人教版中考一轮复习 第10讲 统计与概率--提高班

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知识点1 数据的收集、整理与描述
1. 普查和抽样调查
普查：为一特定目的而对所有考查对象所做的调查叫普查．
好处：调查结果准确；
缺点：花费多，工作量大，全面调查只在样本很少的情况下适合采用；
抽样调查：为一特定目的而对部分考查对象所做的调查叫做抽样调查．
好处：耗费的人力，物力，财力少，工作量小；
缺点：调查结果不如普查精确，受样本容量大小及其代表性影响较大；
2.总体、个体、样本、样本容量
总体：所考察对象的全体；
个体：组成总体的每一个考察对象；
样本：从总体重所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本；
样本容量：样本中的个体数目；
3.常见的统计图有：扇形统计图、条形统计图和折线统计图．
扇形统计图用圆中各扇形的面积描述各统计项目占总体的百分比；
条形统计图用宽度相同的“条形”的高度描述各统计项目的数据；
折线统计图用折线描述数据的变化过程和趋势．
扇形统计图中，扇形的圆心角=该统计项目占总体的百分比×360°．
4.在选择制作统计图时，需要根据了解的情况而定：
若要清楚地表示出各统计项目在总体重所占的百分比，则选择扇形统计图；
若要清楚地反映数据的变化过程和趋势，则选择折线统计图；
若要清楚地表示出每个统计项目的具体数据，则选择条形统计图．
5.频数：某个对象出现的次数称为该对象的频数，各频数之和为试验的总次数．
6.频率：频数与总次数的比值称为频率．
7.频数分布表
（1）在统计数据时，经常把数据按照不同的范围分成几个组，分成的组的个数称为组数，每一组两个端点的差称为组距，称这样画出的统计图表为频数分布表．
（2）列频数分布表的步骤：
①计算极差，即计算最大值与最小值的差．
②决定组距与组数（一般100以内的数据分成5～12组）．
③决定分点，常使分点比数据多一位小数，并且把第一组的起点稍微减小一些．
④列频数分布表．
组数的决定方法：设数据总数目为n，一般地，当n≤50时，分为5~8组；当50≤n≤100时，则分为8~12组．
分点的决定方法：若数据为整数，则分点数据减去0.5；若数据是保留小数点后的一位数，则分点数据减去0.05．
8.频数分布直方图
画出频数分布表以后，构造一个坐标系，用横轴表示各组数据，纵轴表示频数，以该组内的频数为高，组距为宽，画一个长方形，每组两端的数据也可以用中位数来代替．各小组的频数之和等于数据总数．
【典例】
例1（2020秋•大东区期末）下列调查中，调查方式选择合理的是（ ）
A．为了了解新型炮弹的杀伤半径，选择全面调查
B．为了了解某种灯泡的使用寿命，选择抽样调查
C．为了了解神州飞船的设备零件的质量情况，选择抽样调查
D．为了了解一批袋装食品是否含有防腐剂，选择全面调查
【解答】解：A、为了了解新型炮弹的杀伤半径，适合选择抽样调查，故本选项不合题意；
B、为了了解某种灯泡的使用寿命，适合选择抽样调查，故本选项符合题意；
C、为了了解神州飞船的设备零件的质量情况，适合选择全面调查，故本选项不合题意；
D、为了了解一批袋装食品是否含有防腐剂，适合选择抽样调查，故本选项不合题意；
故选：B．
【方法总结】
本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
例2（2020秋•昌图县期末）小明对本班同学阅读兴趣进行调查统计后，欲通过统计图来反映同学感兴趣的各类图书所占百分比，最适合的统计图是（ ）
A．条形统计图B．折线统计图C．扇形统计图D．频数直方图
【解答】解：欲反映学生感兴趣的各类图书所占百分比，最适合的统计图是扇形统计图．
故选：C．
【方法总结】
本题主要考查了统计图的应用，熟练掌握各种统计图的特点是解答本题的关键．
例3（2020秋•沙坪坝区校级月考）某通讯公司想了解5G手机的使用情况，在某小区随机对300位居民进行了问卷调查，结果其中有9位居民使用了5G手机．下列关于该调查说法错误的是（ ）
