高中数学高考专题14 与数列相关的综合问题（解析版）

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【解决之道】利用数列通项公式，即可求出其和.
【三年高考】
1.【2020年高考浙江卷11】已知数列满足，则 ．
【答案】10
【解析】由题意可知，，，，故答案为：10．
命题规律二 考查分组求和思想
【解决之道】解决此类问题，将数列分成等比数列与等差数列分别求和再相加即可.
【三年高考】
1.【2020年高考江苏卷11】设是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，已知的前项和，则的值是________．
【答案】
【解析】∵的前项和，
当时，；
当时，，∴，从而有．
2.【2020年高考山东卷14】将数列与的公共项从小到大排列得到数列，则的前项和为 ．
【答案】
【解析】因为数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，数列是以1首项，以3为公差的等差数列，所以这两个数列的公共项所构成的新数列是以1为首项，以6为公差的等差数列，所以的前项和为，故答案为：．
3.【2018年高考天津卷文数】设{an}是等差数列，其前n项和为Sn（n∈N*）；{bn}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Tn（n∈N*）．已知b1=1，b3=b2+2，b4=a3+a5，b5=a4+2a6．
（1）求Sn和Tn；
（2）若Sn+（T1+T2+…+Tn）=an+4bn，求正整数n的值．
【答案】（1），；（2）4.
【解析】（1）设等比数列的公比为q，由b1=1，b3=b2+2，可得．
因为，可得，故．
所以，．
设等差数列的公差为．由，可得．由，可得从而，故，
所以，．
（2）由（1），有
由可得，
整理得解得（舍），或．
所以n的值为4．
命题规律三 考查拆项求和思想
【解决之道】若数列的每一项都可拆成两项之差，求和时中间的一些项正好相互抵消，于是将前n项和转化为首尾若干项和，注意未消去的项是哪些项。常用拆相公式
①若是各项都不为0公差为的等差数列，则=
②==
【三年高考】
1.【2020年高考浙江卷20】已知数列{an}，{bn}，{cn}中，．
（Ⅰ）若数列{bn}为等比数列，且公比，且，求q与an的通项公式；
（Ⅱ）若数列{bn}为等差数列，且公差，证明：．
【解析】（I）依题意，而，即，由于，∴解得，
∴．
∴，故，∴数列是首项为，公比为的等比数列，∴．
∴．
∴，故（）．
∴
．
（II）依题意设，由于，
∴，
故
．
∴．
由于，∴，∴，即．
命题规律四 考查错位相减求和思想
【解决之道】若数列是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，则在数列的前项和=
= ①，两边同乘以公比得= ② ，①式与②式错位相减得=
= ，转化为等比数列，的前n项和问题，注意转化出的等比数列的首项及项数.
错位相减法的结论：已知为公差为的等差数列， 为公比为的等比数列，是数列则数列=
【三年高考】
1.【2020年高考天津卷19】已知为等差数列，为等比数列，．
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）记的前项和为，求证：；
（Ⅲ）对任意的正整数，设求数列的前项和．
【解析】(Ⅰ)设等差数列的公差为，等比数列的公比为q．
由，，可得d=1．
从而的通项公式为．
由，
又q≠0，可得，解得q=2，
从而的通项公式为．
(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可得，
故，，
从而，
所以．
(Ⅲ)当n为奇数时，，
当n为偶数时，，
对任意的正整数n，有，
和 ①
由①得 ②
由①②得，
由于，从而得：．
因此，，所以，数列的前2n项和为．
2.【2018年高考浙江卷】已知等比数列{an}的公比q>1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项．数列{bn}满足b1=1，数列{（bn+1−bn）an}的前n项和为2n2+n．
（1）求q的值；
（2）求数列{bn}的通项公式．
【解析】（1）由是的等差中项得，
所以，
解得.
由得，
因为，所以.
（2）设，数列前n项和为.
由解得.
由（1）可知，
所以，
故，
.
设，
所以，
因此，
又，所以.
3.【2019年高考天津卷文数】设是等差数列，是等比数列，公比大于0，已知.
（1）求和的通项公式；
（2）设数列满足求.
【答案】（1），；（2）
【解析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为.
依题意，得解得
故.
所以，的通项公式为，的通项公式为.
（2）

.
记
则
②−①得，.
