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黑龙江省大庆市大庆第一中学2022-2023学年九年级下学期第一次模拟测试数学试卷
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这是一份黑龙江省大庆市大庆第一中学2022-2023学年九年级下学期第一次模拟测试数学试卷，共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．下列实数中是无理数的是（ ）
A．B．C．D．
2．计算正确的是（ ）
A．(-5)0=0B．C．D．
3．如图，这个几何体的左视图是（ ）
A．B．C．D．
4．下列历届世博会会徽的图案是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
5．实数，在数轴上的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，在ΔABC中，AC=DC=DB，∠ACD=100°，则∠B等于（ ）
A．50°B．40°C．25°D．20°
7．甲、乙两名学生10次立定跳远成绩的平均数相同，若甲10次立定跳远成绩的方差S甲2=0.006，乙10次立定跳远成绩的方差S乙2=0.035，则（ ）
A．甲的成绩比乙的成绩稳定
B．乙的成绩比甲的成绩稳定
C．甲、乙两人的成绩一样稳定
D．甲、乙两人成绩的稳定性不能比较
8．一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象可能为（ ）
A．B．C．D．
9．如图，在正方形网格（小正方形的边长均为）中， 的顶点均在格点上，则（ ）
A．B．C．D．
10．如图，已知抛物线的对称轴在y轴右侧，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴的正半轴交于点C，且，则下列结论：①；②；③；④当时，在x轴上方的抛物线上一定存在关于对称轴对称的两点M，N（点M在点N左边），使得．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题
11．“一带一路”的“朋友圈”究竟有多大？“一带一路”涉及沿线65个国家，总涉及人口约4500000000，将4500000000科学记数法表示为__________．
12．分解因式：ab2﹣4ab+4a=________．
13．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____．
14．从，，，这四个数中任取两个不同的数分别作为，的值，得到反比例函数，则这些反比例函数中，其图象在二、四象限的概率是______．
15．已知扇形的弧长等于cm，半径为6cm，则该扇形的面积等于_____cm2．
16．如图，是由相同的花盆按一定的规律组成的形如正多边形的图案，其中第1个图形一共有6个花盆，第2个图形一共有12个花盆，第3个图形一共有20个花盆，…则第6个图形中花盆的个数为____________ ．
17．如图，已知矩形ABCD，P、R分别是BC和DC上的点，E、F分别是PA，PR的中点．如果DR=3，AD=4，则EF的长为______．
18．如图，在直角坐标系中，已知点A（0，1），点P在线段OA上，以AP为半径的⊙P周长为1．点M从A开始沿⊙P按逆时针方向转动，射线AM交x轴于点N（n，0）．设点M转过的路程为m（），，随着点M的转动，当m从变化到时，点N相应移动的路径长为___．
三、解答题
19．计算：（）﹣1﹣2cs30°++（3﹣π）0
20．已知a+b＝2，ab＝2，求a3b+a2b2+ab3的值．
21．解方程：
22．如图，在小山的东侧A点处有一个热气球，由于受风向的影响，该热气球以每分钟30米的速度沿与地面成75°角的方向飞行，25分钟后到达C处，此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30°，求A，B两点间的距离．
23．“校园安全”受到全社会的关注，菏泽市某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图，请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
（1）接受问卷调查的学生共有 人，扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为 °；
（2）请补全条形统计图；
（3）若该中学共有学生900人，请根据上述调查结果，估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数；
（4）若从对校园安全知识达到“了解”程度的3个女生和2个男生中随机抽取2人参加校园安全知识竞赛，请用树状图或列表法求出恰好抽到1个男生和1个女生的概率．
24．如图，把一张矩形的纸ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点E处，BE与AD交于点F．
（1）求证：△ABF≌△EDF；
（2）若将折叠的图形恢复原状，点F与BC边上的点M正好重合，连接DM，试判断四边形BMDF的形状，并说明理由．
25．如图，直线与反比例函数的图象交点A、点B，与x轴相交于点C，其中点A的坐标为，点B的纵坐标为2．
(1)求反比例函数解析式；
(2)当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值；（直接写出来）
(3)求的面积．
26．夏季来临，商场准备购进甲、乙两种空调，已知甲种空调每台进价比乙种空调多500元，用40000元购进甲种空调的数量与用30000元购进乙种空调的数量相同．请解答下列问题：
(1)求甲、乙两种空调每台的进价；
(2)若甲种空调每台售价2500元，乙种空调每台售价1800元，商场计划用不超过36000元购进空调共20台，且全部售出，请写出所获利润y（元）与甲种空调x（台）之间的函数关系式，并求出所能获得的最大利润.
27．如图，线段AB经过⊙O的圆心O，交⊙O于A，C两点，AD为⊙O的弦，连接BD，，连接DO并延长，交⊙O于点E，连接BE交⊙O于点F．
(1)求证：BD是⊙O的切线；
(2)求证：；
(3)若，求BF的长．
28．如图1，已知，抛物线经过、、三点，点P是抛物线上一点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点P位于第四象限时，连接AC，BC，PC，若，求直线PC的解析式；
(3)如图2，当点P位于第二象限时，过P点作直线AP，BP分别交y轴于E，F两点，请问的值是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．
参考答案：
1．A
【分析】根据无理数的概念进行判断即可．
【详解】解：无理数是指无限不循环小数，像开方开不尽的数，有特殊意义的数，有特殊形式的数，
A、是无理数，符合题意；
B、，有限小数，不符合题意；
C、，有理数，不符合题意；
D、，有理数，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查无理数的概念，熟悉无理数的定义是解题关键．
2．C
【分析】由零指数幂、合并同类项、积的乘方、负整数指数幂分别进行判断，即可得到答案．
【详解】解：A、，故A错误；
B、不能合并，故B错误；
C、，故C正确；
D、，故D错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了积的乘方，负整数指数幂，零指数幂，合并同类项，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．
3．B
【分析】根据三视图概念即可解题.