A．该调查方式是抽样调查
B．样本是9位居民
C．样本容量是300
D．5G手机在该小区的使用率约是3%
【解答】解：A、该调查方式是抽样调查，说法正确，故本选项不符合题意；
B、样本是300位居民使用5G手机情况，所以原说法错误，故本选项符合题意；
C、样本容量是300，说法正确，故本选项不符合题意；
D、9300=0.03，所以5G手机在该小区的使用率约是3%，说法正确，故本选项不符合题意；
故选：B．
【方法总结】
此题主要考查了总体、个体、样本、样本容量以及抽样调查，关键是掌握样本容量只是个数字，没有单位．
例4 （2020春•无棣县期末）将50个数据分成5组列出频数分布表，其中第一组的频数为8，第二组与第五组的频数之和为20，第三组的频率为0.2，则第四组的频率为 0.24 ．
【解答】解：第三组的频数为：50×0.2＝10，
所以第四组的频数为：50﹣8﹣20﹣10＝12，
其频率为：1250=625=0.24．
故答案为：0.24．
【方法总结】
本题考查了频率、频数及总数间关系，掌握频率=频数总数，各频数之和等于总数，各频率之和等于1是解决本题的关键．
例5（2020秋•兰州期末）某校为了解七、八年级学生对“防溺水”安全知识的掌握情况．从七、八年级各随机抽取50名学生进行测试．并对成绩（百分制）进行整理、描述和分析．部分信息如下：
a．七年级成绩频数分布直方图：
b．七、八年级成绩的平均数、中位数如下：
c．七年级成绩在70≤x＜80这一组的是：70，72，74，75，76，76，77，77，77，78，79．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）在这次测试中，七年级在80分以上（含80分）的有 23 人；
（2）表中m的值为 78 ；
（3）在这次测试中，七年级学生甲与八年级学生乙的成绩都是78分，请判断两位学生在各自年级的排名谁更靠前，并说明理由；
（4）该校七年级学生有400人，假设全部参加此次测试，请估计七年级成绩超过平均数76.9分的人数．
【解答】解：（1）在这次测试中，七年级在80分以上（含80分）的有15+8＝23人，
故答案为：23；
（2）七年级50人成绩的中位数是第25、26个数据的平均数，而第25、26个数据分别为77、78，
∴m=77+782=77.5，
故答案为：77.5；
（3）甲学生在该年级的排名更靠前，
∵七年级学生甲的成绩大于中位数77.5分，其名次在该年级抽查的学生数的25名之前，
八年级学生乙的成绩小于中位数79.5分，其名次在该年级抽查的学生数的25名之后，
∴甲学生在该年级的排名更靠前．
（4）估计七年级成绩超过平均数76.9分的人数为400×5+15+850=224（人）．
【方法总结】
本题主要考查频数分布直方图、中位数及样本估计总体，解题的关键是根据直方图得出解题所需数据及中位数的定义和意义、样本估计总体思想的运用．
【随堂练习】
1．（2020秋•福田区期末）国务院决定于2020年11月1日零时开展第七次全国人口普查，人口调查采用普查方式的理由是（ ）
A．人口调査需要获得全面准确的信息
B．人口调查的数目不太大
C．人口调查具有破坏性
D．受条件限制，无法进行抽样调查
【解答】解：国务院决定于2020年11月1日零时开展第七次全国人口普查，人口调查采用普查方式的理由是：人口调査需要获得全面准确的信息；
故选：A．
2．（2020秋•和平区期末）能清楚的看出每个项目的具体数量的统计图是（ ）
A．扇形统计图B．折线统计图
C．条形统计图D．以上三种均可
【解答】解：条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目，故C符合题意．
故选：C．
3．（2020春•常州期中）将一批数据分成4组，并列出频率分布表，其中第一组的频率是0.23，第二组与第四组的频率之和是0.52，那么第三组的频率是 0.25 ．
【解答】解：1﹣0.23﹣0.52＝0.25，
故答案为：0.25．