所以，
.
命题规律五 考查与数列有关的新概念的理解与应用
【解决之道】解决此类问题，关键在于对新概念的理解，认真阅读新概念，理解其意义，利用概念与数列有关知识，将问题转化为数列问题，利用数列知识解决.
【三年高考】
1.【2020年高考江苏卷20】已知数列的首项，前项和为．设与是常数．若对一切正整数，均有成立，则称此数列为“”数列．
（1）若等差数列是“”数列，求的值；
（2）若数列是“”数列，且，求数列的通项公式；
（3）对于给定的，是否存在三个不同的数列为“”数列，且？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．
【解析】（1）时，，∴．
（2），，
因此．
，．从而．
又，，，．
综上，．
（3）若存在三个不同的数列为“”数列，则，
则，
由，则，令，则，
时，，由可得，则，即，
此时唯一，不存在三个不同的数列；
时，令，则，则，
①时，则同理不存在三个不同的数列；
②时，，无解，则，同理不存在三个不同的数列；
③时，，则，同理不存在三个不同的数列；
④即时，，有两解，，设，，，则，则对任意，或或，此时，，均符合条件，
对应，，，
则存在三个不同的数列为“”数列，且，综上，．
2.【2020年高考山东卷18】已知公比大于的等比数列满足，．
（1）求的通项公式；
（2）记为在区间中的项的个数，求数列的前项和．
【解析】（1）由于数列是公比大于的等比数列，设首项为，公比为，依题意有，解得，所以，所以数列的通项公式为．
（2）由于，所以
对应的区间为：，则；
对应的区间分别为：，则，即有个；
对应的区间分别为：，则，即有个；
对应的区间分别为：，则，即有个；
对应的区间分别为：，则，即有个；
对应的区间分别为：，则，即有个；
对应的区间分别为：，则，即有个．
所以．
3.【2019年高考浙江卷】设a，b∈R，数列{an}满足a1=a，an+1=an2+b，，则（ ）
A． 当B． 当
C． 当D． 当
【答案】A
【解析】①当b=0时，取a=0，则.
②当时，令，即.
则该方程，即必存在，使得，
则一定存在，使得对任意成立，
解方程，得，
当时，即时，总存在，使得，
故C、D两项均不正确.
③当时，，
则，
.
（ⅰ）当时，，
则，
，
，
则，
，
故A项正确.
（ⅱ）当时，令，则，
所以，以此类推，
所以，故B项不正确.故选A.
4.【2019年高考江苏卷】定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”.
（1）已知等比数列{an}满足：，求证:数列{an}为“M－数列”；
（2）已知数列{bn}满足:，其中Sn为数列{bn}的前n项和．
①求数列{bn}的通项公式；
②设m为正整数，若存在“M－数列”{cn}，对任意正整数k，当k≤m时，都有成立，求m的最大值．
【答案】（1）见解析；（2）①bn=n；②5.
【解析】解：（1）设等比数列{an}的公比为q，所以a1≠0，q≠0.
由，得，解得．
因此数列为“M—数列”.
（2）①因为，所以．
由，得，则.
由，得，
当时，由，得，
整理得．
所以数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列.
因此，数列{bn}的通项公式为bn=n.
②由①知，bk=k，.
因为数列{cn}为“M–数列”，设公比为q，所以c1=1，q>0.
因为ck≤bk≤ck+1，所以，其中k=1，2，3，…，m.
当k=1时，有q≥1；
当k=2，3，…，m时，有．
设f（x）=，则．
令，得x=e.列表如下：
因为，所以．
取，当k=1，2，3，4，5时，，即，
经检验知也成立．
因此所求m的最大值不小于5．
若m≥6，分别取k=3，6，得3≤q3，且q5≤6，从而q15≥243，且q15≤216，
所以q不存在.因此所求m的最大值小于6.
综上，所求m的最大值为5．
5.【2019年高考浙江卷】设等差数列的前n项和为，，，数列满足：对每个成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）记 证明：
【答案】（1），；（2）证明见解析.
【解析】（1）设数列的公差为d，由题意得
，
解得．
从而．
所以，
由成等比数列得
．
解得．
所以．
（2）．
我们用数学归纳法证明．
（i）当n=1时，c1=00时，，
所以单调递减，从而