高中数学高考专题14 解三角形（解析版）

这是一份高中数学高考专题14 解三角形（解析版），共47页。试卷主要包含了的内角，，的对边分别为，，，的内角、、的对边分别为、、，在中，角，，的对边分别为，，，已知的内角，，满足=，在，内角所对的边长分别为等内容，欢迎下载使用。

大数据分析*预测高考
十年试题分类*探求规律
考点44已知边角关系利用正余弦定理解三角形
1．（2019•新课标Ⅰ，文11）的内角，，的对边分别为，，，已知，，则
A．6B．5C．4D．3
【答案】A
【解析】∵，，，解得，，故选．
2．（2018•新课标Ⅲ，理9文11）的内角，，的对边分别为，，．若的面积为，则
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】的内角，，的对边分别为，，．的面积为，
，，，，故选．
3．（2016•新课标Ⅰ，文4）的内角、、的对边分别为、、．已知，，，则
A．B．C．2D．3
【答案】D
【解析】，，，由余弦定理可得：，整理可得：，解得：或（舍去），故选．
4．（2014新课标Ⅱ，理4）钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC= ，则AC=( )
A． 5 B． C． 2 D． 1
【答案】B．
【解析】∵，即：，∴，
即或．又∵
∴或5，又∵为钝角三角形，∴，即：，故选B．
5．（2013新课标Ⅰ，文10）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为，，，，=7，，则=
．10 ．9 ．8 ．5
【答案】D
【解析】由及△ABC是锐角三角形得=，∵=7，，∴，即，解得或=（舍），故选．
6．（2014江西）在中，内角A，B，C所对应的边分别为，若，则
的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵，∴==，故选D．
7．（2017山东）在中，角，，的对边分别为，，．若为锐角三角形，且满足，则下列等式成立的是
A． B． C． D．
【解析】A
【解析】由，得，即，所以，即，选A．
8．(2014重庆)已知的内角，，满足=
，面积满足，记，，分别为，，所对的边，则下列不等式一定成立的是
A． B． C． D．
【解析】A
【解析】因为，由
得，
即，
整理得，
又，
因此，由
得，
即，因此选项C、D不一定成立．又，
因此，即，选项A一定成立．又，
因此，显然不能得出，选项B不一定成立．综上所述，选A．
9．（2014江西）在中，，，分别为内角，，所对的边长，若
，，则的面积是（ ）
A．3 B． C． D．
【解析】C
【解析】由可得①，由余弦定理及可得②．所以由①②得，所以．
10．（2013辽宁）在，内角所对的边长分别为．若
，且，则=
A． B． C． D．
【解析】A
【解析】边换角后约去，得，所以，但B非最大角，所以．
11．（2013陕西）设△ABC的内角A， B， C所对的边分别为a， b， c， 若， 则△ABC的形状为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形D．不确定
【解析】B
【解析】∵，∴由正弦定理得，
∴，∴，∴，∴△ABC是直角三角形．
12．（2011辽宁）△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
，则
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由正弦定理，得，即，，∴．
13．（2019•新课标Ⅱ，理15）的内角，，的对边分别为，，．若，，，则的面积为 ．
【答案】
【解析】由余弦定理有，，，，，，．
14．（2018•新课标Ⅰ，文16）的内角，，的对边分别为，，．已知，，则的面积为 ．
【答案】
【解析】的内角，，的对边分别为，，，，
利用正弦定文可得，由于，，
所以，所以，则，由于，则：，
①当时，，解得，所以．
②当时，，解得（不合题意），舍去．
故．
15．（2017新课标卷2，文16）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcsB=acsC+ccsA，则B=
【答案】
【解析】由正弦定理可得
16．（2016•新课标Ⅱ，理13）的内角，，的对边分别为，，，若，，，则 ．
【答案】
【解析】由，，可得，，
，由正弦定理可得
．
17．（2014新课标Ⅰ，理16）已知分别为的三个内角的对边，=2，且，则面积的最大值为 ．
【答案】
【解析】由且 ，
即，由及正弦定理得：
∴，故，∴，∴
，∴．
18．（2014广东）在中，角所对应的边分别为．已知
，则 ．
【解析】2
【解析】由得：，
即，，∴，故．
19．（2013安徽）设的内角所对边的长分别为．若，则
则角_____．
【解析】
【解析】，，所以．
20．（2012安徽）设的内角所对的边为；则下列命题正确的是 ．
= 1 \* GB3 ①若；则 = 2 \* GB3 ②若；则
= 3 \* GB3 ③若；则 = 4 \* GB3 ④若；则
= 5 \* GB3 ⑤若；则
【解析】①②③
【解析】①
②
③当时，与矛盾
④取满足得：