4．（2020春•兴化市月考）为了了解2019年秋学期兴化市八年级学生学业水平考试的数学成绩，从中随机抽取了700名学生的数学成绩．下列说法正确的是（ ）
A．2019年秋学期兴化市八年级学生的全体是总体
B．每一名八年级学生是个体
C．从中抽取的700名八年级学生的数学成绩是总体的一个样本
D．样本容量是700名
【解答】解：A．总体是2019年秋学期兴化市八年级全体同学的“数学成绩”，因此选项A不符合题意；
B． 每一名八年级学生的数学成绩是个体，因此选项B不符合题意；
C．从中抽取的700名八年级学生的数学成绩是总体的一个样本，因此选项C符合题意；
D． 样本容量为700，没有单位，因此选项D不符合题意；
故选：C．
5．（2020秋•道外区期末）为了了解春节晚会群众喜爱节目类型（“歌舞类”、“语言类”、“戏曲类”、“其他”）情况，对某地区的部分群众的喜爱节目类型做了调查，其中每人只能填选一项，现根据调查情况绘制了如图直方图和扇形统计图．请根据图中信息解答下列问题：
（1）此次调查中一共调查了多少人？
（2）求所调查的群众中，喜爱“戏曲”的人数，并补全直方图的空缺部分；
（3）若该地区共有人口360万人，估计该地区喜爱“语言类”约有多少人．
【解答】解：（1）39÷26%＝150（人），
答：此次调查中一共调查了150人；
（2）所调查的群众中，喜爱“戏曲”的人数为150×20%＝30（人），
喜爱“语言”的人数为150﹣（36+30+39）＝45（人），
补全图形如下：
（3）该地区喜爱“语言类”约有360×45150=108（万人）．
6．（2020秋•文山市期末）某中学积极开展跳绳锻炼，一次体育测试后，体育委员统计了全班同学单位时间的跳绳次数，列出了频数分布表和频数分布直方图，如图：
（1）补全频数分布表和频数分布直方图．
（2）表中组距是 20 次，组数是 7 组．
（3）跳绳次数在100≤x＜140范围的学生有 31 人，全班共有 50 人．
（4）若规定跳绳次数不低于140次为优秀，求全班同学跳绳的优秀率是多少？
【解答】解：（1）如图，成绩在60≤x＜80的人数为2人，成绩在160≤x＜180的人数为4人，
（2）表中组距是20次，组数是7组．
（3）跳绳次数在100≤x＜140范围的学生有31人，全班人数为2+4+18+13+8+4+1＝50（人）；
故答案为2，4；20，7；31，50；
（4）跳绳次数不低于140次的人数为8+4+1＝13，
所以全班同学跳绳的优秀率=1350×100%＝26%．
知识点2 数据的分析
1.数据的集中趋势
（1）算术平均数：
把一组数据的总和除以这组数据的个数所得的商.
公式：x=x1+x2+…+xnn
使用：当所给数据x1，x2，…，xn中各个数据的重要程度相同时，一般使用该公式计算平均数.
（2）加权平均数：
若n个数x1，x2，…，xn的权分别是w1，w2，…，wn，则x1w1+x2w2+…+xnwnw1+w2+…+wn叫做这n个数的加权平均数.
使用：当所给数据x1，x2，…，xn中各个数据的重要程度（权）不同时，一般选用加权平均数计算平均数.
权的意义：权就是权重，即数据的重要程度.
常见的权：1）数值、2）百分数、3）比值、4）频数等。
（3）组中值：
数据分组后，一个小组的组中值是指这个小组的两个端点的数的平均数，统计中常用各组的组中值代表各组的实际数据.
（4）中位数：
将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数.
意义：在一组互不相等的数据中，小于和大于它们的中位数的数据各占一半.
（5）众数：
一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数.
特点：可以是一个也可以是多个.
用途：当一组数据中有较多的重复数据时，众数往往是人们所关心的一个量.
（6）平均数、中位数、众数的区别：
平均数能充分利用所有数据，但容易受极端值的影响；中位数计算简单，它不易受极端值的影响，但不能充分利用所有数据；当数据中某些数据重复出现时，人们往往关心众数，但当各个数据的重复次数大致相等时，众数往往没有意义.
