第17讲 三角形全等（练透）-【讲通练透】中考数学二轮（全国通用）

【2022讲通练透】二轮

第十七讲  三角形全等

考点一  手拉手模型证全等

考点二  倍长中线证全等

考点三  手拉手+倍长中线模型

考点四  半角模型证全等

考点五  三垂直模型证全等

考点六  对角互补模型证全等

考点一  手拉手模型证全等

1．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，点E、F分别在直线BC、CD上，且∠EAF＝∠BAD．

（1）当点E、F分别在边BC、CD上时（如图1），请说明EF＝BE+FD的理由；

（2）当点E、F分别在边BC、CD延长线上时（如图2），（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出EF、BE、FD之间的数量关系，并说明理由．

2．如图，已知∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC．

（1）△ABC与△ADE全等吗？请说明理由；

（2）若AF⊥CB，垂足为F，请说明线段2CF＝CE；

（3）在（2）的基础上，猜想线段BF，DE，CD存在的数量关系，并直接写出结论．

3．如图，等边△ABC中，点E、F分别是AB、AC的中点，P为BC上一点，连接EP，作等边△EPQ，连接FQ，EF．

（1）若等边△ABC的边长为20，且∠BPE＝45°，求等边△EPQ的边长；

（2）求证：BP＝EF+FQ．

考点二  倍长中线证全等

1．已知△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ADE＝90°，点F为BE中点，连接DF、CF．

（1）如图1，当点D在AB上，点E在AC上，请直接写出此时线段DF、CF的数量关系和位置关系（不用证明）；

（2）如图2，在（1）的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转45°时，请你判断此时（1）中的结论是否仍然成立，并证明你的判断；

（3）如图3，在（1）的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转90°时，若AD＝1，AC＝，求此时线段CF的长（直接写出结果）．

2．在△ABC中，点D是BC的上一点，点E是△ABC外一点，且∠AEB＝90°，过点C作CF⊥AF，垂足为F，连接DE，DF．

（1）如图1，点D在AE上，D是BC中点，∠BAE＝30°，∠CAE＝45°，AB＝2，求AC的长；

（2）如图2，点D不在AE上，连接AD，延长CF至点G，连接GD且GD＝AD．若BC平分∠ABE，∠G＝∠DAB，求证：DE＝DF．

3．．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D与点B在AC同侧，∠DAC＞∠BAC，且DA＝DC，过点B作BE∥DA交DC于点E，M为AB的中点，连接MD，ME．

（1）如图1，当∠ADC＝90°时，线段MD与ME的数量关系是　      　；

（2）如图2，当∠ADC＝60°时，试探究线段MD与ME的数量关系，并证明你的结论；

（3）如图3，当∠ADC＝α时，求的值．

考点三  手拉手+倍长中线模型

1．△ABC中，点D为BC上一点，E为AC上一点，连接AD，BE，DE，已知BD＝DE，AD＝DC，∠ADB＝∠EDC．

（1）如图1，若∠ACB＝40°，求∠BAC的度数；

（2）如图2，F是BE的中点，过点F作AD的垂线，分别交AD、AC于点G、H．求证：AH＝CH．

2．如图1，等边△ABC中，CE平分∠ACB，D为BC边上一点，且DE＝CD，连接BE．

（1）若CE＝4，BC＝，求线段BE的长；

（2）如图2，取BE中点P，连接AP，PD，AD，求证：AP⊥PD且AP＝PD；

（3）如图3，把图2中的△CDE绕点C顺时针旋转任意角度，然后连接BE，点P为BE中点，连接AP，PD，AD，问第（2）问中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

3．在菱形ABCD和正三角形BGF中，∠ABC＝60°，P是DF的中点，连接PG、PC．

（1）如图1，当点G在BC边上时，若AB＝10，BF＝4，求PG的长；

（2）如图2，当点F在AB的延长线上时，线段PC、PG有怎样的数量关系，写出你的猜想；并给予证明．

（3）如图3，当点F在CB的延长线上时，（2）问中关系还成立吗？写出你的猜想，并给予证明．

考点四  半角模型证全等

1．如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．下列结论：①BG＝GC：②△ABG≌△AFG；③S△FGC＝3；④AG∥CF．其中正确结论是　①②④　．

2．如图，正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD边上的点，且∠EAF＝45°，对角线BD交AE于点M，交AF于点N．若AB＝4，BM＝2，则MN的长为　　．

3．如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD．求证：EF＝BE+FD．

（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出线段EF、BE、FD它们之间的数量关系，并证明．

（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出线段EF、BE、FD它们之间的数量关系，并证明．

考点五  三垂直模型证全等

1．已知，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．

（1）如图1，若AB＝8，点D是AC边上的中点，求S△BCD；

（2）如图2，若BD是△ABC的角平分线，请写出线段AB、AD、BC三者之间的数量关系，并说明理由；

（3）如图3，若D、E是AC边上两点，且AD＝CE，AF⊥BD交BD、BC于F、G，连接BE、GE，求证：∠ADB＝∠CEG．

2．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为CB上一点，且满足CD＝CA，连接AD．过点C作CE⊥AB于点E．

（1）若AB＝10，BD＝2，求CE的长；

（2）如图2，若点F是线段CE延长线上一点，连接FD，若∠F＝30°，求证：CF＝AE+DF；

（3）如图3，设D为BC延长线上一点，其它条件不变，直线CE与直线AD交于点F，若∠F＝30°，请直接写出线段CF，AE，DF之间的关系，不需要说明理由．

3．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是△ABC内一点，AD＝BD，且AD⊥BD，连接CD．过点C作CE⊥BC交AD的延长线于点E，连接BE．过点D作DF⊥CD交BC于点F．

（1）若BD＝DE＝，CE＝，求BC的长；

（2）若BD＝DE，求证：BF＝CF．

考点六  对角互补模型证全等

1．菱形ABCD中，∠B＝60°，∠MAN＝60°，射线AM交直线BC于点E，射线AN交直线CD于点F，连接EF，请解答下列问题：

（1）如图1，求证：EC+FC＝AC；

（2）将∠MAN绕点A旋转，如图2，如图3，请直接写出线段EC，FC，AC之间的数量关系，不需要证明；

（3）若S菱形ABCD＝18，∠CAE＝30°，则CF＝　3或12　．

2．（1）如图1，四边形ABCD是边长为5 cm的正方形，E，F分别在AD，CD边上，∠EBF＝45°．为了求出△DEF的周长．小南同学的探究方法是：

如图2，延长EA到H，使AH＝CF，连接BH，先证△ABH≌△CBF，再证△EBH≌△EBF，得EF＝EH，从而得到△DEF的周长＝　10　cm；

（2）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝100°，∠B＝∠ADC＝90°．E，F分别是线段BC，CD上的点．且∠EAF＝50°．探究图中线段EF，BE，FD之间的数量关系；

（3）如图4，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是线段BC，CD上的点，且2∠EAF＝∠BAD，（2）中的结论是否仍然成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由；

（4）若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，点E、F分别在CB、DC的延长线上，且2∠EAF＝∠BAD，请画出图形，并直接写出线段EF、BE、FD之间的数量关系．

3．（2018•阜新中考真题）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC于点D．

（1）如图1，点E，F在AB，AC上，且∠EDF＝90°．求证：BE＝AF；

（2）点M，N分别在直线AD，AC上，且∠BMN＝90°．

①如图2，当点M在AD的延长线上时，求证：AB+AN＝AM；

②当点M在点A，D之间，且∠AMN＝30°时，已知AB＝2，直接写出线段AM的长．