【详解】解：因为物体的左侧高,所以会将右侧图形完全遮挡,看不见的直线要用虚线代替,
故选B.
【点睛】本题考查了三视图的识别,属于简单题,熟悉三视图的概念是解题关键.
4．C
【分析】根据中心对称图形的概念：中心对称图形是绕对称中心旋转180度后与原图重合，很容易得出答案．
【详解】根据中心对称图形的概念，A不是中心对称图形，A不符合题意；
根据中心对称图形的概念，B不是中心对称图形，B不符合题意；
根据中心对称图形的概念，C是中心对称图形，C符合题意；
根据中心对称图形的概念，D不是中心对称图形，D不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了中心对称图形的定义，熟练掌握中心对称图形的的定义及特点是解题的关键．
5．D
【分析】根据在数轴上的对应点的位置，可得a、b的范围，从而判断各选项．
【详解】解：解：由图可知：，
∴，，，
∴A、，故本选项不正确；
B、，故本选项不正确；
C、，故本选项不正确；
D、，故本选项正确．
故选D．
【点睛】本题考查了实数与数轴，利用数轴上的对应点的位置，得出a、b的范围是解题关键．
6．D
【详解】试题解析：∵AC=DC=DB，∠ACD=100°，
∴∠CAD==40°，
∵∠CDB是△ACD的外角，
∴∠CDB=∠A+∠ACD=100°=40°+100°=140°，
∵DC=DB，
∴∠B==20°．
故选D．
【点睛】此题很简单，考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质及三角形的内角和定理．
7．A
【分析】根据方差的意义即可解答．
【详解】解：∵甲和乙的成绩平均数相同，S甲2=0.006＜S乙2=0.035，
∴甲的成绩比乙的成绩稳定甲的成绩比乙的成绩稳定．
故选A．
【点睛】本题主要考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定．
8．A
【分析】通过k的讨论，判断函数的图象即可．
【详解】当k＜0，b＜0时，一次函数y=kx+b的图象，反比例函数y＝，A、B、C、D不成立．
当k＜0，b＞0，一次函数y=kx+b的图象，反比例函数y＝，A、B、C、D不成立．
当k＞0，b＜0时，一次函数y=kx+b的图象，反比例函数y＝，A、B、C、D不成立．
当k＞0，b＞0时，一次函数y=kx+b的图象，反比例函数y＝，A成立、B、C、D不成立．
故选A．
【点睛】本题考查直线方程与反比例函数图象的判断，考查计算能力．
9．B
【分析】如图，作于点D，根据题意有求出、，接着因为有与，联合求解即可求出，最后根据即可求出答案．
【详解】如图，作于点D，
根据题意有，
，
，
即，
，
，
，
，
．
故答案为：B．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义、三角形的面积公式以及勾股定理的应用，牢记以上知识点是解题的关键．
10．D
【分析】首先根据函数图象可判断a，b，c的符号，a<0，b>0，c>0，从而可判断①正确；由OB＝2OC可推出点B（2c，0）代入解析式化简即可判断②正确；由抛物线与x轴的交点A（−2，0）和点B（2c，0），再结合韦达定理可得x1•x2＝＝（−2）×2c＝-4c，可得a＝-，即可判断③正确；根据a＝-， 4ac+2b＝-1，可得c＝2b+1，从而可得抛物线解析式为y＝-x2＋bx＋（2b+1），顶点坐标为（2b， b2＋2b+1），继而可求得A（−2，0），B（4b+2，0）．所以对称轴为直线x＝2b．要使AN⊥BM，由对称性可知，∠APB＝90°，且点P一定在对称轴上，则△APB为等腰直角三角形， PQ＝AB＝2b+2，得P（2b，2b+2），且2b+2【详解】解：∵A（−2，0），OB＝2OC，
∴C（0，c），B（2c，0）．
由图象可知，a<0，b>0，c>0．
①：∵a<0，b>0，
∴a−b<0，
∴．故①正确；
②：把B（2c，0）代入解析式，得：4ac2+2bc＋c＝0，又c≠0，
∴4ac+2b＋1＝0，
即4ac+2b＝-1，故②正确；
③：∵抛物线与x轴交于点A（−2，0）和点B（2c，0），
∴x1＝−2和x2＝2c为相应的一元二次方程的两个根，
由韦达定理可得：x1•x2＝＝（−2）×2c＝-4c，
∴a＝-．故③正确；
④：如图，
∵a＝-，4ac+2b＝-1，
∴c＝2b+1．
故原抛物线解析式为y＝-x2＋bx＋（2b+1），顶点坐标为（2b， b2＋2b+1）．
∵C（0，2b+1），OB＝2OC，
∴A（−2，0），B（4b+2，0）．
∴对称轴为直线x＝2b．
要使AN⊥BM，由对称性可知，∠APB＝90°，且点P一定在对称轴上，
∵△APB为等腰直角三角形，
∴PQ＝AB＝ [4b+2-（−2）]＝2b+2，
∴P（2b，2b+2），且有2b+2整理得：b2＞1，
解得：b＞1或b＜−1，这与b>1一致，故④正确．
综上所述，正确的有4个，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与x轴的交点与相应的一元二次方程的根的关系，解此题的关键在于根据函数图象判断出a、b、c的符号，其中第④问有一定的难度．
