【全套】中考卷数学复习专题（知识梳理+含答案）：运动与变化之函数思想

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【例1】 同学们都知道，一次函数的图象是一条直线，它可以表示许多实际意义，比如在图1中，x表示时间（小时），y表示路程（千米）．那么从图象上可以看出，某人出发时（x＝0），离某地（原点）2千米，出发1小时，由x＝1，得y＝5，即某人离某地5千米，他走了3千米．
在图2中，OA，BA分别表示甲、乙两人的运动图象，请根据图象回答下列问题：
(1)如果用t表示时间，y表示路程，那么甲、乙两人各自的路程与时间的函数关系式：甲_________，乙________________;
(2)甲的运动速度是______千米/时；
(3)甲、乙同时出发，相遇时，甲比乙多走______千米．

图1 图2
【例2】对于方程，如果方程实根的个数恰为3个，则m值等于( )
A.1 B． C．2 D．2.5
【例3】已知b，c为整数，方程的两根都大于－1且小于0，求b和c的值．
【例4】在直角坐标系中．有以A（－1，－1），B(1，一1), C(1，1），D(－1，1)为顶点的正方形，设它在折线上侧部分的面积为S．试求S关于a的函数关系式，并画出它们的图象．
【例5】如图，公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O恰在水面中心，OA＝1.25米．由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流沿形状相同的各条抛物线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1米处时距水面最大高度为2.25米．
(1)如果不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至落到池外？
(2)若水流喷出的抛物线形状与(1)相同，水池的半径为3.5米，要使水流不落到池外，此时水流的最大高度应达多少米？（精确到0.1米）

【例6】某商场促销方案规定：商场内所有商品按标价的80%出售，同时，当顾客在商场内消费满一定金额后，按下表获得相应的返还金额．
注：“300～400”表示消费金额大于300元且小于或等于400元，其他类同.
根据上述促销方案，顾客在该商场购物可以获得双重优惠．例如，若购买标价为400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为400×(1－80%) ＋30＝110(元)．
(1)购买一件标价为1000元的商品，顾客获得的优惠额是多少？
(2)如果顾客购买标价不超过800元的商品，要使获得的优惠额不少于226元，那么该商品的标价至少为多少元？
能力训练
1．如图，是兰州市市内电话费y（元）与通话时间t（分钟）之间的函数关系的图象，则通话7分钟需付电话费_________（元）．


第1题图 第2题图 第4题图
2．如图，某航空公司托运行李的费用与托运行李重量的关系的函数图象，由图中可知行李的重量只要不超过_________公斤，就可免费托运．
3．已知a，b为抛物线y＝(x－c)(x－c－d) －2与x轴交点的横坐标，a＜b，则|a－c|＋ |c－b|
的值为_________．