2.数据的波动
（1）极差：
一组数据中的最大数据与最小数据的差叫做这组数据的极差.
（2）方差：
各个数据与平均数之差的平方的平均数，记作s2.用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，计算公式是：
s2=1n(x1-x)2+(x2-x)2+…+(xn-x)2
意义：方差（s2）越大，数据的波动性越大，方差越小，数据的波动性越小.
结论：①当一组数据同时加上一个数a时，其平均数、中位数、众数也增加a,而其方差不变；
②当一组数据扩大k倍时，其平均数、中位数和众数也扩大k倍，其方差扩大k2倍.
【典例】
例1（2020春•瑞安市期中）八年级某班五个合作学习小组人数如下：5，7，6，x，7．已知这组数据的平均数是6，则x的值为（ ）
A．7B．6C．5D．4
【解答】解：∵5，7，6，x，7的平均数是6，
∴15（5+7+6+x+7）＝6，
解得：x＝5；
故选：C．
【方法总结】
此题主要考查了算术平均数，解题的关键是熟练掌握算术平均数的计算公式．
例2 （2020•越秀区校级二模）在防治新型冠状病毒知识问答中，10名参赛选手得分情况如表：那么这10名选手所得分数的中位数（ ）
A．85B．87C．90D．80
【解答】解：将这10名学生的成绩从小到大排列后，处在第5、6位的两个数都是90分，因此中位数是90，
故选：C．
【方法总结】
本题考查中位数及其应用，掌握中位数的意义和求法是解决问题的关键．
例3（2020秋•法库县期末）已知一组数据从小到大依次为﹣2，0，4，x，6，8，其中位数为5．则众数为 6 ．
【解答】解：∵数据﹣2，0，4，x，6，8的中位数为5，
∴4+x2=5，
解得x＝6，
所以这组数据为﹣2，0，4，6，6，8，
所以众数为6，
故答案为：6．
【方法总结】
本题考查众数与中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
例4 （2020春•沙坪坝区校级月考）某学校七八两个年级各有学生500人．为了普及冬奥如识．学校在七八年级举行了一次冬奥知识竞赛，为了解这两个年级学生的冬奥知识竞赛成绩（百分制），分别从两个年级各随机抽取了20名学生的成绩进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
a、七几年级的样本成绩分布如下：
（说明：成绩在50分以下为不合格．在50﹣69分为合格，70分及以上为优秀）
b、七年级成绩在60﹣69一组的是：61，62，63，65，66，68，69
c、七八年级成绩的平均数、中位数、优秀率、合格率如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）上述表中m＝ 64 ，n＝ 30% ．
（2）小军的成绩在此次抽样之中，与他所在的年级的抽样相比，小军的成绩高于平均数，却排在了后十名，则小军是 八 年级的学生（选填“七”或“八”）；
（3）根据样本数据，你认为哪个年级的竞赛成绩更好，请说明理由；
（4）根据样本数据，请估计参加这次竞赛活动优秀学生人数．
【解答】解：（1）将七年级成绩从小到大排列后处在第10、11位的两个数的平均数为（63+65）÷2＝64，即m＝64，
∵70分及以上为优秀，
∴优秀率n=4+220×100%＝30%．
故答案为：64，30%；
（2）八年级的平均数是63.3分，而中位数是67分，因此成绩高于平均数，却可能排在后十名，
所以小军是八年级的学生．
故答案为：八；
（3）七年级的竞赛成绩更好．理由如下：
因为从平均数上看七年级的较高；从数据的离散程度上看七年级较整齐．所以七年级的竞赛成绩更好；
（4）500×4+2+5+2+120+20=175（人），
故估计参加这次竞赛活动优秀学生人数是175人．
【方法总结】
本题考查了平均数、中位数、方差的意义以及频数分布表，明确平均数、中位数、方差所反映数据的特征是解决问题、做出判断的前提．
【随堂练习】
1．（2020秋•本溪期末）小丽在本学期的数学成绩分别为：平时测验成绩为93分，期中考试成绩为90分，期末考试成绩为95分，按照平时、期中、期末所占比例为10%，30%，60%计算小丽本学期的总评成绩应该是（ ）
A．92.5分B．92.8分C．93.1分D．93.3分
【解答】解：小丽本学期的总评成绩应该是93×10%+90×30%+95×60%＝93.3（分），
故选：D．
2．（2020秋•大东区期末）若一组数据1，3，x，5，4，6的平均数是4，则这组数据的中位数是 4.5 ．