11．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】解：4500000000=4.5×109．
故答案为：．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12．a（b﹣2）2
【详解】ab2﹣4ab+4a
=a（b2﹣4b+4）
=a（b﹣2）2
故答案为a（b﹣2）2．
13．x＞3
【分析】本题考查二次根式是否有意义以及分式是否有意义，按照对应自变量要求求解即可．
【详解】因为二次根式有意义必须满足被开方数为非负数
所以有．
又因为分式分母不为零
所以．
故综上：＞
则：．
故答案为：x＞3
【点睛】二次根式以及分式的结合属于常见组合，需要着重注意分母不为零的隐藏陷阱．
14．
【分析】从，，，中任取两个数值作为，的值，表示出基本事件的总数，再表示出其积为负值的基础事件数，按照概率公式求解即可．
【详解】从，，，中任取两个数值作为，的值，其基本事件总数有：
共计12种；
其中积为负值的共有：8种，
∴其概率为：
故答案为：．
【点睛】本题结合反比例函数图象的性质，考查了概率的计算，能准确写出基本事件的总数，和满足条件的基本事件数，是解题的关键．
15．10π
【分析】直接根据扇形的面积公式求解．
【详解】∵扇形的弧长为cm，半径为6cm，
∴扇形的面积＝lR＝××6＝10πcm2．
故答案为：10π．
【点睛】考查了扇形面积的计算，解题关键是熟记扇形的面积公式．
16．
【分析】据各图形中花盆的数量，找出变化规律并归纳公式，即可求出结论．
【详解】解：第1个图形一共有个花盆；
第2个图形一共有个花盆；
第3个图形一共有个花盆；
∴第n个图形一共有个花盆；
∴第6个图形中花盆的个数为，
故答案为：．
【点睛】此题考查的是探索规律题，找出变化规律并归纳公式是解决此题的关键．
17．2.5
【详解】试题分析：根据勾股定理求AR；再运用中位线定理求EF．
试题解析：∵四边形ABCD是矩形，
∴△ADR是直角三角形
∵DR=3，AD=4
∴AR=
∵E、F分别是PA，PR的中点
∴EF=AR=×5=2．5．
考点：1．三角形中位线定理；2．矩形的性质．
18．
【分析】当m从变化到时，点N相应移动的路经是一条线段，只需考虑始点和终点位置即可解决问题．当m=时，连接PM，如图1，点M从点A绕着点P逆时针旋转了一周的，从而可得到旋转角为120°，则∠APM=120°，根据PA=PM可得∠PAM=30°，在Rt△AON中运用三角函数可求出ON的长；当m=时，连接PM，如图2，点M从点A绕着点P逆时针旋转了一周的，从而可得到旋转角为240°，则∠APM=120°，同理可求出ON的长，问题得以解决．
【详解】解：①当m=时，连接PM，如图1，
∠APM=×360°=120°．
∵PA=PM，∴∠PAM=∠PMA=30°．
在Rt△AON中，NO=AO•tan∠OAN=1×=．
②当m=时，连接PM，如图2，
∠APM=360°-×360°=120°，
同理可得：NO=．
综合①、②可得：点N相应移动的路径长为+=．
故答案为
【点睛】本题主要考查了旋转角、等腰三角形的性质、三角函数等知识，若动点的运动路径是一条线段，常常可通过考虑临界位置（动点的始点和终点）来解决．
19．3
【分析】首先根据负指数次幂、零次幂、特殊角的三角函数、二次根式的化简法则得出各式的值，然后进行求和即可得出答案．
【详解】解：原式=2﹣2×++1
=2﹣++1
=3．
【点睛】本题主要考查的是实数的计算，属于基础题型．明确计算法则是解题的关键．
20．ab（a+b）2，4
【分析】将所求代数式通过因式分解的形式等价变形为a与b的和或积的形式，再代入计算即可．
【详解】解：原式＝a3b+a2b2+ab3＝ab（a+b）2，
∵a+b＝2，ab＝2，
∴原式＝×2×22＝4．
【点睛】本题考查代数式求值，因式分解，正确应用因式分解进行等价变形是解题关键．
21．x=2
【分析】先去分母、然后再按整式方程求解，最后检验即可．
【详解】解：
4+2（x-1）=x（x+1）
4+2x-2=x2+x
x2-x-2=0
（x-2）（x+1）=0
x=2,x=-1
检验：当x=-1时x2-1=0，则x=-1为增根；当x=2时x2-1=3≠0，则x=2为原分式方程的解．
【点睛】本题考查了分式方程的解法，将分式方程化为整式方程是解答本题的关键，最后的检验是本题的易错点．
22．750米．
【分析】过点A作AD⊥BC，垂足为D，在直角△ACD中利用三角函数求得AD的长，然后在直角△ABD中利用三角函数求得AB的长．
【详解】解：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D，在Rt△ACD中，
∠ACD=75°-30°=45°，AC=30×25=750（米），
∴AD=AC•sin45°（米）．
在Rt△ABD中，
∵∠B=30°，
∴（米）．
【点睛】考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键.
