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苏科版八年级下册10.5 分式方程精品当堂检测题
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这是一份苏科版八年级下册10.5 分式方程精品当堂检测题，文件包含105分式方程解析版docx、105分式方程原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共26页， 欢迎下载使用。
分式方程的定义：分母里含有未知数的方程叫做分式方程。
分式方程的解法:
①去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程);
②按解整式方程的步骤求出未知数的值;
③检验(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根).
分式方程的定义
【例1】下列方程是关于x的分式方程的是（ ）
A． B．
C．D．
【答案】C
【解析】A、是关于x的整式方程，故本选项错误；
B、分母中不含有未知数，是整式方程，故本选项错误；
C、符合分式方程的定义，故本选项正确；
D、分母中不含有未知数，是整式方程，故本选项错误．
故选：C．
【例2】下列式子中是分式方程的是（ ）
A．B．
C．1D．x
【答案】C
【解析】A、不是等式，故不是分式方程；
B、分母中不含未知数，也不是分式方程；
C、方程分母中含未知数x，是分式方程；
D、分母中不含未知数，也不是分式方程；
故选：C．
【例3】已知方程：①；②③；④．这四个方程中，分式方程的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【解析】解：根据定义可知，①②③为分式方程，④不是分式方程，
故选：B．
【例4】下列是分式方程的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】解：A、是一个代数式，不是方程，所以A不是分式方程；
B、是一元一次方程，是整式方程，所以B不是分式方程；
C、是一元一次方程，是整式方程，所以C不是分式方程；
D、分母含有未知数x，所以D是分式方程．
故选：D．
解分式方程
【例1】解方程：
（1） （2）
（3） （4）
【答案】见解析
【解析】解：（1）去分母得：3﹣x+1＝x﹣4，
解得：x＝4，
经检验x＝4是增根，分式方程无解；
（2）去分母得：4x＝6x﹣12﹣1，
解得：x＝6.5，
经检验x＝6.5是分式方程的解．
解：（3）方程两边同乘（x+1）（x﹣1）得：2（x﹣1）﹣（x+1）＝4，
去括号得：2x﹣2﹣x﹣1＝4，
解得：x＝7，
检验：当x＝7时，（x+1）（x﹣1）≠0，
∴x＝7是原方程的解；
（4）方程两边同乘3（x﹣3）得：2x+9＝3（4x﹣7）+6（x﹣3）
解得：x＝3，
检验：当x＝3时，3（x﹣3）＝0，
∴x＝3是原方程的增根∴原方程无解．
【例2】解分式方程：
【答案】无解
【解析】解：，
，
，
，
，
把代入，
∴不是原方程的解，应舍去，
∴原方程无解．
【例3】解分式方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)无解
【解析】（1）解：
方程两边乘，得
解得：
检验：当时，
∴原分式方程的解为．
（2）解：
方程两边乘，得
解得：
检验：当时，，因此不是原分式方程的解，
∴原分式方程无解．
根据分式方程解的情况求值
【例1】若解关于x的方程2x-5x-2+m2-x=1时产生增根，那么常数m的值为（ ）
A．4B．3C．﹣4D．﹣1
【答案】D
【解析】
解：方程两边都乘以x﹣2，得：2x﹣5﹣m＝x﹣2，
x＝3+m
∵方程有增根，
∴3+m＝2，
m＝﹣1，
故选：D．
【例2】如果关于x的方程x+1x+2-xx-1=ax+2(x-1)(x+2)无解，求a的值．
【答案】a＝﹣5或﹣2或-12时方程无解
【解析】解：方程去分母得：（x﹣1）（x+1）﹣x（x+2）＝ax+2，即（a+2）x+3＝0
∵关于x的方程x+1x+2-xx-1=ax+2(x-1)(x+2)无解，
∴x＝1或x＝﹣2，
∴当x＝1时，﹣3＝a+2，即a＝﹣5，
当x＝﹣2时，3＝﹣2a+2，即a=-12，
另当a＝﹣2时，方程变为3＝0，不成立，所以a＝﹣2时，方程也无解
∴a＝﹣5或﹣2或-12时方程无解．
【例3】关于的方程：．
（1）当时，求这个方程的解；
（2）若这个方程有增根，求的值．
【答案】(1)x＝﹣2是原方程的解 (2)a＝﹣3
【解析】解：（1）当a＝3时，原方程为﹣＝1，
方程两边同时乘以（x﹣1）得：3x+1+2＝x﹣1，
解这个整式方程得：x＝﹣2，
检验：将x＝﹣2代入x﹣1＝﹣2﹣1＝﹣3≠0，
∴x＝﹣2是原方程的解；
（2）方程两边同时乘以（x﹣1）得ax+1+2＝x﹣1，
若原方程有增根，则x﹣1＝0，
解得：x＝1，
将x＝1代入整式方程得：a+1+2＝0，
解得：a＝﹣3．
【例4】为何值时，关于的方程会产生增根？
【答案】m＝﹣4或m＝6时，原方程会产生增根
【解析】解：原方程化为+＝，
方程两边同时乘以（x+2）（x﹣2）
得2（x+2）+mx＝3（x﹣2），
整理得（m﹣1）x+10＝0，
∵关于x的方程 +＝会产生增根，
∴（x+2）（x﹣2）＝0，
∴x＝﹣2 或x＝2，
∴当x＝﹣2时，（m﹣1）×（﹣2）+10＝0，解得m＝6，
