
D．当E，F，G，H不是各条线段的中点时，四边形EFGH不可能为菱形
【解答】解：A、∵E，F，G，H是各条线段的中点，
∴EH=12BD，EH∥BD，GF=12BD，GF∥BD，EF=12AC，
∴EH＝GF，EH∥GF，
∴四边形EFGH为平行四边形，本选项说法正确，不符合题意；
B、当E，F，G，H不是各条线段的中点时，
如果EF∥GH，EF∥GH，那么四边形EFGH可以为平行四边形，本选项说法正确，不符合题意；
C、当AC＝BD时，EH＝EF，
∴平行四边形EFGH为菱形，本选项说法正确，不符合题意；
D、由B选项可知，当E，F，G，H不是各条线段的中点时，四边形EFGH可以为平行四边形，
当EH＝EF时，平行四边形EFGH为菱形，本选项说法错误，符合题意；
故选：D．
2．（2020春•工业园区期末）已知：如图，在四边形ABCD中，AB与CD不平行，E，F，G，H分别是AD，BC，BD，AC的中点．
（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；
（2）①当AB与CD满足条件　AB＝CD　时，四边形EGFH是菱形；
②当AB与CD满足条件　AB⊥CD　时，四边形EGFH是矩形．

【解答】（1）证明：∵E，G分别是AD，BD的中点，
∴EG是△DAB的中位线，
∴EG=12AB，EG∥AB，
同理，FH=12AB，FH∥AB，
∴EG＝FH，EG∥FH，
∴四边形EGFH是平行四边形；
（2）①∵F，G分别是BC，BD的中点，
∴FG是△DCB的中位线，
∴FG=12CD，FG∥CD，
当AB＝CD时，EG＝FG，
∴四边形EGFH是菱形；
②∵HF∥AB，
∴∠HFC＝∠ABC，
∵FG∥CD，
∴∠GFB＝∠DCB，
∵AB⊥CD，
∴∠ABC+∠DCB＝90°，
∴∠HFC+∠GFB＝90°，
∴∠GFH＝90°，
∴平行四边形EGFH是矩形，
故答案为：①AB＝CD；②AB⊥CD．

综合运用
1.（2020春•东坡区期末）如图，平行四边形ABCD的周长为40，△BOC的周长比△AOB的周长多10，则BC长为（　　）

A．20 B．5 C．10 D．15
【解答】解：∵△BOC的周长比△AOB的周长多10，
∴BC﹣AB＝10，①
∵平行四边形ABCD的周长为40，
∴BC+AB＝20，②
由①+②，可得2BC＝30，
∴BC＝15．
故选：D．
2．（2020•工业园区一模）如图，在四边形ABCD中，已知AD∥BC，∠BCD＝90°，∠ABC＝45°，BD平分∠ABC，若CD＝1cm，则AC等于（　　）

A．2cm B．3cm C．2cm D．1cm
【解答】解：过D作DE⊥BA交BA的延长线于E，
∵∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，
∴DE＝CD，
∵CD＝1，
∴DE＝1，
∵AD∥BC，∠ABC＝45°，
∴∠EAD＝∠ABC＝45°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴AE＝DE＝1，
∴AD=2，
∵AD∥BC，∠BCD＝90°，
∴∠ADC＝90°，
∴AC=AD2+CD2=(2)2+12=3，
故选：B．

3．（2020春•防城港期末）如图，四边形AFDC是正方形，∠CEA和∠ABF都是直角，且点E，A，B三点共线，CE＝5，求AB的长．

【解答】解：∵ 四边形AFDC是正方形，
∴ CA ＝AF，∠CAF＝ 90°，
∵ 点E，A，B三点共线，
∴ ∠EAC +∠BAF ＝ 180°﹣∠CAF ＝ 90°，
又∵ ∠CEA ＝∠ABF ＝ 90°，
∴ ∠EAC +∠ECA ＝ 90°，
∴ ∠ECA ＝∠BAF，
∴ △CEA ≌ △ABF（AAS），
∴ AB ＝ CE＝ 5．
4．（2020春•秦淮区期末）如图，四边形ABCD是菱形，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，连接EF、FG、GH、HE．求证：四边形EFGH是矩形．

【解答】证明：连接 AC、BD，
∵E、F 分别为 AB、BC 中点，
∴EF 为△ABC 中位线．
∴EF∥AC 且 EF=12AC．
同理可得：HG∥AC 且 HG=12AC，EH∥BD．
∴EF∥HG 且 EF＝HG．
∴四边形 EFGH 为平行四边形．
∵四边形 ABCD 是菱形，
∴AC⊥BD．
∵EF∥AC，
∴EF⊥BD．
∵EH∥BD，
∴EH⊥EF．
∴∠FEH＝90°．
∴四边形 EFGH 是矩形．

5.（2020春•江汉区期末）如图，E，F是▱ABCD对角线BD上两点，且BE＝DF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）连接AC，若∠BAF＝90°，AB＝4，AF＝AE＝3，求AC的长．

【解答】（1）证明：连接AC，交BD于点O，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵BE＝DF，
∴OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF，
∵OA＝OC，
∴四边形AECF是平行四边形．
（2）解：∵∠BAF＝90°，AB＝4，AF＝3，
∴BF=AB2+AF2=42+32=5，
∵四边形AECF是平行四边形，AE＝AF，OE＝OF，OA＝OC，
∴四边形AECF是菱形，
∴AC⊥EF，
∴OA2＝AB2﹣OB2＝AE2﹣OE2，
∴42﹣（5﹣OF）2＝32﹣OF2，
解得：OF＝1.8，
∴OA=32-1．82=2.4，
∴AC＝2OA＝4.8．