23．（1）60；90；（2）见解析；（3）300人；（4）
【分析】（1）根据了解很少的人数和所占的百分比求出抽查的总人数，再用“基本了解”所占的百分比乘以，即可求出“基本了解”部分所对应扇形的圆心角的度数；
（2）用调查的总人数减去“基本了解”“了解很少”和“不了解”的人数，求出了解的人数，从而补全统计图；
（3）根据了解和基本了解共占的百分比乘以900即可求出结果；
（4）根据题意先画出树状图，再根据概率公式即可得出答案．
【详解】
解：（1）接受问卷调查的学生共有：（人
扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为，
故答案为：60，90；
（2）了解的人数=60-15-30-10=5，补全条形统计图如图所示：
（3）根据题意得：（人），
则估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数为300人；
（4）画树状图得：
∵共有20种等可能的结果，恰好抽到1个男生和1个女生的有12种情况，
∴恰好抽到1个男生和1个女生的概率为：．
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
24．（1）证明见解析（2）四边形BMDF是菱形，理由见解析
【分析】根据折叠的性质得到CD=ED，∠E=∠C，再有矩形性质得到AB=CD，∠A=∠C，证明全等即可．
由全等得到边相等，最后根据四个边都相等，得到菱形．
【详解】（1）由折叠可知，CD=ED，∠E=∠C．
在矩形ABCD中，AB=CD，∠A=∠C．
∴AB=ED，∠A=∠E．
∵∠AFB=∠EFD，
∴△ABF≌△EDF．
（2）四边形BMDF是菱形．
理由：由折叠可知：BF=BM，DF=DM．
由（1）知△AFB≌△EFD，
∴BF=DF．
∴BM=BF=DF=DM．
∴四边形BMDF是菱形．
【点睛】本题利用了折叠的知识（折叠后的两个图形全等）以及矩形的性质（矩形的对边相等，对角相等），以及菱形的判定、全等三角形的判定和性质的有关知识．
25．(1)
(2)
(3)6
【分析】（1）把点A坐标为，代入反比例函数，可求出值，然后即可写出反比例函数的关系式；
（2）求出反比例函数与一次函数的交点B的坐标，根据图象直观得出自变量的取值范围；
（3）求出一次函数与x轴交点坐标C，利用三角形的面积公式进行计算即可．
【详解】（1）解：把点A坐标为，代入反比例函数，得，
所以反比例函数的关系式为．
（2）解：把代入得，
，因此点B，
由图象可得．
（3）解：把代入得，
，因此点C，
．
【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，把点的坐标代入是常用的方法，将点的坐标转化成三角形的底或高是正确计算的前提．
26．(1)甲种空调每台2000元，乙种空调每台1500元；
(2)所获利润y（元）与甲种空调x（台）之间的函数关系式是y=200x+6000，所获的最大利润是8400元．
【分析】（1）设乙种空调每台进价为x元，根据题意可以列出方程，从而可以分别求得甲、乙两种空调每台的进价，注意分式方程要检验；
（2）根据题意和（1）中的答案可以得到所获利润y（元）与甲种空调x（台）之间的函数关系式，然后根据商场计划用不超过36000元购进空调共20台，可以求得x的取值范围，从而可以求得所能获得的最大利润．
【详解】（1）解：设乙种空调每台进价为x元，
，
解得，x=1500，
经检验x=1500是原分式方程的解，且符合题意，
∴x+500=2000，
答：甲种空调每台2000元，乙种空调每台1500元；
（2）解：由题意可得，
所获利润y（元）与甲种空调x（台）之间的函数关系式是：
y=（2500-2000）x+（1800-1500）（20-x）=200x+6000，
∵2000x+1500（20-x）≤36000，
解得，x≤12，
∴当x=12时，y取得最大值，此时y=200x+6000=8400，
答：所获利润y（元）与甲种空调x（台）之间的函数关系式是y=200x+6000，所获的最大利润是8400元．
【点睛】本题考查了一次函数的应用、分式方程的应用，解答此类问题的关键是明确题意，列出相应的方程，注意分式方程要检验，最后要作答．
27．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）求出∠ODB=90°，再根据切线的判定得出即可；
（2）先证明△ADO∽△ABD．得，化为乘积式，进而可得结果；
（3）连接CF，AE，根据勾股定理求出BE，根据相似三角形的判定得出△CFB∽△EAB，得出比例式，再求值即可．
【详解】（1）证明：∵，，
∴．
∴．
∴．
∵点D是半径OD的外端，
∴BD是⊙O的切线．
（2）证明：由（1）知，
∴△ADO∽△ABD．
∴，即．
又DE为直径，
∴．
∴．
（3）解：如图，连接CF，AE．
∵，，
∴．
∵，
∴．
∴，，．
∴．
∵，
∴△CFB∽△EAB．
∴，．
∴．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的性质和判定，圆周角定理，勾股定理等知识点，证明△BMD∽△BDE是解此题的关键．
28．(1)
(2)
(3)是，
【分析】（1）将A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）代入y=ax2+bx+c，即可求解；
（2）过点B作MB⊥CB交于点M，过点M作MN⊥x轴交于点N，由题意可得tan∠BCM==，求出BM=，再由∠NBM=45°，求出点M（2，1），求直线CM的解析式即为所求；
（3）设P（t，-t2+2t+3），分别由待定系数法求出直线AP的解析式，直线BP的解析式，就能求出CE和CF的长，即可求解．
【详解】（1）解：设，
把、、代入解析式，则
∴
解得，
∴．
（2）解：过点B作MB⊥CB交于点M，过点M作MN⊥x轴交于点N，
∵A（-1，0）、C（0，3），B（3，0），
∴OA=1，OC=3，BC=，
∴tan∠ACO=，
∵∠PCB=∠ACO，
∴tan∠BCM==，
∴BM=，
∵OB=OC，
∴∠CBO=45°，
∴∠NBM=45°，
∴MN=NB=1，
∴M（2，1），
设直线CM的解析式为y=kx+b，
∴，
∴，
∴直线PC的解析式为y=2x+3；
（3）解：的值是为定值．理由如下：
设P（t，t2+2t+3），
设直线AP的解析式为y=k1x+b1，
∴，
∴，
∴y=（3t）x+（3t），
∴E（0，3t），
∴CE=t，
设直线BP的解析式为y=k2x+b2，
∴，
∴，
∴y=（t1）x+3t+3，
∴F（0，3t+3），
∴OF=3t，
∴，
∴的值是为定值．
【点睛】本题是二次函数的综合题，锐角三角函数，熟练掌握二次函数的图象及性质，用待定系数法求函数解析式的方法是解题的关键．
一、单选题
1．下列实数中是无理数的是（ ）
A．B．C．D．
2．计算正确的是（ ）
A．(-5)0=0B．C．D．
3．如图，这个几何体的左视图是（ ）
A．B．C．D．