当x＝2时，（m﹣1）×2+10＝0，解得m＝﹣4，
∴m＝﹣4或m＝6时，原方程会产生增根．
【例5】已知关于x的分式方程|2x|-a|x|-2=12有解，则a的取值范围是 ．
【答案】a≥1且a≠4
【解析】解：|2x|-a|x|-2=12，
2|2x|﹣2a＝|x|﹣2，
4|x|﹣|x|＝2a﹣2，
3|x|＝2a﹣2，
|x|=2a-23，
∵关于x的分式方程有解，
∴2a-23≥0，且|x|﹣2≠0，即2a-23≠2，
解得a≥1且a≠4．
故答案为：a≥1且a≠4．
【例6】关于x的不等式组3x-46+1＜x+23x-2a2≥2-x2-1有解且最多5个整数解，且使关于y的分式方程ay+3y-3+2=2y-33-y的解为正整数，则所有满足条件的整数a的积为（ ）
A．3B．﹣4C．﹣6D．﹣12
【答案】C
【解析】解：∵3x-46+1＜x+23，
∴3x﹣4+6＜2（x+2）．
∴3x+2＜2x+4．
∴3x﹣2x＜4﹣2．
∴x＜2．
∵x-2a2≥2-x2-1，
∴x﹣2a≥2﹣x﹣2．
∴x+x≥2a+2﹣2．
∴2x≥2a．
∴x≥a．
∴a≤x＜2．
∵关于x的不等式组3x-46+1＜x+23x-2a2≥2-x2-1有解且最多5个整数解，
∴﹣4＜a＜2．
∵ay+3y-3+2=2y-33-y，
∴ay+3+2（y﹣3）＝3﹣2y．
∴ay+3+2y﹣6＝3﹣2y．
∴ay+2y+2y＝3+6﹣3．
∴（a+4）y＝6．
∴y=6a+4．
∵关于y的分式方程ay+3y-3+2=2y-33-y的解为正整数，
∴a+4＝1或6或2或3．
∴a＝﹣3或2或﹣2或﹣1．
∵﹣4＜a＜2，
∴a＝﹣3或﹣2或﹣1．
∴所有满足条件的整数a的积为﹣3×（﹣2）×（﹣1）＝﹣6．
故选：C．
分式方程的实际应用
【例1】某销售商准备采购一批丝绸，经过调查得知，用10000元采购A型丝绸的件数与用8000元采购B型丝绸的件数相等，且一件A型丝绸的进价比一件B型丝绸的进价多100元．
（1）一件A型、B型丝绸的进价分别为多少元？
（2）若销售商购进A型、B型丝绸共50件，其中A型丝绸的件数不多于B型丝绸的件数，且不少于16件，设购进A型丝绸m件．
①求m的取值范围；
②已知A型丝绸的售价为800元/件，B型丝绸的售价为600元/件，求销售这批丝绸的最大利润．
【答案】见解析
【解析】解：（1）设一件B型丝绸的进价为x元，则一件A型丝绸的进价为（x+100）元，
根据题意得：10000x+100=8000x，
解得：x＝400，
经检验，x＝400为原方程的解，
∴x+100＝500，
答：一件A型丝绸的进价为500元，一件B型丝绸的进价为400元．
（2）①根据题意得：m≤50-mm≥16，
解得：16≤m≤25，
∴m的取值范围为：16≤m≤25且m为整数．
②设销售这批丝绸的利润为y元，
根据题意得：y＝（800﹣500）m+（600﹣400）•（50﹣m）＝100m+10000，
∵100＞0，
∴y随m的增大而增大，
∴当m＝25时，y最大＝12500（元），
答：销售这批丝绸的最大利润为12500元．
【例2】某手机专卖店的一张进货单上有如下信息：A款手机进货单价比B款手机多800元，花38400元购进A款手机的数量与花28800元购进B款手机的数量相同．
（1）求A，B两款手机的进货单价分别是多少元？
（2）某周末两天销售单上的数据，如表所示：
求A，B两款手机的销售单价分别是多少元？
（3）根据（1）（2）所给的信息，手机专卖店要花费28000元购进A，B两款手机若干部，问有哪几种进货方案？根据计算说明哪种进货方案获得的总利润最高．
【答案】（1）A款手机的进货单价是3200元，B款手机的进货单价是2400元
（2）A款手机的销售单价是3700元，B款手机的销售单价是2700元
【解析】解：（1）设B款手机的进货单价是x元，则A款手机的进货单价是（x+800）元，
根据题意得：38400x+800=28800x，
解得：x＝2400，
经检验，x＝2400是原方程的解，
则x+800＝2400+800＝3200，
答：A款手机的进货单价是3200元，B款手机的进货单价是2400元；
（2）设A款手机的销售单价是a元，B款手机的销售单价是b元，
根据题意得：5a+8b=401006a+7b=41100，
解得：a=3700b=2700，
答：A款手机的销售单价是3700元，B款手机的销售单价是2700元；
（3）设购买A款手机m部，B款手机n部，
根据题意，得3200m+2400n＝28000，
化简得，4m+3n＝35，
∵m、n都是正整数，
∴m=2n=9或m=5n=5或m=8n=1，
即有三种进货方案：
方案一：购买A款手机2部，B款款手机9部，利润是：（3700﹣3200）×2+（2700﹣2400）×9＝3700（元）；
方案二：购买A款手机5部，B款款手机5部，利润是：（3700﹣3200）×5+（2700﹣2400）×5＝4000（元）；
方案三：购买A款手机8部，B款款手机1部，利润是：（3700﹣3200）×8+（2700﹣2400）×1＝4300（元）；
∵3700＜4000＜4300，
∴选择方案三获得的总利润最高。
【例3】为了备战体育中考，某学校新购进一批体育器材，需用九年级两个班级的学生整理体育器材，已知一班单独整理需要30分钟完成，如果一班与二班共同整理15分钟后，一班另有任务需要离开，剩余工作由二班单独整理15分钟才完成，求二班单独整理这批体育器材需要多少分钟？
【答案】60
