高中数学高考专题09 平面向量（原卷版）

这是一份高中数学高考专题09 平面向量（原卷版），共10页。试卷主要包含了平面向量等内容，欢迎下载使用。

【考生存在问题报告】
（一）不能准确理解向量的相关概念
概念不清主要表现在向量的概念，平行向量、单位向量的概念；向量夹角的概念等.
【例1】（2020·湖北省高三月考）已知点，，单位向量，则（ ）
A．B．C．D．
【评析】本题主要考查两个重要知识点，即平行向量和单位向量的概念，因混淆了“与同向的单位向量”和“与平行的单位向量”这两个不同的概念，出现错解：因为故所求向量为，在复习时，只有深刻理解平行向量和单位向量的概念，才能达到正确解题的目的.
【例2】（2020·山东省高三开学考试）如图，在半径为r的定圆C中，A为圆上的一个定点，B为圆上的一个动点，若，且点D在圆C上，则_____．
【评析】本题主要考查了向量加法的平行四边形法则，向量数量积的运算，得到四边形为一个内角为的菱形是解题的关键.由向量加法的概念以及可得四边形为菱形，且，再由向量数量积的定义即可得结果.
（二）运算理解不灵活，不能合理选择算法
学生存在的主要问题是：（1）对向量运算理解不到位，比如会错把数的乘法的消去律运用在向量的数量积运算上；（2）算法选择不合理，学生往往选择常规解法，导致过繁运算，计算量过大，甚至无法解答下去.只有熟练掌握向量的运算技巧，根据题设条件合理选择算法，才能达到正确运算的目的.
【例3】（2020·福建省仙游县枫亭中学高三期中）已知向量.
(1)若，求的值；
(2)当时，求与夹角的余弦值．
【评析】本题主要考查向量的数量积公式、向量的模以及将向量问题转化为实数计算的意识，导致过繁运算，实际还是归结为运算不注意算理的选择．在解决问题时，只有熟练掌握向量的运算技巧，根据题设条件选择合理的算法，才能达到正确运算的目的.
【例4】（2020·广东省高三月考）著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理．设点，分别是△的外心、垂心，且为中点，则 （ ）
A．B．
C．D．
【评析】本题考查平面向量的线性运算，以及三角形的三心问题，同时考查学生分析问题的能力和推理论证能力．构造符合题意的特殊三角形（例如直角三角形），然后利用平面向量的线性运算法则进行计算即可得解．
（三）等价转换思想意识不强
学生主要问题体现在：题设条件问题转换不等价，在平时复习中，关注学生对相关概念、定理、公式等的本质的挖掘与掌握至关重要.
【例5】设若与的夹角为钝角，则的取值范围为
【评析】本题主要考查向量的夹角公式，学生易错解如下：，因为为钝角，所以．这是由于问题转换不等价造成的，其实向量与的夹角为钝角的充要条件是且与不共线．这里，与不共线不能忽略．
【例6】（2020·吉林省高三）若向量，满足，，且满足，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【评析】本题考查向量的垂直关系以及向量的夹角公式，掌握公式，细心计算，利用向量垂直关系，可得，然后根据向量夹角公式，可得结果.
（四）不能合理选择基底
学生主要问题体现在：不能合理选择基底解决问题，原因是学生对于平面向量基本定理并没有真正理解，所以在复习中，深刻理解平面向量基本定理，让学生真正掌握定理的本质及解决问题的技巧是关键.
【例7】（2020·福建省厦门双十中学高三月考）如图中，，，平分线交△ABC的外接圆于点，设，，则向量（ ）
A．B．C．D．
【评析】本题考查了向量的平行四边形法则，共线向量基本定理，圆的性质等知识，考查分析解决问题的能力和计算能力．根据中，的边角关系，结合圆的性质，得到四边形为菱形，所以．
（五）应用意识不强，不能合理运用向量解决问题
考查向量语言， 体现向量的的工具性，解决平行与垂直的问题，与三角函数和解析几何的交汇是高考常见题型，学生的主要问题就是缺乏用向量解决问题的意识，导致运算量过大，甚至无法解答下去，因此，在复习中教师应重视向量在这方面的运用指导，引导学生拓展思路，必定会有意想不到的神奇效果.
【例8】（2020·海南省高三）在平面直角坐标系中，点.
（1）若，求实数的值；
（2）若，求的面积.
【评析】本题考查数量积的坐标表示,考查三角形面积公式的应用,考查数量积的应用.
