第23讲 锐角三角函数与解直角三角形（练透）-【讲通练透】中考数学二轮（全国通用）

【2022讲通练透】二轮

第二十三讲  锐角三角函数与解直角三角形

考点一  特殊角的三角函数

考点二  解直角三角形

考点三  解直角三角形的应用

考点一  特殊角的三角函数

1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，若sinB＝，则sinA＝（　　）

A． B． C． D．

2．在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝2，∠C＝90°，则∠A的度数为（　　）

A．30° B．40° C．45° D．60°

3．如果sin2α+sin230°＝1，那么锐角α的度数是（　　）

A．15° B．30° C．45° D．60°

4．在△ABC中，若|sinA﹣|+（﹣cosB）2＝0，则∠C的度数是（　　）

A．45° B．75° C．105° D．120°

考点二  解直角三角形

5．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝，BC＝1，点P为△ABC内一点，∠BPC＝90°．

（1）若PB＝，求线段PA的长；

（2）若tan∠PBA＝，求∠APB的度数．

6．如图在等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D、E分别是AB、BC的中点，过点B作BF⊥AC于点F，BF与DE交于点G．

（1）求证：DE⊥BF；

（2）连结EF，若S△CEF＝S△BDG，求cos∠CEF的值．

7．如图1，△ABC中，D为AC边上一动点（不含端点），过点D作DE∥AB交BC于点E，过点E作EF∥AC交AB于点F，连接AE，DF．点D运动过程中，始终有AE＝DF．

（1）求证：∠BAC＝90°；

（2）如图2，若AC＝3，tanB＝，当AF＝AD时，求AD的长．

8．阅读下面的材料：

（1）锐角三角函数概念：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，称sinA＝，sinB＝是两个锐角∠A，∠B的“正弦”，特殊情况：直角的正弦值为1，即sin90°＝1，也就是sinC＝＝1．

由sinA＝，可得c＝；由sinB＝，可得c＝，

而c＝＝，于是就有

（2）其实，对于任意的锐角△ABC，上述结论仍然成立，即三角形各边与对角的正弦之比相等，我们称之为“正弦定理”，我们可以利用三角形面积公式证明其正确性．

证明：如图1作AD⊥BC于D则在Rt△ABD中，sinB＝，

∴AD＝c•sinB，∴S△ABC＝a•AD＝ac•sinB，

在Rt△ACD中，sinC＝，∴AD＝b•sinC．

∴S△ABC＝a•AD＝ab•sinC．同理可得S△ABC＝bc•sinA．

因此有S△ABC＝ac•sinB＝ab•sinC＝bc•sinA．

也就是＝ac•sinB＝ab•sinC＝bc•sinA．

每项都除以abc，得，故

请你根据对上面材料的理解，解答下列问题：

（1）在锐角△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，c＝2，求b；

（2）求问题（1）中△ABC的面积；

（3）求sin75°的值（以上均求精确值，结果带根号的保留根号）

考点三  解直角三角形的应用

9．随着我国首艘自主建造航母“山东舰”的正式服役，标志着我国已进入“双航母”时代．已知“山东舰”舰长BD为315m，航母前端点E到水平甲板BD的距离DE为6m，舰岛顶端A到BD的距离是AC，经测量，∠BAC＝71.6°，∠EAC＝80.6°．（参考数据：sin71.6°≈0.95，cos71.6°≈0.32，tan71.6°≈3.01，sin80.6°≈0.99，cos80.6°≈0.16，tan80.6°≈6.04）请计算舰岛AC的高度（结果精确到1m）．

10．张老师家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图①），完全开启后，把手AM与水平线的夹角为37°，此时把手端点A、出水口点B和落水点C在同一直线上，洗手盆及水龙头示意图如图②，其相关数据为AM＝10cm，MD＝6cm，DE＝22cm，EH＝38cm，求EC的长（结果精确到0.1cm，参考数据：sin37°＝，cos37°＝，tan37°＝，≈1.73）

11．如图，一座小山的山顶上有一根竖直的电线杆MN，水平直线AC与MN在同一平面，点B在AC上．用测倾器在点A处测得∠MAC＝45°，∠NAC＝30°，向前走10米到达点B，在点B处测得∠MBC＝60°，∠NBC＝45°．求：

（1）电线杆MN的长度；

（2）小山相对于水平直线AC的高度（结果保留根式）．

12．为邓小平诞辰110周年献礼，广安市政府对城市建设进行了整改，如图，已知斜坡AB长60米，坡角（即∠BAC）为45°，BC⊥AC，现计划在斜坡中点D处挖去部分斜坡，修建一个平行于水平线CA的休闲平台DE和一条新的斜坡BE（下面两个小题结果都保留根号）．

（1）若修建的斜坡BE的坡比为：1，求休闲平台DE的长是多少米？

（2）一座建筑物GH距离A点33米远（即AG＝33米），小亮在D点测得建筑物顶部H的仰角（即∠HDM）为30°．点B、C、A、G，H在同一个平面内，点C、A、G在同一条直线上，且HG⊥CG，问建筑物GH高为多少米？