【解析】解：设二班单独整理这批器材需要x分钟．
依题意得：15(130+1x)+15⋅1x=1，
解得：x＝60，
经检验：x＝60是原分式方程的解，且符合题意．
答：二班单独整理这批器材需要60分钟．
【例4】截至2021年，高速公路已经贯通云南16个州市，云南省正全力推进县域高速公路“能通全通”“互联互通”工程建设．已知甲、乙两地之间的国道全长为220km，经过改修高速公路后，长度减少了20km，高速公路通后，一辆长途汽车的高速行驶速度比国道行驶速度提高了45km/h，从甲地到乙地的行驶时间减少了一半．
（1）求该长途汽车在国道上行驶的速度；
（2）若该高速公路规定长途汽车限速80km/h，那么该长途汽车从甲地到乙地是否超速？
【答案】(1)55 (2)超速
【解析】解：（1）设该长途汽车在国道上行驶的速度为xkm/h，
根据题意得：220x×12=220-20x+45，
解得：x＝55，
经检验：x＝55是原分式方程的解，
答：该长途汽车在国道上行驶的速度为55km/h．
（2）∵55+45＝100＞80，
∴该长途汽车从甲地到乙地超速．
【例5】我区在一项工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，从投标书中得知有三种方案．
A方案：甲队单独完成这项工程，刚好如期完成；
B方案：乙队单独完成这项工程需要的时间是规定时间的2倍；
C方案：**********，剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完成．
已知，一个同学按照C方案，设规定的工期为x天，根据题意列出方程：4（1x+12x）+x-42x=1．
（1）根据所列方程，C方案中“**********”部分描述的已知条件应该是： 甲、乙两队合作4天 ；
（2）从投标书中得知，甲工程队每施工一天所需费用1.1万元，乙工程队每施工一天所需费用0.5万元，请你在如期完成的两种方案中，判断哪种方案更省钱，说明理由．
【答案】C方案更省钱
【解析】解：（1）根据题意及所列的方程可知被损毁的部分为：甲、乙两队合作4天；
故答案为：甲、乙两队合作4天；
（2）解：解方程4(1x+12x)+x-42x=1，得：x＝8，
经检验，x＝8是原分式方程的解，
所以规定的工期为8天．
如期完成的两种施工方案需要的费用分别为：
A方案：1.1×8＝8.8（万元）；
C方案：4×1.1+8×0.5＝8.4（万元），
∵8.8＞8.4，
∴C方案更省钱．
1．下列方程：①；②；③；④．其中，分式方程有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】C
【解析】①的分母中含有未知数，是分式方程；
②是整式方程；
③是整式方程；
④的分母中含有未知数，是分式方程．
故选：C．
2．已知方程：①，②，③，④．这四个方程中，分式方程的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【解析】解：①，是分式方程；
②，是分式方程；
③，是分式方程；
④，不是分式方程，
则分式方程的个数是3．
故选：B．
3．方程 、 、、中分式方程的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】解：中的分母中不含表示未知数的字母；故不是分式方程；
、 、的方程分母中含未知数x，所以是分式方程．
故选：C．
4．关于x的方程①；②；③；④．其中是分式方程是（ ）
A．①②③B．①②C．①③D．①②④
【答案】B
【解析】解：方程①是分式方程，符合题意；
方程②分母中含有未知数，符合题意；
方程③是整式方程，不符合题意；
方程④是整式方程，不符合题意；
故其中是分式方程的有：①②，
故选：B．
5、解方程：
（1） （2）
【答案】见解析
【解析】解：（1）3﹣2（x﹣2）＝﹣x
解得x＝7
经检验：x＝7是原方程的根
∴原方程的解是x＝7．
（2）2（1﹣x）+5（1+x）＝10
解得x＝1
检验：把x＝1代入到（x+1）（x﹣1）中，
得：（1+1）×（1﹣1）＝0
∴原分式方程无解．
6、（1） （2）
【答案】见解析
【解析】解：（1）去分母得：2x+2＝4，
解得：x＝1，
经检验x＝1是增根，分式方程无解；
（2）去分母得：x+x+2＝32，
解得：x＝15，
经检验x＝15是分式方程的解．
7、为响应“绿色出行”的号召，小王上班由自驾车改为乘坐公交车．已知小王家距上班地点18km，他乘公交车平均每小时行驶的路程比他自驾车平均每小时行驶的路程多10km．他从家出发到上班地点，乘公交车所用的时间是自驾车所用时间的34．小王乘公交车上班平均每小时行驶（ ）
A．30kmB．36kmC．40kmD．46km
【答案】C
【解析】解：设小王用自驾车方式上班平均每小时行驶xkm，则乘公交车平均每小时行驶（x+10）km，
由题意得：18x+10=18x×34，
解得：x＝30，
经检验，x＝30是原方程的解，
则x+10＝40，
即小王乘公交车上班平均每小时行驶40km，
故选：C．
8、武汉某超市在疫情前用3000元购进某种干果销售，发生疫情后，为了保障附近居民的生活需求，又调拨9000元购进该种干果．受疫情影响，交通等成本上涨，第二次的进价比第一次进价提高了20%，但是第二次购进干果的数量是第一次的2倍还多300千克，如果超市先按每千克9元的价格出售，当大部分干果售出后，最后的600千克按原售价的7折售完．售卖结束后，超市决定将盈利的资金捐助给武汉市用于抗击新冠肺炎疫情．那么该超市可以捐助 元．