4．下列历届世博会会徽的图案是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
5．实数，在数轴上的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，在ΔABC中，AC=DC=DB，∠ACD=100°，则∠B等于（ ）
A．50°B．40°C．25°D．20°
7．甲、乙两名学生10次立定跳远成绩的平均数相同，若甲10次立定跳远成绩的方差S甲2=0.006，乙10次立定跳远成绩的方差S乙2=0.035，则（ ）
A．甲的成绩比乙的成绩稳定
B．乙的成绩比甲的成绩稳定
C．甲、乙两人的成绩一样稳定
D．甲、乙两人成绩的稳定性不能比较
8．一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象可能为（ ）
A．B．C．D．
9．如图，在正方形网格（小正方形的边长均为）中， 的顶点均在格点上，则（ ）
A．B．C．D．
10．如图，已知抛物线的对称轴在y轴右侧，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴的正半轴交于点C，且，则下列结论：①；②；③；④当时，在x轴上方的抛物线上一定存在关于对称轴对称的两点M，N（点M在点N左边），使得．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题
11．“一带一路”的“朋友圈”究竟有多大？“一带一路”涉及沿线65个国家，总涉及人口约4500000000，将4500000000科学记数法表示为__________．
12．分解因式：ab2﹣4ab+4a=________．
13．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____．
14．从，，，这四个数中任取两个不同的数分别作为，的值，得到反比例函数，则这些反比例函数中，其图象在二、四象限的概率是______．
15．已知扇形的弧长等于cm，半径为6cm，则该扇形的面积等于_____cm2．
16．如图，是由相同的花盆按一定的规律组成的形如正多边形的图案，其中第1个图形一共有6个花盆，第2个图形一共有12个花盆，第3个图形一共有20个花盆，…则第6个图形中花盆的个数为____________ ．
17．如图，已知矩形ABCD，P、R分别是BC和DC上的点，E、F分别是PA，PR的中点．如果DR=3，AD=4，则EF的长为______．
18．如图，在直角坐标系中，已知点A（0，1），点P在线段OA上，以AP为半径的⊙P周长为1．点M从A开始沿⊙P按逆时针方向转动，射线AM交x轴于点N（n，0）．设点M转过的路程为m（），，随着点M的转动，当m从变化到时，点N相应移动的路径长为___．
三、解答题
19．计算：（）﹣1﹣2cs30°++（3﹣π）0
20．已知a+b＝2，ab＝2，求a3b+a2b2+ab3的值．
21．解方程：
22．如图，在小山的东侧A点处有一个热气球，由于受风向的影响，该热气球以每分钟30米的速度沿与地面成75°角的方向飞行，25分钟后到达C处，此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30°，求A，B两点间的距离．
23．“校园安全”受到全社会的关注，菏泽市某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图，请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
（1）接受问卷调查的学生共有 人，扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为 °；
（2）请补全条形统计图；
（3）若该中学共有学生900人，请根据上述调查结果，估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数；
（4）若从对校园安全知识达到“了解”程度的3个女生和2个男生中随机抽取2人参加校园安全知识竞赛，请用树状图或列表法求出恰好抽到1个男生和1个女生的概率．
24．如图，把一张矩形的纸ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点E处，BE与AD交于点F．
（1）求证：△ABF≌△EDF；
（2）若将折叠的图形恢复原状，点F与BC边上的点M正好重合，连接DM，试判断四边形BMDF的形状，并说明理由．
25．如图，直线与反比例函数的图象交点A、点B，与x轴相交于点C，其中点A的坐标为，点B的纵坐标为2．
(1)求反比例函数解析式；
(2)当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值；（直接写出来）
(3)求的面积．
26．夏季来临，商场准备购进甲、乙两种空调，已知甲种空调每台进价比乙种空调多500元，用40000元购进甲种空调的数量与用30000元购进乙种空调的数量相同．请解答下列问题：
(1)求甲、乙两种空调每台的进价；
(2)若甲种空调每台售价2500元，乙种空调每台售价1800元，商场计划用不超过36000元购进空调共20台，且全部售出，请写出所获利润y（元）与甲种空调x（台）之间的函数关系式，并求出所能获得的最大利润.
27．如图，线段AB经过⊙O的圆心O，交⊙O于A，C两点，AD为⊙O的弦，连接BD，，连接DO并延长，交⊙O于点E，连接BE交⊙O于点F．
(1)求证：BD是⊙O的切线；
(2)求证：；
(3)若，求BF的长．
28．如图1，已知，抛物线经过、、三点，点P是抛物线上一点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点P位于第四象限时，连接AC，BC，PC，若，求直线PC的解析式；
(3)如图2，当点P位于第二象限时，过P点作直线AP，BP分别交y轴于E，F两点，请问的值是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．
参考答案：
1．A
【分析】根据无理数的概念进行判断即可．
【详解】解：无理数是指无限不循环小数，像开方开不尽的数，有特殊意义的数，有特殊形式的数，
A、是无理数，符合题意；
B、，有限小数，不符合题意；
C、，有理数，不符合题意；
D、，有理数，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查无理数的概念，熟悉无理数的定义是解题关键．
2．C
【分析】由零指数幂、合并同类项、积的乘方、负整数指数幂分别进行判断，即可得到答案．
【详解】解：A、，故A错误；
B、不能合并，故B错误；
C、，故C正确；
D、，故D错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了积的乘方，负整数指数幂，零指数幂，合并同类项，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．
3．B
【分析】根据三视图概念即可解题.