（1）由题可得,进而由求解即可；
（2）由可得,则,利用数量积可得,进而利用三角形面积公式求解即可.
【命题专家现场支招】
一、解决问题的思考与对策
（一）加强概念学习，注重本质理解
在平面向量的概念复习中，如何让学生迅速把握住本质，达成理解？重温概念的来龙去脉，理清知识网络，通过比较，对向量的概念进行辨析，在此基础上，抓住向量的两个要素：大小、方向进行拓展，将向量概念精准化．学生存在的问题之一是：概念不清，符号表示混乱，针对此问题，一方面教师在板书、表达等方面一定要准确和多方强调，另一方面，也可设置一些判断题，帮助学生辨析概念．
【例9】（2020·全国高三课时练习）下列说法中错误的是（ ）
A．零向量与任一向量平行B．方向相反的两个非零向量不一定共线
C．零向量的长度为0D．方向相反的两个非零向量必不相等
（二）加强运算训练，关注算法选择
单纯看向量的运算，实际上是比较抽象的．在复习中若能恰当运用模型，运用类比，不仅可以降低难度，而且对于学生认识抽象的运算有很大的好处：比如说：向量这个概念源于物理中的力、位移，那么力的合成、位移的合成实际上就是向量加法的模型，依此为基础很容易理解并记忆平行四边形法则和三角形法则.而向量的减法则可类比于数的减法定义：在实数运算中，减法是加法的逆运算；于是向量的减法也可以看成是向量加法的逆运算；在实数运算中，减去一个数，等于加上这个数的相反数.据此，复习相反向量的概念.要注意向量运算与实数运算的差异，抓住“结果是什么？”“遵循什么样的运算律？”等问题，在类比和辨析中掌握知识.逐渐渗透在集合上定义二元运算的准则．自然形成对于“逆运算”、“逆元”等概念的了解．最终拓展学生对于运算的认识．
【例10】（2020·安徽省六安一中高三月考）设是的对角线的交点，三角形的高为2，为任意一点，则（ ）
A．6B．16C．24D．48
（三）重视几何特征，关注数形结合
在“平面向量”的复习教学中，数形结合是重要的思想方法之一，理解向量线性运算的几何意义更是本专题的教学目标之一，但学生往往不能做到恰当转化．数形结合的关键是把握基本量的代数形式与几何特征之间的联系，一方面复习中要时刻注意二者的联系和相互表达，学会“看图说话”，另一方面也可选择恰当的例题，对某些几何特征量进行归纳，逐渐学会“由数到形”．每种运算都要注意从几何和代数两个方面进行解读，两者并重.但要真正掌握、运用这种思想方法，还需对数和形的实质加以挖掘．比如“向量的加法”复习中，可从“位移的合成”引入三角形法则，这是向量加法的几何法则，将其代数化，就得到：.代数化和形式化并不只是一种简洁的表示，还可挖掘其内在的含义：如这个式子其实可以脱离图形而存在，进一步得到．
【例11】（2020·北京高三）如图，正三角形边长为2，是线段上一点，过点作直线的垂线，交线段的延长线于点，则的最大值为______.
（四）重视方法训练，关注基底选择
通过本专题的复习，研究用向量处理问题的两种方法：“向量法”和“坐标法”．也即面对一个实际问题，要学会选择基底或者建立平面直角坐标系．本质上这两种方法是统一的，其依据都是“平面向量基本定理”，后者是前者的特例．学生往往对于后者较为熟悉，在给定的坐标系中会处理问题，但不善于自己选择基底．事实上，这种熟悉，对于很多学生来说：只是一种简单的模仿和运算，而对于平面向量基本定理并没有真正理解.但课标对于平面向量基本定理的要求，只限于“了解”.因此，若学生程度较好，可在正交基底的基础上，引导学生选择其它的基底解决问题，强化平面向量基本定理的教学．
【例12】（2020·浙江省学军中学高三期中）已知在中，，．
（1）若的平分线与边交于点，求；
（2）若点为的中点，求的最小值．
【例13】如图，, 点在由射线, 线段及的延长线围成的区域内（不含边界）运动, 且,则的取值范围是____ __；
当时, 的取值范围是____ __.
（五）强化问题意识，注重向量运用
学生的主要问题就是缺乏用向量解决问题的意识，学生处理问题的意识不是一朝一夕形成的，教师要在教学中积极引导学生自觉地思考、转化、构图和变式，让学生不断积累思维和活动经验，要加强教学过程中对学生思维、意识和能力的培养，注重过程强化，关注解题过程的思维达成度，培养学生的悟性.