【答案】5280
【解析】解：设第一次购进干果的单价为x元/千克，则第二次购进干果的单价为1.2x元/千克，
根据题意得：2×3000x+300=90001.2x，
解得：x＝5，
经检验，x＝5是原方程的解，
则3000x=30005=600，
90001.2x=90001.2×5=1500，
1500×9+600×9×0.7﹣3000﹣9000＝5280（元）．
答：该超市可以捐助5280元．
故答案为：5280．
9、一艘轮船在静水中的最大航速为60km/h，它以最大航速沿江顺流航行240km所用时间与以最大航速逆流航行120km所用时间相同，则江水的流速为 20 km/h．
【答案】20
【解析】
解：设江水的流速为xkm/h，根据题意可得：
24060+x=12060-x，
解得：x＝20，
经检验得：x＝20是原方程的根，
答：江水的流速为20km/h．
故答案为：20．
10、请你利用我们学习的“分式方程及其解法”解决下列问题：
（1）已知关于x的方程2mx-1x+2=1的解为负数，求m的取值范围；
（2）若关于x的分式方程3-2xx-3+2-nx3-x=-1无解，求n的取值范围．
【答案】见解析
【解析】解：（1）解关于x的分式方程得：x=32m-1，
∵方程有解，且解为负数，
∴2m-1＜032m-1≠-2，
∴m＜12且m≠-14；
（2）分式方程去分母得：3﹣2x+nx﹣2＝3﹣x，
整理得：（n﹣1）x＝2，
当n﹣1＝0时，方程无解，此时n＝1；
当n﹣1≠0时，解得：x=2n-1，要使方程无解，则有2n-1=3，即n=53，
综上，n＝1或n=53．
11、若关于的方程无解，求的值．
【答案】m＝1或m＝
【解析】解：去分母得：3﹣2x+mx﹣2＝﹣x+3，
整理得：（m﹣1）x＝2，
当m﹣1＝0，即m＝1时，方程无解；
当m﹣1≠0时，x﹣3＝0，
即x＝3时，方程无解，
此时＝3，即m＝，
所以m＝1或m＝．
12、市政府计划对城区道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队的工作效率是乙队工作效率的32倍，甲队改造360米的道路比乙队改造同样长的道路少用4天．
（1）甲、乙两工程队每天能改造道路的长度分别是多少米？
（2）若甲队工作一天需付费用3万元，乙队工作一天需付费用2.4万元，如需改造的道路全长900米，改造总费用不超过63万元，至少安排甲队工作多少天？
【答案】（1）甲工程队每天能改造道路45米，乙工程队每天能改造道路30米（2）15
【解析】解：（1）设乙工程队每天能改造道路x米，则甲工程队每天能改造道路32x米，
依题意，得：360x-36032x=4，
解得：x＝30，
经检验，x＝30是分式方程的解，且符合题意，
∴32x＝45．
答：甲工程队每天能改造道路45米，乙工程队每天能改造道路30米．
（2）设安排甲队工作m天，则安排乙队工作900-45m30天，
依题意，得：3m+2.4×900-45m30≤63，
解得：m≥15，
答：至少安排甲队工作15天．
13、某商店准备购买A、B两种商品， ①购买1个A商品比购买1个B商品多花10元 ，并且花费300元购买A商品和花费100元购买B商品的数量相等．
（1）求购买一个A商品和一个B商品各需要多少元；
在“①购买1个A商品比购买1个B商品多花10元”，“②A、B两种商品各购买1个共需20元”这两个条件中任选一个，补充到上面的问题中，并解答问题．（注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分．）
（2）商店准备购买A、B两种商品共80个，若A商品的数量不少于B商品数量的4倍，并且购买A、B两种商品的总费用不低于1000元且不高于1050元，则该商店有哪几种购买方案？
【答案】（1）A商品每个15元，B商品每个5元 （2）商店有两种购买方案，方案①：购买A商品65个，B商品15 个，方案②：购买A商品64个，购买B商品16个
【解析】解：（1）选①，设购买一个B商品需要x元，则购买1个A商品需要（x+10）元，
根据题意得：300x+10=100x，
解得：x＝5，
经检验，x＝5是原方程的解，且符合题意，
∴x+10＝15（元），
答：A商品每个15元，B商品每个5元；
选②，设购买一个B商品需要x元，则购买1个A商品需要（20﹣x）元，
根据题意得：30020-x=100x，
解得：x＝5，
经检验，x＝5是原方程的解，且符合题意，
∴20﹣x＝15（元），
答：A商品每个15元，B商品每个5元；
（2）设购买B商品m个，则购买A商品（80﹣m）个，
根据题意得：80-m≥4m15(80-m)+5m≥100015(80-m)+5m≤1500，
解得：15≤m≤16，
∵m为整数，
∴m＝15或16，
∴商店有两种购买方案，方案①：购买A商品65个，B商品15 个，方案②：购买A商品64个，购买B商品16个．日期
A款手机（部）
B款手机（部）
销售总额（元）
星期六
5
8
40100
星期日
6
7
41100
分式方程的定义：分母里含有未知数的方程叫做分式方程。
分式方程的解法:
①去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程);
②按解整式方程的步骤求出未知数的值;
③检验(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根).