【详解】解：因为物体的左侧高,所以会将右侧图形完全遮挡,看不见的直线要用虚线代替,
故选B.
【点睛】本题考查了三视图的识别,属于简单题,熟悉三视图的概念是解题关键.
4．C
【分析】根据中心对称图形的概念：中心对称图形是绕对称中心旋转180度后与原图重合，很容易得出答案．
【详解】根据中心对称图形的概念，A不是中心对称图形，A不符合题意；
根据中心对称图形的概念，B不是中心对称图形，B不符合题意；
根据中心对称图形的概念，C是中心对称图形，C符合题意；
根据中心对称图形的概念，D不是中心对称图形，D不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了中心对称图形的定义，熟练掌握中心对称图形的的定义及特点是解题的关键．
5．D
【分析】根据在数轴上的对应点的位置，可得a、b的范围，从而判断各选项．
【详解】解：解：由图可知：，
∴，，，
∴A、，故本选项不正确；
B、，故本选项不正确；
C、，故本选项不正确；
D、，故本选项正确．
故选D．
【点睛】本题考查了实数与数轴，利用数轴上的对应点的位置，得出a、b的范围是解题关键．
6．D
【详解】试题解析：∵AC=DC=DB，∠ACD=100°，
∴∠CAD==40°，
∵∠CDB是△ACD的外角，
∴∠CDB=∠A+∠ACD=100°=40°+100°=140°，
∵DC=DB，
∴∠B==20°．
故选D．
【点睛】此题很简单，考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质及三角形的内角和定理．
7．A
【分析】根据方差的意义即可解答．
【详解】解：∵甲和乙的成绩平均数相同，S甲2=0.006＜S乙2=0.035，
∴甲的成绩比乙的成绩稳定甲的成绩比乙的成绩稳定．
故选A．
【点睛】本题主要考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定．
8．A
【分析】通过k的讨论，判断函数的图象即可．
【详解】当k＜0，b＜0时，一次函数y=kx+b的图象，反比例函数y＝，A、B、C、D不成立．
当k＜0，b＞0，一次函数y=kx+b的图象，反比例函数y＝，A、B、C、D不成立．
当k＞0，b＜0时，一次函数y=kx+b的图象，反比例函数y＝，A、B、C、D不成立．
当k＞0，b＞0时，一次函数y=kx+b的图象，反比例函数y＝，A成立、B、C、D不成立．
故选A．
【点睛】本题考查直线方程与反比例函数图象的判断，考查计算能力．
9．B
【分析】如图，作于点D，根据题意有求出、，接着因为有与，联合求解即可求出，最后根据即可求出答案．
【详解】如图，作于点D，
根据题意有，
，
，
即，
，
，
，
，
．
故答案为：B．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义、三角形的面积公式以及勾股定理的应用，牢记以上知识点是解题的关键．
10．D
【分析】首先根据函数图象可判断a，b，c的符号，a<0，b>0，c>0，从而可判断①正确；由OB＝2OC可推出点B（2c，0）代入解析式化简即可判断②正确；由抛物线与x轴的交点A（−2，0）和点B（2c，0），再结合韦达定理可得x1•x2＝＝（−2）×2c＝-4c，可得a＝-，即可判断③正确；根据a＝-， 4ac+2b＝-1，可得c＝2b+1，从而可得抛物线解析式为y＝-x2＋bx＋（2b+1），顶点坐标为（2b， b2＋2b+1），继而可求得A（−2，0），B（4b+2，0）．所以对称轴为直线x＝2b．要使AN⊥BM，由对称性可知，∠APB＝90°，且点P一定在对称轴上，则△APB为等腰直角三角形， PQ＝AB＝2b+2，得P（2b，2b+2），且2b+2
∴C（0，c），B（2c，0）．
由图象可知，a<0，b>0，c>0．
①：∵a<0，b>0，
∴a−b<0，
∴．故①正确；
②：把B（2c，0）代入解析式，得：4ac2+2bc＋c＝0，又c≠0，
∴4ac+2b＋1＝0，
即4ac+2b＝-1，故②正确；
③：∵抛物线与x轴交于点A（−2，0）和点B（2c，0），
∴x1＝−2和x2＝2c为相应的一元二次方程的两个根，
由韦达定理可得：x1•x2＝＝（−2）×2c＝-4c，
∴a＝-．故③正确；
④：如图，
∵a＝-，4ac+2b＝-1，
∴c＝2b+1．
故原抛物线解析式为y＝-x2＋bx＋（2b+1），顶点坐标为（2b， b2＋2b+1）．
∵C（0，2b+1），OB＝2OC，
∴A（−2，0），B（4b+2，0）．
∴对称轴为直线x＝2b．
要使AN⊥BM，由对称性可知，∠APB＝90°，且点P一定在对称轴上，
∵△APB为等腰直角三角形，
∴PQ＝AB＝ [4b+2-（−2）]＝2b+2，
∴P（2b，2b+2），且有2b+2
解得：b＞1或b＜−1，这与b>1一致，故④正确．
综上所述，正确的有4个，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与x轴的交点与相应的一元二次方程的根的关系，解此题的关键在于根据函数图象判断出a、b、c的符号，其中第④问有一定的难度．