【解答】解：16×（1+3+x+5+4+6）＝4，
x＝5，
将这组数据按小到大排列：1，3，4，5，5，6，
故中位数4+52=4.5，
故答案为4.5．
3．（2020秋•大东区期末）某公司想招聘一名新职员，对甲、乙、丙三名应试者进行了面试、笔试和才艺三个方面的量化考核，他们的各项得分（百分制，单位：分）如表所示：
（1）请通过计算三项得分的平均分，从低到高确定应聘者的排名顺序；
（2）公司规定：面试、笔试、才艺得分分别不得低于80分、80分、70分，并按照50%、40%，10%的比例计入个人总分，请你确定谁会被录用？并说明理由．
【解答】解：（1）x甲=13×（86+79+90）＝85（分），
x乙=13×（84+81+75）＝80（分），
x丙=13×（80+90+73）＝81（分），
从低到高确定应聘者的排名顺序为乙、丙、甲；
（2）由题意可知，只有甲不符合规定，
乙的加权平均数：84×50%+81×40%+75×10%＝81.9（分），
丙的加权平均数：80×50%+90×40%+73×10%＝83.3（分），
所以录用丙．
4．（2020春•天心区校级期中）学校为了让同学们走向操场、积极参加体育锻炼，启动了“学生阳光体育运动”，张明和李亮在体育运动中报名参加了百米训练小组．在近几次百米训练中，教练对他们两人的测试成绩进行了统计和分析，请根据图表中的信息解答以下问题：
（1）张明第2次的成绩为 13.4 秒；
（2）张明成绩的平均数为 13.3秒 ；李亮成绩的中位数为 13.3秒 ；
（3）现在从张明和李亮中选择一名成绩优秀的去参加比赛，若你是他们的教练，应该选择谁？请说明理由．
【解答】解：（1）张明第2次的成绩为13.4秒；
（2）张明成绩的平均数为13.3+13.4+13.3+13.2+13.35=13.3（秒）；李亮成绩的中位数为13.3（秒）；
故答案为13.4；13.3秒，13.3秒；
（3）选择张明，平均数和中位数相同，但张明成绩的方差小于李亮成绩的方差，所以张明成绩比李亮成绩稳定，因此选择张明．
知识点3 概率的计算
1．随机事件
（1）确定事件
事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．
（2）随机事件
在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．
（3）事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中，
①必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）=1；
②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）=0；
③如果A为不确定事件（随机事件），那么0＜P（A）＜1．
2．概率的意义
（1）一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率m、n会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为P（A）=p．
（2）概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现．
（3）概率取值范围：0≤p≤1．
（4）必然发生的事件的概率P（A）=1；不可能发生事件的概率P（A）=0．
（4）事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0．
3.概率的公式
（1）随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数/所有可能出现的结果数．
（2）P（必然事件）=1．
（3）P（不可能事件）=0．
4.列举法和树状法
（1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率．
（2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．
（3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．
（4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，像树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n．