【例14】（2020·安徽省高三月考）在中，.
(1) 求角的大小；
(2)若，垂足为，且，求面积的最小值.
二、典型问题剖析
（一）平面向量的线性运算及坐标运算
【例15】（2020·北京市十一学校高三月考）在梯形中，//，，为中点，若，则___．
【例16】（2020·江西省南城一中高三期末）已知向量，，，若，则实数______.
（二）平面向量基本定理及应用
【例17】（2020·宁夏回族自治区银川一中高三）若点在三角形的边上，且，则的值为__________.
（三）平面向量的数量积及应用
【例18】（2020·湖南省长郡中学高三）已知向量满足，若，则的最小值为_____________.
（四）平面向量的平行与垂直
【例19】（2020·四川省泸县第二中学高三月考）已知向量，的夹角为，，，.若，则__________．
【例20】（2020·广东省高三）若平面向量(csθ,sinθ),(1,﹣1),且⊥,则sin2θ的值是_____.
（五）平面向量模的最值或范围问题
(1)代数法：把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解．
(2)几何法(数形结合法)：弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解
【例21】（2020·浙江省高三期末）已知单位向量、满足，设向量，，则的取值范围是_____．
【例22】（2020·山东省高三月考）已知、、是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是（ ）
A．B．C．2D．
（六）数量积的最值或范围问题
(1)临界分析法：结合图形，确定临界位置的动态分析求出范围；
(2)目标函数法：将数量积表示为某一个变量或两个变量的函数，建立函数关系式，再利用三角函数有界性、二次函数或基本不等式求最值或范围.
【例23】（2020·福建省高三）已知三角形为直角三角形，点为斜边的中点，对于线段上的任意一点都有， 则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【例24】（2020·山东省枣庄八中高三月考）已知不共线向量夹角为，，，，，在处取最小值，当时，的取值范围为（ ）
B．C．D．
【新题好题针对训练】
一、单选题
1．（2020·全国高三课时练习）关于零向量，下列说法中错误的是 ( )
A．零向量是没有方向的B．零向量的长度是0
C．零向量与任一向量平行D．零向量的方向是任意的
2．（2020·河南省高三开学考试）如图所示的中，点D、E、F分别在边、、上，且，，，则向量（ ）
A．B．
C．D．
3．（2020·湖北省恩施土家族苗族高中高三月考）在中，为线段上一点，，为上任一点，若，且，，则的最小值是（ ）
A．12B．11C．10D．9
4．（2020·天津高三期末）在梯形中，已知，，，，若，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2020·全国高三课时练习）设点P是△ABC所在平面内一点，，则点P是△ABC
A．内心B．外心C．重心D．垂心
6．（2020·宁夏回族自治区宁夏大学附属中学高三月考）已知向量，，.若，则k的值为（ ）
A．B．2C．D．
7．（2020·鄂尔多斯市第一中学高三）已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，若平面内点满足，则的最大值为（ ）
A．7B．6C．5D．4
8．（2020·湖北省高三月考）等腰直角三角形中，，，点是斜边上一点，且，那么（ ）
A．B．C．2D．4
9．（2020·山东省高三月考）已知，为图象的顶点，O，B，C，D为与x轴的交点，线段上有五个不同的点．记，则的值为（ ）
A．B．45C．D．
二、填空题
10．（2020·湖南省明达中学高三）已知平面向量、、满足，，且，则当时，的取值范围是_______
11．（2020·江苏省高三）已知是的垂心（三角形三条高所在直线的交点），，则的值为_______.
12．（2020·江西省临川第二中学高三）设为所在平面内一点，，若，则__________．
13．（2020·全国高三专题练习）如图，在中，,,,，过点的直线分别交射线、于不同的两点、，若，，则当时，___________,__________．
14．（2020·北京101中学高三月考）已知是锐角的外接圆圆心，是最大角，若，则的取值范围为________.
15．（2020·天津高三期末）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，，A（1，1），则的取值范围为___
16．（2020·海南省高三）设的外接圆的圆心为，半径为2，且满足，则的最小值为________.
三、解答题
17．（2020·洪洞县第一中学高三期中）已知向量．
（1）若，求x的值；
（2）记，求函数y＝f（x）的最大值和最小值及对应的x的值．
18．（2020·江西省高三月考）在直角坐标系中，已知椭圆，若圆的一条切线与椭圆有两个交点，且.
（1）求圆的方程；
（2）已知椭圆的上顶点为，点在圆上，直线与椭圆相交于另一点，且，求直线的方程.