分式方程的定义
【例1】下列方程是关于x的分式方程的是（ ）
A． B．
C．D．
【答案】C
【解析】A、是关于x的整式方程，故本选项错误；
B、分母中不含有未知数，是整式方程，故本选项错误；
C、符合分式方程的定义，故本选项正确；
D、分母中不含有未知数，是整式方程，故本选项错误．
故选：C．
【例2】下列式子中是分式方程的是（ ）
A．B．
C．1D．x
【答案】C
【解析】A、不是等式，故不是分式方程；
B、分母中不含未知数，也不是分式方程；
C、方程分母中含未知数x，是分式方程；
D、分母中不含未知数，也不是分式方程；
故选：C．
【例3】已知方程：①；②③；④．这四个方程中，分式方程的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【解析】解：根据定义可知，①②③为分式方程，④不是分式方程，
故选：B．
【例4】下列是分式方程的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】解：A、是一个代数式，不是方程，所以A不是分式方程；
B、是一元一次方程，是整式方程，所以B不是分式方程；
C、是一元一次方程，是整式方程，所以C不是分式方程；
D、分母含有未知数x，所以D是分式方程．
故选：D．
解分式方程
【例1】解方程：
（1） （2）
（3） （4）
【答案】见解析
【解析】解：（1）去分母得：3﹣x+1＝x﹣4，
解得：x＝4，
经检验x＝4是增根，分式方程无解；
（2）去分母得：4x＝6x﹣12﹣1，
解得：x＝6.5，
经检验x＝6.5是分式方程的解．
解：（3）方程两边同乘（x+1）（x﹣1）得：2（x﹣1）﹣（x+1）＝4，
去括号得：2x﹣2﹣x﹣1＝4，
解得：x＝7，
检验：当x＝7时，（x+1）（x﹣1）≠0，
∴x＝7是原方程的解；
（4）方程两边同乘3（x﹣3）得：2x+9＝3（4x﹣7）+6（x﹣3）
解得：x＝3，
检验：当x＝3时，3（x﹣3）＝0，
∴x＝3是原方程的增根∴原方程无解．
【例2】解分式方程：
【答案】无解
【解析】解：，
，
，
，
，
把代入，
∴不是原方程的解，应舍去，
∴原方程无解．
【例3】解分式方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)无解
【解析】（1）解：
方程两边乘，得
解得：
检验：当时，
∴原分式方程的解为．
（2）解：
方程两边乘，得
解得：
检验：当时，，因此不是原分式方程的解，
∴原分式方程无解．
根据分式方程解的情况求值
【例1】若解关于x的方程2x-5x-2+m2-x=1时产生增根，那么常数m的值为（ ）
A．4B．3C．﹣4D．﹣1
【答案】D
【解析】
解：方程两边都乘以x﹣2，得：2x﹣5﹣m＝x﹣2，
x＝3+m
∵方程有增根，
∴3+m＝2，
m＝﹣1，
故选：D．
【例2】如果关于x的方程x+1x+2-xx-1=ax+2(x-1)(x+2)无解，求a的值．
【答案】a＝﹣5或﹣2或-12时方程无解
【解析】解：方程去分母得：（x﹣1）（x+1）﹣x（x+2）＝ax+2，即（a+2）x+3＝0
∵关于x的方程x+1x+2-xx-1=ax+2(x-1)(x+2)无解，
∴x＝1或x＝﹣2，
∴当x＝1时，﹣3＝a+2，即a＝﹣5，
当x＝﹣2时，3＝﹣2a+2，即a=-12，
另当a＝﹣2时，方程变为3＝0，不成立，所以a＝﹣2时，方程也无解
∴a＝﹣5或﹣2或-12时方程无解．
【例3】关于的方程：．
（1）当时，求这个方程的解；
（2）若这个方程有增根，求的值．
【答案】(1)x＝﹣2是原方程的解 (2)a＝﹣3
【解析】解：（1）当a＝3时，原方程为﹣＝1，
方程两边同时乘以（x﹣1）得：3x+1+2＝x﹣1，
解这个整式方程得：x＝﹣2，
检验：将x＝﹣2代入x﹣1＝﹣2﹣1＝﹣3≠0，
∴x＝﹣2是原方程的解；
（2）方程两边同时乘以（x﹣1）得ax+1+2＝x﹣1，
若原方程有增根，则x﹣1＝0，
解得：x＝1，
将x＝1代入整式方程得：a+1+2＝0，
解得：a＝﹣3．
【例4】为何值时，关于的方程会产生增根？
【答案】m＝﹣4或m＝6时，原方程会产生增根
【解析】解：原方程化为+＝，
方程两边同时乘以（x+2）（x﹣2）
得2（x+2）+mx＝3（x﹣2），
整理得（m﹣1）x+10＝0，
∵关于x的方程 +＝会产生增根，
∴（x+2）（x﹣2）＝0，
∴x＝﹣2 或x＝2，
∴当x＝﹣2时，（m﹣1）×（﹣2）+10＝0，解得m＝6，
当x＝2时，（m﹣1）×2+10＝0，解得m＝﹣4，
∴m＝﹣4或m＝6时，原方程会产生增根．
【例5】已知关于x的分式方程|2x|-a|x|-2=12有解，则a的取值范围是 ．
【答案】a≥1且a≠4
【解析】解：|2x|-a|x|-2=12，
2|2x|﹣2a＝|x|﹣2，
4|x|﹣|x|＝2a﹣2，
3|x|＝2a﹣2，
|x|=2a-23，
∵关于x的分式方程有解，
∴2a-23≥0，且|x|﹣2≠0，即2a-23≠2，
解得a≥1且a≠4．
故答案为：a≥1且a≠4．