（5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．
5.游戏公平性
（1）判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．
（2）概率=所求情况数/总情况数．
6. 利用频率估计概率
（1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
（2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
（3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．
【典例】
例1（2020秋•红桥区期末）两个不透明的口袋中分别装有两个完全相同的小球，将每个口袋中的小球分别标号为1和2．从这两个口袋中分别摸出一个小球，则下列事件为随机事件的是（ ）
A．两个小球的标号之和等于3
B．两个小球的标号之和等于6
C．两个小球的标号之和大于0
D．两个小球的标号之和等于1
【解答】解：∵两个不透明的口袋中各有两个相同的小球，将每个口袋中的小球分别标号为1，2，
∴从这两个口袋中分别摸出一个小球，两个小球的标号之和等于3，是随机事件，符合题意；
两个小球的标号之和等于6，是不可能事件，不符合题意；
两个小球的标号之和大于0，是必然事件，不符合题意；
两个小球的标号之和等于1，是不可能事件，不合题意；
故选：A．
【方法总结】
本题考查了随机事件、必然事件、不可能事件，解决此类问题，要掌握三类事件的定义，学会关注身边的事物，并用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题，提高自身的数学素养．
例2（2020秋•法库县期末）从甲、乙、丙、丁四人中抽调一人参加“抗疫”志愿者服务队，恰好抽到丙的概率是（ ）
A．112B．18C．14D．12
【解答】解：∵共有四人参加“抗疫”志愿者服务队，分别是甲、乙、丙、丁，
∴恰好抽到丙的概率是14．
故选：C．
【方法总结】
本题考查了概率的知识．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
例3（2020春•海陵区校级期末）质地均匀的骰子的6个面上分别刻有1﹣6的点数，抛掷这枚骰子，把这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列 （2）（3）（4）（1） ．
（1）向上一面的点数大于0
（2）向上一面的点数是7
（3）向上一面的点数是3的倍数
（4）向上一面的点数是偶数
【解答】解：（1）向上一面的点数大于0的可能性为1；
（2）向上一面的点数是7的可能性为0；
（3）向上一面的点数是3的倍数的可能性为13；
（4）向上一面的点数是偶数的可能性为12，
所以把这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列（2）（3）（4）（1），
故答案为：（2）（3）（4）（1）．
【方法总结】
本题考查的是可能性的大小，解决这类题目要注意具体情况具体对待，最准确的方法是计算出事件发生的概率进行比较．一般地必然事件的可能性大小为1，不可能事件发生的可能性大小为0，随机事件发生的可能性大小在0至1之间．
例4（2020秋•武功县期末）“诵读经典，传承文明”，为了弘扬中华传统文化，某校近期举办了“国学经典诵读大赛”，诵读的篇目分成四种类型：A．蒙学今诵；B．爱国传承；C．励志劝勉；D．秀山丽水，每种类型的篇目数相同，参赛者需从这四种类型中随机抽取一种诵读类型．
（1）小颖参加了这次大赛，求她恰好抽中“B．爱国传承”的概率；
（2）小红和小明也参加了这次大赛，请用画树状图或列表法求他们抽中同一种类型篇目的概率．
【解答】解：（1）∵诵读的篇目分成四种类型：A．蒙学今诵；B．爱国传承；C．励志劝勉；D．秀山丽水，
∴恰好抽中“B．爱国传承”的概率是14；
（2）根据题意画图如下：
共有16种等可能的情况数，其中他们抽中同一种类型篇目的有4种，
则他们抽中同一种类型篇目的概率是416=14．
【方法总结】
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
【随堂练习】
1．（2020秋•仙居县期末）一只不透明的袋子里放着6个只有颜色不同的小球，其中4个白球、2个红球，从该袋子里摸出一个球，摸到的球是红球的概率是（ ）
A．23B．13C．14D．12
【解答】解：因为一共有6个球，红球有2个，
