专题08 等比数列-高中数学必备考试技能（解析版）学案

结论八：等比数列

结

论

已知等比数列{an},公比为q,前n项和为Sn.

(1)an=am·qn-m,an+m=anqm=amqn(m,n∈N*).

(2)若m+n=p+q,则am·an=ap·aq(m,n,p,q∈N*);反之,不一定成立.

(3)a1a2a3…am,am+1am+2…a2m,a2m+1a2m+2…a3m,…成等比数列(m∈N*).

(4)公比q≠-1时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…成等比数列(n∈N*).

(5)若等比数列的项数为2n(n∈N*),公比为q,奇数项之和为S奇,偶数项之和为S偶,则=q.

(6){an},{bn}是等比数列,则{λan},,{anbn},也是等比数列(λ≠0,n∈N*).xk-*/w

(7)通项公式an=a1qn-1=·qn.从函数的角度来看,它可以看作是一个常数与一个关于n的指数函数的积,其图象是指数函数图象上一群孤立的点.

(8)只有同号的两个数才能有等比中项;两个同号的数的等比中项有两个,它们互为相反数.

(9)三个数成等比数列,通常设为,x,xq;四个数成等比数列,通常设为,,xq,xq3.

解

读

对于等比数列中的这些结论要做到熟悉，有的需要记忆，有的需要了解推导过程。当用到这些结论时要会根据等差数列前n项和公式、通项公式推导。例如第（1）中的

典

例

等比数列的前项和为，则_______.

解

析

【答案】

【详解】等比数列的前项和为，则也成等比数列，

而所以成等比数列，故，

所以.

反

思

本题根据等比数列的前项和的性质可知也成等比数列，再利用即求得，即得结果. 本题的解题关键在于熟知等比数列的“等距片段和”也成等比数列，进而突破难点.

针对训练*举一反三

1．在各项均为正数的等比数列中，，，则（    ）

A．1 B．9 C． D．

【答案】B

【详解】因为为各项为正的等比数列，，，

所以

2．设是等比数列的前项和，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】设，由数列为等比数列(易知数列的公比)，得

为等比数列，又，，

3．设等比数列的前项和为，且，则（    ）

A．255 B．375 C．250 D．200

【答案】A

【解析】由题得，成等比数列，则有，，解得，同理有，，解得.故选：A

4．等比数列{an}的公比为q(q≠1)，则数列a3，a6，a9，…，a3n，…的前n项和为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】依题意得等比数列{an}的通项，所以，因为，

所以数列是首项为，公比为的等比数列，因为，所以，所以数列的前n项和为.

5．已知数列是等比数列，为其前项和，若，则（    ）

A．50 B．60 C．70 D．80

【答案】B

【详解】数列是等比数列，，，，也成等比数列，即，，，也成等比数列，易知公比，，，

.

6．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝，a2a6＝8(a4－2)，则S2 020＝（    ）

A．22 019－ B．1－2 019

C．22 020－ D．1－2 020

【答案】A

【详解】设{an}的公比为q，，，解得，，可得，.

7．设等比数列的前项和为，公比，则_____________.

【答案】36

【详解】设，因为公比，

故，同理.又，故，解得，故.

8．已知等比数列的各项均为正数，若，则＝（  ）

A．1 B．3 C．6 D．9

【答案】D

【解析】由 ，可得，进而可得 ， .