第21讲 特殊的平行四边形（讲通）-【讲通练透】中考数学二轮（全国通用）

【2022讲通练透】二轮

第二十一讲  特殊平行四边形

必备知识点

考点一  特殊平行四边形中的翻折问题

考点二  菱形的性质与判定

考点三  矩形的性质与判定

考点四  正方形的性质与判定

必备知识点

一、矩形的性质与判定

1．矩形的性质：

1）四个角都是直角；2）对角线相等且互相平分；3）面积=长×宽=2S△ABD=4S△AOB．（如图）

2．矩形的判定：

1）定义法：有一个角是直角的平行四边形；2）有三个角是直角；3）对角线相等的平行四边形．

二、菱形的性质与判定

1．菱形的性质：

1）四边相等；2）对角线互相垂直、平分，一条对角线平分一组对角；3）面积=底×高=对角线乘积的一半．

2．菱形的判定：

1）定义法：有一组邻边相等的平行四边形；2）对角线互相垂直的平行四边形；3）四条边都相等的四边形．

三、正方形的性质与判定

1．正方形的性质：

1）四条边都相等，四个角都是直角；2）对角线相等且互相垂直平分；3）面积=边长×边长=2S△ABD=4S△AOB．

2．正方形的判定：

1）定义法：有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形；2）一组邻边相等的矩形；

3）一个角是直角的菱形；4）对角线相等且互相垂直、平分．

四、联系

（1）两组对边分别平行；（2）相邻两边相等；（3）有一个角是直角；（4）有一个角是直角；

（5）相邻两边相等；（6）有一个角是直角，相邻两边相等；（7）四边相等；（8）有三个角都是直角．

五、中点四边形

1）任意四边形所得到的中点四边形一定是平行四边形.

2）对角线相等的四边形所得到的中点四边形是矩形.

3）对角线互相垂直的四边形所得到的中点四边形是菱形.

4）对角线互相垂直且相等的四边形所得到的中点四边形是正方形.

考点一  特殊平行四边形中的翻折问题

1．如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8．点E、F分别为边BC、AD上一点，连接EF，将矩形ABCD沿着EF折叠，使得点A落到边CD上的点A'处，且DA'＝2A'C，则折痕EF的长度为（　　）

A．3 B．2 C． D．

2．如图，在菱形纸片ABCD中，AB＝8，∠A＝60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F、G分别在边AB，AD上，则EG的长为（　　）

A． B． C．4 D．4

3．如图，矩形ABCD中，点M为CD的中点，将△ADM沿着AM翻折，得到△AD'M，延长MD'与AB交于点N，连接CD'，若AB＝10，CD'＝6，则D'N＝　   　．

4．如图，在矩形ABCD中，BC＝3，对角线AC，BD交于点O，将△BOC沿直线BD翻折至矩形ABCD所在平面内，得到△BOC′，BC′与AD交于点E，OC′与AD交于点F，连接AC′，若C′O∥DC，则点E到AC′的距离为 　   　．

5．如图，把矩形纸片ABCD（BC＞CD）沿折痕DE折叠，点C落在对角线BD上的点P处，展开后再沿折痕BF折叠，点C落在BD上的点Q处，沿折痕DG折叠，点A落在BD上的点R处，若PQ＝4，PR＝7，则BD＝　   　．

考点二  菱形的性质与判定

6．如图，菱形ABCD中，AC是对角线．

（1）如图①若∠BAC＝30°，AB＝8，求菱形ABCD的面积：

（2）如图②，G、F分别是BC、CD上一点，连接GF，过点G作GMLCF于点M，过点C作CH⊥GF于点P，交GD于点H，且GC＝HC＝GF．求证：DC＝DH+DF

（3）如图③，若AB＝BD＝10，且点P是△ABD内任意一点，求PA+PB+PD的最小值．

7．如图，四边形ABCD为菱形，∠BCD＝60°，E为对角线AC上一点，且AE＝AB，F为CE的中点，连接DF、BF，BG⊥BF与AC交于点G；

（1）若AB＝2，求EF的长；

（2）求证：CG﹣EF＝BG．

8．如图1，在菱形ABCD中，∠B为锐角，点P，H分别在边AD，CB上，且DP＝BH，在AB边上取点M，N（点N在BM之间）使AM＝5BN．点P从点D匀速运动到点A时，点Q恰好从点M匀速运动到点N，连结PQ，PH分别交对角线AC于E，F，记QM＝x，AP＝y，已知y＝﹣2x+12．

（1）①请判断PF与FH的大小关系，并说明理由；

②求AD，BN的长；

（2）如图2，连结QF，当四边形FQBH中有两边平行时，求AE：EC的值；

（3）若∠B＝60°，连结QH，求△FQH面积的最小值．

考点三  矩形的性质与判定

9．如图，在矩形ABCD中，点E为BC边上一点，过点E作EF⊥DE于点E．

（1）如图1，已知F在AB边上，AD＝DE，AD＝10，CD＝6，求BF的长；

（2）如图2，已知DE＝EF，点G为DF的中点，求证：CD+EC＝CG．

10．四边形ABCD是平行四边形，∠A＝∠B．

（1）求证：▱ABCD是矩形；

（2）若BC＝AB，求∠ACB的度数；

（3）在（2）的条件下，点E，F分别在AB，AD上，且CE＝CF，∠ECF＝30°，AC＝4，求2AE﹣FD的值．

考点四  正方形的性质与判定

11．如图所示，正方形ABCD和正方形AEFG共顶点A，正方形ABCD绕点A顺时针方向旋转，连接DG，BE，BE与AC相交于点H．

（1）如图1，在旋转过程中，当G，A，H，C恰好在同一直线上时，若AE＝，AB＝2，求线段DG的长；

（2）如图2，连接HG，在旋转过程中，若∠DGH＝2∠ABE，求证：HG＝HB；

（3）如图3，BE与DG相交于点O，点K为线段AG上一点，连接OK，若AE＝3，AK＝1，在旋转过程中，直接写出线段OK的最小值．

12．如图，点M是正方形ABCD的边BC上一点，连接AM，点E是线段AM上一点，∠CDE的平分线交AM延长线于点F．

（1）如图1，若点E为线段AM的中点，BM：CM＝1：2，BE＝，求AB的长；

（2）如图2，若DA＝DE，求证：BF+DF＝AF．

13．如图，在正方形ABCD中，线段CE交四边形的边于点E，点H为BD的中点，BF、DG分别垂直CE于点F和点G，连接HF、HG．

（1）若AB＝3，AE＝2EB，求BF的长；

（2）求证：FG＝FH．