所以从该袋子里摸出一个球，摸到的球是红球的概率是26=13．
故选：B．
2．（2020春•盐都区期中）任意掷一枚质地均匀的骰子，下列事件：
①面朝上的点数小于2；
②面朝上的点数大于2；
③面朝上的点数是奇数，这些事件发生的可能性大小，按从小到大的顺序排列为 ①③② ．
【解答】解：任意掷一枚质地均匀的骰子，共有6种等可能结果，
其中①面朝上的点数小于2的有1种结果，其概率为16；
②面朝上的点数大于2的有4种结果，其概率为46=23；
③面朝上的点数是奇数的有3种结果，其概率为36=12；
∵16＜12＜23，
∴按从小到大的顺序排列为：①③②；
故答案为：①③②．
3．（2020秋•南关区校级期末）到目前为止，北京是世界上唯一一个既举办过夏季奥运会，又即将举办冬季奥运会的城市，以下是北京奥运会、残奥会、冬奥会及冬残奥会的会徽卡片（除字母和内容外，其余完全相同），四张会徽分别用编号A、B、C、D来表示．现将这四张会徽卡片背面朝上，洗匀放好．
（1）从中任意抽取一个会徽卡片，恰好是“中国印•舞动的北京”的概率为 14 ．
（2）小思从中随机抽取一张卡片（不放回），再从余下的卡片中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张会徽卡片恰好是“冬梦”和“飞跃”的概率．（这四张卡片分别用它们的编号A、B、C、D表示）
【解答】解：（1）从中任意抽取一个会徽卡片，恰好是“中国印•舞动的北京”的概率为14，
故答案为：14；
（2）画树状图如图：
共有12种等可能的结果数，其中抽到的两张会徽卡片恰好是“冬梦”和“飞跃”的结果数为2，
∴抽到的两张会徽卡片恰好是“冬梦”和“飞跃”的概率=212=16．
4．（2020秋•金昌期末）在一个不透明的布袋里装有4个标号为1，2，3，4的小球，它们的形状、大小完全相同，小凯同学从布袋里随机取出一个小球，记下数字为x，小敏同学从剩下的3个小球中随机取出一个小球，记下数字为y，这样确定了点P的坐标（x，y）．
（1）请你运用画树状图或列表的方法，写出点P所有可能的坐标；
（2）求点P（x，y）在函数y＝﹣x2+5图象上的概率．
【解答】解：（1）根据题意画出树状图如下：
点P所有可能的坐标有：（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3）共12种；
（2）∵共有12种结果，而点P（x，y）在函数y＝﹣x2+5图象上的结果有2种．
∴P（点P（x，y）在函数y＝﹣x2+5图象上）=212=16．
综合运用
1．（2020春•营山县期末）要直观介绍空气中各成分的百分比，最适合使用的统计图是（ ）
A．条形图B．扇形图C．折线图D．直方图
【解答】解：要直观介绍空气中各成分的百分比，最适合使用的统计图是扇形统计图，
故选：B．
2．（2020秋•肃州区期末）数据5、7、x、9、8的平均数是8，则x＝ 11 ．
【解答】解：由题意得15（5+7+x+9+8）＝8，
解得：x＝11．
故答案为：11．
3．（2020春•邹平市期末）某公司招聘职员一名，从学历、经验和工作态度三个方面对甲、乙、丙、丁四名应聘者进行测试．测试结果如下表（各项满分均为10分）：
如果将学历、经验和工作态度三项得分按1：2：3的比例确定各人的最终得分，并以此为依据录取得分最高者，那么将被录取的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【解答】解：∵甲的平均得分为7×1+9×2+9×36≈8.7（分），
乙的平均得分为9×1+8×2+7×36≈7.7（分），
丙的平均得分为7×1+8×2+9×36≈8.3（分），
丁的平均得分为8×1+8×2+8×36=8（分），
∴甲将被录取，
故选：A．
4．（2020秋•锦州期末）某书店与一所山区小学建立帮扶关系，连续6个月向该小学赠送书籍的数量如下（单位：本）：300，200，200，300，300，500，则这组数据的众数、中位数分别是（ ）
A．300，150B．300，200C．300，300D．600，300
【解答】解：众数：一组数据中出现次数最多的数据为这组数据的众数，这组数据中300出现了3次，次数最多，所以众数是300；
中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数，6个数据按顺序排列之后，处于中间的数据是300，300，所以中位数是300+3002=300；
故选：C．
5．（2020秋•滨海新区期末）当今，青少年视力水平下降已引起全社会的关注，为了了解某市30000名学生的视力情况，从中抽取了一部分学生进行了一次抽样调查，利用所得数据绘制的频数分布直方图如图：