【例6】关于x的不等式组3x-46+1＜x+23x-2a2≥2-x2-1有解且最多5个整数解，且使关于y的分式方程ay+3y-3+2=2y-33-y的解为正整数，则所有满足条件的整数a的积为（ ）
A．3B．﹣4C．﹣6D．﹣12
【答案】C
【解析】解：∵3x-46+1＜x+23，
∴3x﹣4+6＜2（x+2）．
∴3x+2＜2x+4．
∴3x﹣2x＜4﹣2．
∴x＜2．
∵x-2a2≥2-x2-1，
∴x﹣2a≥2﹣x﹣2．
∴x+x≥2a+2﹣2．
∴2x≥2a．
∴x≥a．
∴a≤x＜2．
∵关于x的不等式组3x-46+1＜x+23x-2a2≥2-x2-1有解且最多5个整数解，
∴﹣4＜a＜2．
∵ay+3y-3+2=2y-33-y，
∴ay+3+2（y﹣3）＝3﹣2y．
∴ay+3+2y﹣6＝3﹣2y．
∴ay+2y+2y＝3+6﹣3．
∴（a+4）y＝6．
∴y=6a+4．
∵关于y的分式方程ay+3y-3+2=2y-33-y的解为正整数，
∴a+4＝1或6或2或3．
∴a＝﹣3或2或﹣2或﹣1．
∵﹣4＜a＜2，
∴a＝﹣3或﹣2或﹣1．
∴所有满足条件的整数a的积为﹣3×（﹣2）×（﹣1）＝﹣6．
故选：C．
分式方程的实际应用
【例1】某销售商准备采购一批丝绸，经过调查得知，用10000元采购A型丝绸的件数与用8000元采购B型丝绸的件数相等，且一件A型丝绸的进价比一件B型丝绸的进价多100元．
（1）一件A型、B型丝绸的进价分别为多少元？
（2）若销售商购进A型、B型丝绸共50件，其中A型丝绸的件数不多于B型丝绸的件数，且不少于16件，设购进A型丝绸m件．
①求m的取值范围；
②已知A型丝绸的售价为800元/件，B型丝绸的售价为600元/件，求销售这批丝绸的最大利润．
【答案】见解析
【解析】解：（1）设一件B型丝绸的进价为x元，则一件A型丝绸的进价为（x+100）元，
根据题意得：10000x+100=8000x，
解得：x＝400，
经检验，x＝400为原方程的解，
∴x+100＝500，
答：一件A型丝绸的进价为500元，一件B型丝绸的进价为400元．
（2）①根据题意得：m≤50-mm≥16，
解得：16≤m≤25，
∴m的取值范围为：16≤m≤25且m为整数．
②设销售这批丝绸的利润为y元，
根据题意得：y＝（800﹣500）m+（600﹣400）•（50﹣m）＝100m+10000，
∵100＞0，
∴y随m的增大而增大，
∴当m＝25时，y最大＝12500（元），
答：销售这批丝绸的最大利润为12500元．
【例2】某手机专卖店的一张进货单上有如下信息：A款手机进货单价比B款手机多800元，花38400元购进A款手机的数量与花28800元购进B款手机的数量相同．
（1）求A，B两款手机的进货单价分别是多少元？
（2）某周末两天销售单上的数据，如表所示：
求A，B两款手机的销售单价分别是多少元？
（3）根据（1）（2）所给的信息，手机专卖店要花费28000元购进A，B两款手机若干部，问有哪几种进货方案？根据计算说明哪种进货方案获得的总利润最高．
【答案】（1）A款手机的进货单价是3200元，B款手机的进货单价是2400元
（2）A款手机的销售单价是3700元，B款手机的销售单价是2700元
【解析】解：（1）设B款手机的进货单价是x元，则A款手机的进货单价是（x+800）元，
根据题意得：38400x+800=28800x，
解得：x＝2400，
经检验，x＝2400是原方程的解，
则x+800＝2400+800＝3200，
答：A款手机的进货单价是3200元，B款手机的进货单价是2400元；
（2）设A款手机的销售单价是a元，B款手机的销售单价是b元，
根据题意得：5a+8b=401006a+7b=41100，
解得：a=3700b=2700，
答：A款手机的销售单价是3700元，B款手机的销售单价是2700元；
（3）设购买A款手机m部，B款手机n部，
根据题意，得3200m+2400n＝28000，
化简得，4m+3n＝35，
∵m、n都是正整数，
∴m=2n=9或m=5n=5或m=8n=1，
即有三种进货方案：
方案一：购买A款手机2部，B款款手机9部，利润是：（3700﹣3200）×2+（2700﹣2400）×9＝3700（元）；
方案二：购买A款手机5部，B款款手机5部，利润是：（3700﹣3200）×5+（2700﹣2400）×5＝4000（元）；
方案三：购买A款手机8部，B款款手机1部，利润是：（3700﹣3200）×8+（2700﹣2400）×1＝4300（元）；
∵3700＜4000＜4300，
∴选择方案三获得的总利润最高。
【例3】为了备战体育中考，某学校新购进一批体育器材，需用九年级两个班级的学生整理体育器材，已知一班单独整理需要30分钟完成，如果一班与二班共同整理15分钟后，一班另有任务需要离开，剩余工作由二班单独整理15分钟才完成，求二班单独整理这批体育器材需要多少分钟？
【答案】60
【解析】解：设二班单独整理这批器材需要x分钟．
依题意得：15(130+1x)+15⋅1x=1，
解得：x＝60，
经检验：x＝60是原分式方程的解，且符合题意．
答：二班单独整理这批器材需要60分钟．