11．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】解：4500000000=4.5×109．
故答案为：．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12．a（b﹣2）2
【详解】ab2﹣4ab+4a
=a（b2﹣4b+4）
=a（b﹣2）2
故答案为a（b﹣2）2．
13．x＞3
【分析】本题考查二次根式是否有意义以及分式是否有意义，按照对应自变量要求求解即可．
【详解】因为二次根式有意义必须满足被开方数为非负数
所以有．
又因为分式分母不为零
所以．
故综上：＞
则：．
故答案为：x＞3
【点睛】二次根式以及分式的结合属于常见组合，需要着重注意分母不为零的隐藏陷阱．
14．
【分析】从，，，中任取两个数值作为，的值，表示出基本事件的总数，再表示出其积为负值的基础事件数，按照概率公式求解即可．
【详解】从，，，中任取两个数值作为，的值，其基本事件总数有：
共计12种；
其中积为负值的共有：8种，
∴其概率为：
故答案为：．
【点睛】本题结合反比例函数图象的性质，考查了概率的计算，能准确写出基本事件的总数，和满足条件的基本事件数，是解题的关键．
15．10π
【分析】直接根据扇形的面积公式求解．
【详解】∵扇形的弧长为cm，半径为6cm，
∴扇形的面积＝lR＝××6＝10πcm2．
故答案为：10π．
【点睛】考查了扇形面积的计算，解题关键是熟记扇形的面积公式．
16．
【分析】据各图形中花盆的数量，找出变化规律并归纳公式，即可求出结论．
【详解】解：第1个图形一共有个花盆；
第2个图形一共有个花盆；
第3个图形一共有个花盆；
∴第n个图形一共有个花盆；
∴第6个图形中花盆的个数为，
故答案为：．
【点睛】此题考查的是探索规律题，找出变化规律并归纳公式是解决此题的关键．
17．2.5
【详解】试题分析：根据勾股定理求AR；再运用中位线定理求EF．
试题解析：∵四边形ABCD是矩形，
∴△ADR是直角三角形
∵DR=3，AD=4
∴AR=
∵E、F分别是PA，PR的中点
∴EF=AR=×5=2．5．
考点：1．三角形中位线定理；2．矩形的性质．
18．
【分析】当m从变化到时，点N相应移动的路经是一条线段，只需考虑始点和终点位置即可解决问题．当m=时，连接PM，如图1，点M从点A绕着点P逆时针旋转了一周的，从而可得到旋转角为120°，则∠APM=120°，根据PA=PM可得∠PAM=30°，在Rt△AON中运用三角函数可求出ON的长；当m=时，连接PM，如图2，点M从点A绕着点P逆时针旋转了一周的，从而可得到旋转角为240°，则∠APM=120°，同理可求出ON的长，问题得以解决．
【详解】解：①当m=时，连接PM，如图1，
∠APM=×360°=120°．
∵PA=PM，∴∠PAM=∠PMA=30°．
在Rt△AON中，NO=AO•tan∠OAN=1×=．
②当m=时，连接PM，如图2，
∠APM=360°-×360°=120°，
同理可得：NO=．
综合①、②可得：点N相应移动的路径长为+=．
故答案为
【点睛】本题主要考查了旋转角、等腰三角形的性质、三角函数等知识，若动点的运动路径是一条线段，常常可通过考虑临界位置（动点的始点和终点）来解决．
19．3
【分析】首先根据负指数次幂、零次幂、特殊角的三角函数、二次根式的化简法则得出各式的值，然后进行求和即可得出答案．
【详解】解：原式=2﹣2×++1
=2﹣++1
=3．
【点睛】本题主要考查的是实数的计算，属于基础题型．明确计算法则是解题的关键．
20．ab（a+b）2，4
【分析】将所求代数式通过因式分解的形式等价变形为a与b的和或积的形式，再代入计算即可．
【详解】解：原式＝a3b+a2b2+ab3＝ab（a+b）2，
∵a+b＝2，ab＝2，
∴原式＝×2×22＝4．
【点睛】本题考查代数式求值，因式分解，正确应用因式分解进行等价变形是解题关键．
21．x=2
【分析】先去分母、然后再按整式方程求解，最后检验即可．
【详解】解：
4+2（x-1）=x（x+1）
4+2x-2=x2+x
x2-x-2=0
（x-2）（x+1）=0
x=2,x=-1
检验：当x=-1时x2-1=0，则x=-1为增根；当x=2时x2-1=3≠0，则x=2为原分式方程的解．
【点睛】本题考查了分式方程的解法，将分式方程化为整式方程是解答本题的关键，最后的检验是本题的易错点．
22．750米．
【分析】过点A作AD⊥BC，垂足为D，在直角△ACD中利用三角函数求得AD的长，然后在直角△ABD中利用三角函数求得AB的长．
【详解】解：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D，在Rt△ACD中，
∠ACD=75°-30°=45°，AC=30×25=750（米），
∴AD=AC•sin45°（米）．
在Rt△ABD中，
∵∠B=30°，
∴（米）．
【点睛】考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键.