4．为了增强居民节水意识，某市自来水公司对居民用水采用以户为单位分段计费的方法收费，每月收取水费y（元）与用水量x（吨）之间的函数关系如图．按上述分段收费标准，小明家三、四月份分别交水费26元和18元，则四月份比三月份节约用水__________吨．
5．某校组织学生到距离学校6千米的光明科技馆去参观．学生王红因事没能乘上学校的包车，于是准备在学校门口改乘出租车去光明科技馆，出租车的收费标准如下：
(1)写出出租车行驶的里程数x≥3（千米）与费用y（元）之间的函数关系式：___________ .
(2)王红同学身上仅有14元钱，乘出租车到科技馆的车费够不够？请说明理由．_______________
6．已知边长为1的正方形ABCD，E为边CD的中点，动点P在正方形ABCD边上沿A→B→C→E运动．设点P经过的路程为x，△APE的面积为y，则y关于x的函数图象大致为( )
A B C D
7．向高为h的水瓶中注水，注满为止，如果注水量v与水深h的函数关系如图所示，那么水瓶的形态是( )
v
h
H
O
A B C D
8．方程的两根满足0＜＜1＜ ＜2，则k的取值范围是( )
A．0＜k＜2 B．0＜k＜ C．＜k＜ D．＜k＜2
9．某旅社有100张床位，每床每晚收费10元时，客床可全部租出，若每床每晚收费提高2元，则减少10张床位租出；若每床每晚收费再提高2元，则再减少10张床位租出．以每次提高2元的这种方法变化下去，为了投资少而获利大，每床每晚应提高( )
A．4元或6元B．4元 C．6元 D．8元
10．如图所示，矩形ABCD中，AB＝a，BC＝b，≤a≤3b.在AB，BC，CD和DA上分别取E，F，G，H，使得AE＝AH＝CF＝CG，则四边形EFGH面积的最大值为( )
B． C. D．
11．某公司生产一种产品，每件成本为2元，售价为3元．年销售量为100万件．为获取更好的效益，公司准备拿出一定资金做广告．通过市场调查发现：每年投入的广告费用为x（10万元）时，产品的年销量将是原售量的y倍；同时y又是x的二次函数，相互关系如下表：
(1)求y与x的函数关系式；
(2)如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S（10万元）与广告费x(10万元)的函数关系式；
(3)如果一年投入的广告费为10～30万元，问广告费在什么范围内时，公司获得的年利润随广告费的增大而增大？
12. 如图，这是某市一处十字路口立交桥的横断面在平面直角坐标系中的示意图，横断面的地平线为x轴，横断面的对称轴为y轴．桥拱的部分为一段抛物线，顶点G的高度为8米，AD和A'D'是两侧高为5.5米的支柱．OA和OA'为两个方向的汽车通行区，宽都为15米，线段CD和为两段对称的上桥斜坡，其坡度比为1：4.
(1) 求桥拱DGD'所在抛物线的解析式及CC'的长；
(2) BE和B'E'为支撑斜坡的立柱，其高都为4米，相应的AB和A'B'为两个方向的行人及非机动车通行区，试求AB和A'B'的宽；
(3) 按规定，汽车通过该桥下时，载货最高处和桥拱之间的距离不得小于0.4米．今有一大型运货汽车，装载某大型设备后，其宽为4米，车载大型设备的顶部与地面的距离均为7米；它能否从OA（或OA'）区域安全通过？请说明理由.