【例4】截至2021年，高速公路已经贯通云南16个州市，云南省正全力推进县域高速公路“能通全通”“互联互通”工程建设．已知甲、乙两地之间的国道全长为220km，经过改修高速公路后，长度减少了20km，高速公路通后，一辆长途汽车的高速行驶速度比国道行驶速度提高了45km/h，从甲地到乙地的行驶时间减少了一半．
（1）求该长途汽车在国道上行驶的速度；
（2）若该高速公路规定长途汽车限速80km/h，那么该长途汽车从甲地到乙地是否超速？
【答案】(1)55 (2)超速
【解析】解：（1）设该长途汽车在国道上行驶的速度为xkm/h，
根据题意得：220x×12=220-20x+45，
解得：x＝55，
经检验：x＝55是原分式方程的解，
答：该长途汽车在国道上行驶的速度为55km/h．
（2）∵55+45＝100＞80，
∴该长途汽车从甲地到乙地超速．
【例5】我区在一项工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，从投标书中得知有三种方案．
A方案：甲队单独完成这项工程，刚好如期完成；
B方案：乙队单独完成这项工程需要的时间是规定时间的2倍；
C方案：**********，剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完成．
已知，一个同学按照C方案，设规定的工期为x天，根据题意列出方程：4（1x+12x）+x-42x=1．
（1）根据所列方程，C方案中“**********”部分描述的已知条件应该是： 甲、乙两队合作4天 ；
（2）从投标书中得知，甲工程队每施工一天所需费用1.1万元，乙工程队每施工一天所需费用0.5万元，请你在如期完成的两种方案中，判断哪种方案更省钱，说明理由．
【答案】C方案更省钱
【解析】解：（1）根据题意及所列的方程可知被损毁的部分为：甲、乙两队合作4天；
故答案为：甲、乙两队合作4天；
（2）解：解方程4(1x+12x)+x-42x=1，得：x＝8，
经检验，x＝8是原分式方程的解，
所以规定的工期为8天．
如期完成的两种施工方案需要的费用分别为：
A方案：1.1×8＝8.8（万元）；
C方案：4×1.1+8×0.5＝8.4（万元），
∵8.8＞8.4，
∴C方案更省钱．
1．下列方程：①；②；③；④．其中，分式方程有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】C
【解析】①的分母中含有未知数，是分式方程；
②是整式方程；
③是整式方程；
④的分母中含有未知数，是分式方程．
故选：C．
2．已知方程：①，②，③，④．这四个方程中，分式方程的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【解析】解：①，是分式方程；
②，是分式方程；
③，是分式方程；
④，不是分式方程，
则分式方程的个数是3．
故选：B．
3．方程 、 、、中分式方程的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】解：中的分母中不含表示未知数的字母；故不是分式方程；
、 、的方程分母中含未知数x，所以是分式方程．
故选：C．
4．关于x的方程①；②；③；④．其中是分式方程是（ ）
A．①②③B．①②C．①③D．①②④
【答案】B
【解析】解：方程①是分式方程，符合题意；
方程②分母中含有未知数，符合题意；
方程③是整式方程，不符合题意；
方程④是整式方程，不符合题意；
故其中是分式方程的有：①②，
故选：B．
5、解方程：
（1） （2）
【答案】见解析
【解析】解：（1）3﹣2（x﹣2）＝﹣x
解得x＝7
经检验：x＝7是原方程的根
∴原方程的解是x＝7．
（2）2（1﹣x）+5（1+x）＝10
解得x＝1
检验：把x＝1代入到（x+1）（x﹣1）中，
得：（1+1）×（1﹣1）＝0
∴原分式方程无解．
6、（1） （2）
【答案】见解析
【解析】解：（1）去分母得：2x+2＝4，
解得：x＝1，
经检验x＝1是增根，分式方程无解；
（2）去分母得：x+x+2＝32，
解得：x＝15，
经检验x＝15是分式方程的解．
7、为响应“绿色出行”的号召，小王上班由自驾车改为乘坐公交车．已知小王家距上班地点18km，他乘公交车平均每小时行驶的路程比他自驾车平均每小时行驶的路程多10km．他从家出发到上班地点，乘公交车所用的时间是自驾车所用时间的34．小王乘公交车上班平均每小时行驶（ ）
A．30kmB．36kmC．40kmD．46km
【答案】C
【解析】解：设小王用自驾车方式上班平均每小时行驶xkm，则乘公交车平均每小时行驶（x+10）km，
由题意得：18x+10=18x×34，
解得：x＝30，
经检验，x＝30是原方程的解，
则x+10＝40，
即小王乘公交车上班平均每小时行驶40km，
故选：C．
8、武汉某超市在疫情前用3000元购进某种干果销售，发生疫情后，为了保障附近居民的生活需求，又调拨9000元购进该种干果．受疫情影响，交通等成本上涨，第二次的进价比第一次进价提高了20%，但是第二次购进干果的数量是第一次的2倍还多300千克，如果超市先按每千克9元的价格出售，当大部分干果售出后，最后的600千克按原售价的7折售完．售卖结束后，超市决定将盈利的资金捐助给武汉市用于抗击新冠肺炎疫情．那么该超市可以捐助 元．