解答下列问题：
（1）本次抽样调查共抽测了 150 名学生；
（2）参加抽测的学生的视力的众数在 4.26～4.55 范围内；中位数在 4.26～4.55 范围内；
（3）若视力为4.9及以上为正常，试估计该市学生的视力正常的人数约为多少？
【解答】解：（1）由图表可得出：本次抽样调查共抽测了（30+50+40+20+10）＝150（名）学生；
故答案为：150；
（2）∵4.26～4.55范围内的数据最多，
∴参加抽测的学生的视力的众数在4.26～4.55范围内；
∵150个数据最中间是：第75和76个数据，
∴中位数是第75和76个数据的平均数，、
而第75和76个数据在4.26～4.55范围内，
∴中位数在4.26～4.55范围内；
故答案为：4.26～4.55，4.26～4.55；
（3）∵视力为4.9及以上为正常，样本中有20+10＝30（人），
∴30000×30150=6000（人），
答：该市学生的视力正常的人数约为6000人．
6．（2020秋•昌图县期末）近年来，人们购物的支付方式发生着巨大变化，随着微信和支付宝这两种手机支付方式的加入，它们与刷银行卡和现金支付已经成为四种最常用的支付方式．在一次购物中，小明和小亮都想从这四种支付方式中选择一种方式进行支付．请用列表或画树状图的方法解决下列问题：
（1）求出两人恰好选择同一种支付方式的概率；
（2）若此次购物，小明不选择现金支付，求出两人恰好都选择手机支付方式的概率．
【解答】解：（1）将微信、支付宝、银行卡、现金分别记为A、B、C、D，
列表如下：
由表可知，共有16种等可能结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的有4种结果，
所以两人恰好选择同一种支付方式的概率为416=14；
（2）列表如下：
由表可知，共有12种等可能结果，其中两人恰好都选择手机支付方式的有4种结果，
所以两人恰好都选择手机支付方式的概率为412=13．
7．（2020秋•定西期末）在定西这块深沉的土地上，处处彰显着文化的韵味．如石器时代的马家窑文化、齐家文化，青铜时代的辛店文化，寺洼文化．现有四张不透明的卡片，它们的背面完全一样，正面分别写有马家窑文化、齐家文化、辛店文化、寺洼文化，将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌子上．
（1）从中随机抽取一张，抽到“辛店文化”的概率为 14 ；
（2）从中随机抽取一张（不放回），接着再随机抽取一张．请通过画树状图或列表法，求抽到的两张卡片所写的都属于石器时代文化的概率．
【解答】解：（1）从中随机抽取一张，抽到“辛店文化”的概率为14，
故答案为：14．
（2）画树状图如图所示：
由图可得共有12种等可能的结果，抽到的两张卡片所写的都属于石器时代文化的结果数为2，
所以抽到的两张卡片所写的都属于石器时代文化的概率为212=16．
年级
平均数
中位数
七
76.9
m
八
79.2
79.5
次数
频数
60≤x＜80
2
80≤x＜100
4
100≤x＜120
18
120≤x＜140
13
140≤x＜160
8
160≤x＜180
4
180≤x＜200
1
人数
1
3
4
2
分数
80
85
90
95
0≤x
≤9
10≤x
≤19
20≤x
≤29
30≤x
≤39
40≤x
≤49
50≤x
≤59
60≤x
≤69
70≤x
≤79
80≤x
≤89
90≤x
≤100
七
0
0
0
0
4
3
7
4
2
0
八
1
1
0
0
0
4
6
5
2
1
年级
平均数
中位数
优秀率
合格率
七
64.7
m
n
80%
八
63.3
67
40%
90%
应试者
面试成绩
笔试成绩
才艺
甲
86
79
90
乙
84
81
75
丙
80
90
73
平均数
中位数
方差
张明
13.3
0.004
李亮
13.3
0.02
应聘者
项目
甲
乙
丙
丁
学历
7
9
7
8
经验
9
8
8
8
工作态度
9
7
9
8
A
B
C
D
A
（A，A）
（B，A）
（C，A）
（D，A）
B
（A，B）
（B，B）
（C，B）
（D，B）
C
（A，C）
（B，C）
（C，C）
（D，C）
D
（A，D）
（B，D）
（C，D）
（D，D）
A
B
C
D
A
（A，A）
（B，A）
（C，A）
（D，A）
B
（A，B）
（B，B）
（C，B）
（D，B）
C
（A，C）
（B，C）
（C，C）
（D，C）