13．有一边长为5cm的正方形ABCD和等腰△PQR，PQ＝ PR＝5cm，QR＝8cm.点B，C，Q，R在同一条直线l上. 当C，Q两点重合时，等腰△PQR以1cm/秒的速度沿直线l按箭头所示方向开始匀速运动，t秒后正方形ABCD与等腰△PQR重合部分的面积为scm2. 解答下列问题：
(1) 当t＝3秒时，求s的值；
(2) 当t＝5秒时，求s的值；
(3) 当5秒≤t≤8秒时，求s与t的函数关系式，并求出s的最大值．
14. 是否存在这样的实数k，使得二次方程有两个实数根，且两根都在2与4之间？如果有，试确定k的取值范围；如果没有，试述理由.
15.实数，，满足．证明：．
16.如图，已知点A(－1，0)，B(3，0)，C(0，)，且，tan∠BAC＝3，抛物线经过A，B，C三点.点P(2，m)是抛物线与直线l： 的一个交点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)对于动点Q(1，），求PQ＋QB的最小值；
(3)若动点M在直线l上方的抛物线上运动，求△AMP的边AP上的高h的最大值.
点A(4，0)，B(0，3)与点C构成边长分别是3，4，5的直角三角形，如果点C在反比例函数
的图象上，求可能取的一切值．
18.已知函数．
(1)在直角坐标系中作出函数图象；
(2)已知关于x的方程（）有三个解，求的取值范围．
19.当－1≤≤2时，函数有最小值2，求所有可能取的值．
参考答案
例l （l）y=4t(t≥0) y=3t+5(t≥0) (2) 4 (3) 5
例2 C 提示：如图所示，当m=2时，与y=m有三个不同的交点。
例3 根据函数y= 5x2+bx+c的图象和题设条件知：当x=0时，5x2+bx+c＞0，∴c＞0．当x=-1时，5x2+bx+c>0，∴b<5+c．抛物线顶点的横坐标满足-1<<0，∴0b2≥20c，c<5.分别就c=l，2，3，4，讨论得b=5，c=l．
例4①当a≥1时,s=0；②当0≤a≤1时，；③当-1≤a<0时，;；④当a<-1时，s=2．
例5 (1)2.5米 (2)3.7米
例6 (1)购买一件标价为l 000元的商品，消费金额为800元，顾客获得的优惠额为1 000×(1-80%)+150=350（元）． (2)设该商品的标价为x元．当80%x≤500，即x≤625时，顾客获得的优惠额不超过625×(1-80%)+60=185<226;当500<80%x≤600，即625≤x≤750时，(1- 80 %)x+100≥226，解得x≥630.∴630≤x≤750;当600<80%x≤800×80%，即750226.综上，顾客购买标价不超过800元的商品，要使获得的优惠额不少于226元，那么该商品的标价至少为630元．
能力训练1. 1 2. 19 3. b-a 提示：当x=c时，y=-2，即点（c，-2）在抛物线上，且位于x轴下方，又因y=(x-c) （x的开口向上，则
4. 3
5. (1)
(2) 够
6. A 提示: 当时,; 当时,; 当时,
7. A 提示: 由图象知, 随高度增加, 注水量增大.
8. C 提示: 含,则
9. A
10. C 提示: 设,则
11. (1)
(2)
(3) ,又 当时, 随增大而增大
12. (1) (米)
(2) (米)
(3) 中, 当时,, 故该大型货车可从(或)区域安全通过
13.(1)
(2)
(3) 当时,
14. 设 , 如图, 由题意得
此不等式组无解, 所以满足要求的值不存在
15. 令,
, 从而二次函数的图象必与轴相交, 且一交点在-1与0之间, 于是方程必有两个不相等的解, 故
即
16. (1)
(2) 抛物线的对称轴为,故在对称轴上, 点关于对称轴的对称点是即为所求的最小值, 此时,故的最小值为
(3) 设,

当 时, 最大值为, 最大值为,此时有解得

17. 点与点之间的距离是5, 所以它们之间的连线是直角三角形的斜边, 设点的坐标是,则
= 1 \* GB3 ① 或 = 2 \* GB3 ②,
对于 = 1 \* GB3 ①, 有,两式相减, 得,因此,将它代入 = 1 \* GB3 ①的第二个式子, 得,解得或对应的的值是3或, 点的坐标为(4,3) 或, 对应的的值是或
对于 = 2 \* GB3 ②, 有,两式相减, ,因此,将它代入 = 2 \* GB3 ②的第一个式子, 得,解得或对应的的值是0或,原点不可能在反比例函数的图象上,
点的坐标为对应的的值是
综上,的值是或或
18. (1) 如图为此函数图象

(2) ,则,因此, 所给方程有三个解, 实际上就是这两个函数的图象有三个交点, 如图, 令,则的图象是过定点的直线. 当过点时, 此直线斜率显然, 这两个函数的图象只有两个交点, 故当时, 这两个函数的图象有三个交点
19. 图象的对称轴为函数在何处取最小值?
应分三种情况讨论
当时, 函数在处取得最小值2, 故解得或
当时, 函数在处取得最小值2, 代入函数式解得
当时, 函数在处取得最小值2, 代入函数式解得
故所有可能取值为消费金额（元）
300~400
400~500
500~600
600~700
700~900
…
返还金额（元）
30
60
100
130
150
…
里 程
收费（元）
3千米以下（含3千米）
8.00
3千米以上，每增加1千米
1.80
x
0
1
2
…
y
1
1.5
1.8
…