【答案】5280
【解析】解：设第一次购进干果的单价为x元/千克，则第二次购进干果的单价为1.2x元/千克，
根据题意得：2×3000x+300=90001.2x，
解得：x＝5，
经检验，x＝5是原方程的解，
则3000x=30005=600，
90001.2x=90001.2×5=1500，
1500×9+600×9×0.7﹣3000﹣9000＝5280（元）．
答：该超市可以捐助5280元．
故答案为：5280．
9、一艘轮船在静水中的最大航速为60km/h，它以最大航速沿江顺流航行240km所用时间与以最大航速逆流航行120km所用时间相同，则江水的流速为 20 km/h．
【答案】20
【解析】
解：设江水的流速为xkm/h，根据题意可得：
24060+x=12060-x，
解得：x＝20，
经检验得：x＝20是原方程的根，
答：江水的流速为20km/h．
故答案为：20．
10、请你利用我们学习的“分式方程及其解法”解决下列问题：
（1）已知关于x的方程2mx-1x+2=1的解为负数，求m的取值范围；
（2）若关于x的分式方程3-2xx-3+2-nx3-x=-1无解，求n的取值范围．
【答案】见解析
【解析】解：（1）解关于x的分式方程得：x=32m-1，
∵方程有解，且解为负数，
∴2m-1＜032m-1≠-2，
∴m＜12且m≠-14；
（2）分式方程去分母得：3﹣2x+nx﹣2＝3﹣x，
整理得：（n﹣1）x＝2，
当n﹣1＝0时，方程无解，此时n＝1；
当n﹣1≠0时，解得：x=2n-1，要使方程无解，则有2n-1=3，即n=53，
综上，n＝1或n=53．
11、若关于的方程无解，求的值．
【答案】m＝1或m＝
【解析】解：去分母得：3﹣2x+mx﹣2＝﹣x+3，
整理得：（m﹣1）x＝2，
当m﹣1＝0，即m＝1时，方程无解；
当m﹣1≠0时，x﹣3＝0，
即x＝3时，方程无解，
此时＝3，即m＝，
所以m＝1或m＝．
12、市政府计划对城区道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队的工作效率是乙队工作效率的32倍，甲队改造360米的道路比乙队改造同样长的道路少用4天．
（1）甲、乙两工程队每天能改造道路的长度分别是多少米？
（2）若甲队工作一天需付费用3万元，乙队工作一天需付费用2.4万元，如需改造的道路全长900米，改造总费用不超过63万元，至少安排甲队工作多少天？
【答案】（1）甲工程队每天能改造道路45米，乙工程队每天能改造道路30米（2）15
【解析】解：（1）设乙工程队每天能改造道路x米，则甲工程队每天能改造道路32x米，
依题意，得：360x-36032x=4，
解得：x＝30，
经检验，x＝30是分式方程的解，且符合题意，
∴32x＝45．
答：甲工程队每天能改造道路45米，乙工程队每天能改造道路30米．
（2）设安排甲队工作m天，则安排乙队工作900-45m30天，
依题意，得：3m+2.4×900-45m30≤63，
解得：m≥15，
答：至少安排甲队工作15天．
13、某商店准备购买A、B两种商品， ①购买1个A商品比购买1个B商品多花10元 ，并且花费300元购买A商品和花费100元购买B商品的数量相等．
（1）求购买一个A商品和一个B商品各需要多少元；
在“①购买1个A商品比购买1个B商品多花10元”，“②A、B两种商品各购买1个共需20元”这两个条件中任选一个，补充到上面的问题中，并解答问题．（注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分．）
（2）商店准备购买A、B两种商品共80个，若A商品的数量不少于B商品数量的4倍，并且购买A、B两种商品的总费用不低于1000元且不高于1050元，则该商店有哪几种购买方案？
【答案】（1）A商品每个15元，B商品每个5元 （2）商店有两种购买方案，方案①：购买A商品65个，B商品15 个，方案②：购买A商品64个，购买B商品16个
【解析】解：（1）选①，设购买一个B商品需要x元，则购买1个A商品需要（x+10）元，
根据题意得：300x+10=100x，
解得：x＝5，
经检验，x＝5是原方程的解，且符合题意，
∴x+10＝15（元），
答：A商品每个15元，B商品每个5元；
选②，设购买一个B商品需要x元，则购买1个A商品需要（20﹣x）元，
根据题意得：30020-x=100x，
解得：x＝5，
经检验，x＝5是原方程的解，且符合题意，
∴20﹣x＝15（元），
答：A商品每个15元，B商品每个5元；
（2）设购买B商品m个，则购买A商品（80﹣m）个，
根据题意得：80-m≥4m15(80-m)+5m≥100015(80-m)+5m≤1500，
解得：15≤m≤16，
∵m为整数，
∴m＝15或16，
∴商店有两种购买方案，方案①：购买A商品65个，B商品15 个，方案②：购买A商品64个，购买B商品16个．日期
A款手机（部）
B款手机（部）
销售总额（元）
星期六
5
8
40100
星期日
6
7
41100
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