23．（1）60；90；（2）见解析；（3）300人；（4）
【分析】（1）根据了解很少的人数和所占的百分比求出抽查的总人数，再用“基本了解”所占的百分比乘以，即可求出“基本了解”部分所对应扇形的圆心角的度数；
（2）用调查的总人数减去“基本了解”“了解很少”和“不了解”的人数，求出了解的人数，从而补全统计图；
（3）根据了解和基本了解共占的百分比乘以900即可求出结果；
（4）根据题意先画出树状图，再根据概率公式即可得出答案．
【详解】
解：（1）接受问卷调查的学生共有：（人
扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为，
故答案为：60，90；
（2）了解的人数=60-15-30-10=5，补全条形统计图如图所示：
（3）根据题意得：（人），
则估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数为300人；
（4）画树状图得：
∵共有20种等可能的结果，恰好抽到1个男生和1个女生的有12种情况，
∴恰好抽到1个男生和1个女生的概率为：．
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
24．（1）证明见解析（2）四边形BMDF是菱形，理由见解析
【分析】根据折叠的性质得到CD=ED，∠E=∠C，再有矩形性质得到AB=CD，∠A=∠C，证明全等即可．
由全等得到边相等，最后根据四个边都相等，得到菱形．
【详解】（1）由折叠可知，CD=ED，∠E=∠C．
在矩形ABCD中，AB=CD，∠A=∠C．
∴AB=ED，∠A=∠E．
∵∠AFB=∠EFD，
∴△ABF≌△EDF．
（2）四边形BMDF是菱形．
理由：由折叠可知：BF=BM，DF=DM．
由（1）知△AFB≌△EFD，
∴BF=DF．
∴BM=BF=DF=DM．
∴四边形BMDF是菱形．
【点睛】本题利用了折叠的知识（折叠后的两个图形全等）以及矩形的性质（矩形的对边相等，对角相等），以及菱形的判定、全等三角形的判定和性质的有关知识．
25．(1)
(2)
(3)6
【分析】（1）把点A坐标为，代入反比例函数，可求出值，然后即可写出反比例函数的关系式；
（2）求出反比例函数与一次函数的交点B的坐标，根据图象直观得出自变量的取值范围；
（3）求出一次函数与x轴交点坐标C，利用三角形的面积公式进行计算即可．
【详解】（1）解：把点A坐标为，代入反比例函数，得，
所以反比例函数的关系式为．
（2）解：把代入得，
，因此点B，
由图象可得．
（3）解：把代入得，
，因此点C，
．
【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，把点的坐标代入是常用的方法，将点的坐标转化成三角形的底或高是正确计算的前提．
26．(1)甲种空调每台2000元，乙种空调每台1500元；
(2)所获利润y（元）与甲种空调x（台）之间的函数关系式是y=200x+6000，所获的最大利润是8400元．
【分析】（1）设乙种空调每台进价为x元，根据题意可以列出方程，从而可以分别求得甲、乙两种空调每台的进价，注意分式方程要检验；
（2）根据题意和（1）中的答案可以得到所获利润y（元）与甲种空调x（台）之间的函数关系式，然后根据商场计划用不超过36000元购进空调共20台，可以求得x的取值范围，从而可以求得所能获得的最大利润．
【详解】（1）解：设乙种空调每台进价为x元，
，
解得，x=1500，
经检验x=1500是原分式方程的解，且符合题意，
∴x+500=2000，
答：甲种空调每台2000元，乙种空调每台1500元；
（2）解：由题意可得，
所获利润y（元）与甲种空调x（台）之间的函数关系式是：
y=（2500-2000）x+（1800-1500）（20-x）=200x+6000，
∵2000x+1500（20-x）≤36000，
解得，x≤12，
∴当x=12时，y取得最大值，此时y=200x+6000=8400，
答：所获利润y（元）与甲种空调x（台）之间的函数关系式是y=200x+6000，所获的最大利润是8400元．
【点睛】本题考查了一次函数的应用、分式方程的应用，解答此类问题的关键是明确题意，列出相应的方程，注意分式方程要检验，最后要作答．
27．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）求出∠ODB=90°，再根据切线的判定得出即可；
（2）先证明△ADO∽△ABD．得，化为乘积式，进而可得结果；
（3）连接CF，AE，根据勾股定理求出BE，根据相似三角形的判定得出△CFB∽△EAB，得出比例式，再求值即可．
【详解】（1）证明：∵，，
∴．
∴．
∴．
∵点D是半径OD的外端，
∴BD是⊙O的切线．
（2）证明：由（1）知，
∴△ADO∽△ABD．
∴，即．
又DE为直径，
∴．
∴．
（3）解：如图，连接CF，AE．
∵，，
∴．
∵，
∴．
∴，，．
∴．
∵，
∴△CFB∽△EAB．
∴，．
∴．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的性质和判定，圆周角定理，勾股定理等知识点，证明△BMD∽△BDE是解此题的关键．
28．(1)
(2)
(3)是，
【分析】（1）将A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）代入y=ax2+bx+c，即可求解；
（2）过点B作MB⊥CB交于点M，过点M作MN⊥x轴交于点N，由题意可得tan∠BCM==，求出BM=，再由∠NBM=45°，求出点M（2，1），求直线CM的解析式即为所求；
（3）设P（t，-t2+2t+3），分别由待定系数法求出直线AP的解析式，直线BP的解析式，就能求出CE和CF的长，即可求解．
【详解】（1）解：设，
把、、代入解析式，则
∴
解得，
∴．
（2）解：过点B作MB⊥CB交于点M，过点M作MN⊥x轴交于点N，
∵A（-1，0）、C（0，3），B（3，0），
∴OA=1，OC=3，BC=，
∴tan∠ACO=，
∵∠PCB=∠ACO，
∴tan∠BCM==，
∴BM=，
∵OB=OC，
∴∠CBO=45°，
∴∠NBM=45°，
∴MN=NB=1，
∴M（2，1），
设直线CM的解析式为y=kx+b，
∴，
∴，
∴直线PC的解析式为y=2x+3；
（3）解：的值是为定值．理由如下：
设P（t，t2+2t+3），
设直线AP的解析式为y=k1x+b1，
∴，
∴，
∴y=（3t）x+（3t），
∴E（0，3t），
∴CE=t，
设直线BP的解析式为y=k2x+b2，
∴，
∴，
∴y=（t1）x+3t+3，
∴F（0，3t+3），
∴OF=3t，
∴，
∴的值是为定值．
【点睛】本题是二次函数的综合题，锐角三角函数，熟练掌握二次函数的图象及性质，用待定系数法求函数解析式的方法是解题的关键．
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