⑤取满足得：．
21．（2012北京）在中，若，则= ．
【解析】4
【解析】根据余弦定理可得，解得b=4．
22．（2020全国Ⅰ文18）的内角的对边分别为．已知．
（1）若，求的面积；
（2）若sinA+sinC=，求．
【答案】（1）；（2）．
【思路导引】（1）已知角和边，结合关系，由余弦定理建立的方程，求解得出，利用面积公式，即可得出结论；（2）将代入已知等式，由两角差的正弦和辅助角公式，化简得出有关角的三角函数值，结合的范围，即可求解．
【解析】
（1）由余弦定理可得，
的面积．
（2），
，
，．
23．（2020全国Ⅱ文17）△的内角的对边分别为，已知．
（1）求；
（2）若，证明：△是直角三角形．
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【思路导引】（1）根据诱导公式和同角三角函数平方关系，可化为，即可解出；（2）根据余弦定理可得，将代入可找到关系，再根据勾股定理或正弦定理即可证出．
【解析】（1）∵，∴，即，
解得，又，∴．
（2）∵，∴，即①，
又②， 将②代入①得，，即，而，解得，∴，故，即△是直角三角形．
24．（2020全国Ⅱ理17）中，．
（1）求；
（2）若，求周长的最大值．
【答案】（1）；（2）．
【思路导引】（1）利用正弦定理角化边，配凑出的形式，进而求得；
（2）利用余弦定理可得到，利用基本不等式可求得的最大值，进而得到结果．
【解析】（1）由正弦定理可得：，，
，．
（2）由余弦定理得：，
即．
（当且仅当时取等号），
，
解得：（当且仅当时取等号），
周长，周长的最大值为．
25．（2020江苏16）在中，角，，的对边分别为，，，已知，，．
（1）求的值；
（2）在边上取一点，使得，求的值．
【答案】见解析
【解析】（1）由余弦定理，得，
因此，即，由正弦定理，得，因此．
（2）∵，∴，
∵，∴，∴，
∴，∵，∴，故．
26．（2020天津16）在中，角所对的边分别为．已知．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）求的值；
（Ⅲ）求的值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）．
【思路导引】（Ⅰ）直接利用余弦定理运算即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）及正弦定理即可得到答案；
（Ⅲ）先计算出进一步求出，再利用两角和的正弦公式计算即可．
【解析】（Ⅰ）在中，由及余弦定理得，
又因为，所以．
（Ⅱ）在中，由，及正弦定理，可得；
（Ⅲ）由知角为锐角，由，可得，
进而，
所以．
27．（2020浙江18）
在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（I）求角B；
（II）求csA+csB+csC的取值范围．
【答案】（I）；（II）
【思路导引】（I）首先利用正弦定理边化角，然后结合特殊角的三角函数值即可确定∠B的大小；
（II）结合(1)的结论将含有三个角的三角函数式化简为只含有∠A的三角函数式，然后由三角形为锐角三角形确定∠A的取值范围，最后结合三角函数的性质即可求得的取值范围．
【解析】（I）由结合正弦定理可得：，△ABC为锐角三角形，故．
（II）结合(1)的结论有：
．
由可得：，，则，，即的取值范围是．
28．（2020山东17）
在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，， ？
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】详见解析
【思路导引】由题意结合所给的条件首先设出a，b的长度，然后结合余弦定理和正弦定理解三角形确定边长c即可．
【解析】选择条件①的解析：
由可得：，不妨设，
则：，即．
据此可得：，，此时．
选择条件②的解析：由可得：，不妨设，
则：，即．
据此可得：，则：，此时：，则：．
选择条件③的解析：由可得：，不妨设，
则：，即．
据此可得，，与条件矛盾，则问题中的三角形不存在．
29．（2019•新课标Ⅰ，理17）的内角，，的对边分别为，，．设．
（1）求；
（2）若，求．
【解析】（1）的内角，，的对边分别为，，．
设．
则，
由正弦定理得：，
，
，．
（2），，
由正弦定理得，
解得，，，
．
30．（2019•新课标Ⅲ，理（文）18）的内角、、的对边分别为，，．已知．
（1）求；
（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．
【解析】（1），即为，
可得，
，
，
若，可得，不成立，
，
由，可得；
（2）若为锐角三角形，且，
由余弦定理可得，
由三角形为锐角三角形，可得且，
解得，
可得面积，．
31．（2017新课标卷1，理17）的内角，，的对边分别为，，，已知的面积为．
（1）求；
（2）若，，求的周长．
【解析】（1）面积．且
由正弦定理得，
由得．
（2）由（1）得，
又
，，
由余弦定理得 ①
由正弦定理得，
②
由①②得
，即周长为
32．（2017新课标卷2，理17）的内角所对的边分别为，已知，
（1）求；
（2）若，的面积为，求．
【解析】（1）由题设及，故
上式两边平方，整理得
解得
（2）由，故
又
由余弦定理及得
所以b=2
33．（2017新课标卷3，理17）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，．
（1）求c；
（2）设为边上一点，且，求的面积．
【解析】（1）由得，
即，又，
∴，得．
由余弦定理．又∵代入并整理得，故．
（2）∵，
由余弦定理．
∵，即为直角三角形，
则，得．
由勾股定理．
又，则，
．
34．（2016新课标卷1，理17）的内角A，B，C的对边分别别为a，b，c，已知
（= 1 \* ROMANI）求C；
（= 2 \* ROMANII）若的面积为，求的周长．
【解析】（= 1 \* ROMANI）由正弦定理及得，，即，即，因为，所以，所以，所以．
（= 2 \* ROMANII）由余弦定理得：
∴
∴
∴周长为
35．（2015新课标Ⅰ，文17）已知分别是内角的对边，．
（ = 1 \* ROMAN I）若，求
（ = 2 \* ROMAN II）若，且 求的面积．
【答案】（ = 1 \* ROMAN I）（ = 2 \* ROMAN II）1
【解析】（ = 1 \* ROMAN I）由题设及正弦定理可得．
又，可得，，
由余弦定理可得．
（ = 2 \* ROMAN II）由(1)知．
因为90°，由勾股定理得．
故，得．
所以ABC的面积为1．
36．（2013新课标Ⅱ，理17）△ABC内角A，B，C的对边分别为，，，已知=．
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）若=2，求△ABC面积的最大值．
【解析】（Ⅰ）由已知及正弦定理得，①
又，
∴=，
即，
∵∴，
∴，
∵，∴．
（Ⅱ）△ABC的面积S==，
由已知及余弦定理得．，
∵，
故，当且仅当时，取等号，
∴△ABC面积的最大值为．
37．（2012新课标，理17）已知，，分别为三个内角，，的对边，．
(Ⅰ)求；
(Ⅱ)若=2，的面积为，求，．
【解析】(Ⅰ)由及正弦定理得
，
因为，所以
由于，所以，
又，故．
(Ⅱ) 的面积==，故=4，
而 故=8，解得=2．
38．（2012新课标，文17）已知，，分别为三个内角，，的对边，．
(Ⅰ)求；
(Ⅱ)若=2，的面积为，求，．
【解析】(Ⅰ)由及正弦定理得

由于，所以，
又，故．
(Ⅱ) 的面积==，故=4，
而 故=8，解得=2．
39．（2014陕西）的内角所对的边分别为．
（ = 1 \* ROMAN \* MERGEFORMAT I）若成等差数列，证明：；
（ = 2 \* ROMAN \* MERGEFORMAT II）若成等比数列，求的最小值．
【解析】（1）成等差数列，
由正弦定理得
（2）成等比数列，
由余弦定理得
（当且仅当时等号成立）
（当且仅当时等号成立）
（当且仅当时等号成立）
即，所以的最小值为
40．（2019江苏15）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．
（1）若a=3c，b=，csB=，求c的值；
（2）若，求的值．
【解析】（1）由余弦定理，得，即．
所以．
（2）因为，
由正弦定理，得，所以．
从而，即，故．
因为，所以，从而．
因此．
41．（2019天津理15）在中，内角所对的边分别为．已知，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值．
【解析】（Ⅰ）在中，由正弦定理，得，又由，得，即．又因为，得到，．
由余弦定理可得．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，
从而，，
故．
42．（2018天津）在中，内角，，所对的边分别为，，．已知．
(1)求角的大小；
(2)设，，求和的值．
【解析】(1)在中，由正弦定理，可得，
又由，得，
即，可得．
又因为，可得．
(2)在中，由余弦定理及，，，
有，故．
由，可得．因为，故．
因此，
所以，
43．（2016年山东）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知

（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）求的最小值．
【解析】(Ⅰ)由
得，
所以，由正弦定理，得．
（Ⅱ）由
．
所以的最小值为．
44．（2016年四川）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且．
（I）证明：；
（ = 2 \* ROMAN II）若，求．
【解析】（I）证明：由正弦定理可知
原式可以化解为
∵和为三角形内角 ， ∴
则，两边同时乘以，可得
由和角公式可知，
原式得证．
（II）由题，根据余弦定理可知，
∵为三角形内角，，
则，即
由（I）可知，∴．
∴．
45．（2015湖南）设的内角的对边分别为，，且为钝角．
（1）证明：；
（2）求的取值范围．
【解析】（1）由及正弦定理，得，
所以，即．
又为钝角，因此+(，)，故=+，即=；
（2）由（1）知，=(+)=(2+)=2>0，
所以，
于是==
=，
因为0