考向11 对数与对数函数（重点）-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题（新高考地区专用）（解析版）

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考向11 对数与对数函数
【2022·全国·高考真题（文）】已知，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据指对互化以及对数函数的单调性即可知，再利用基本不等式，换底公式可得，，然后由指数函数的单调性即可解出．
【详解】
由可得，而，所以，即，所以．
又，所以，即，
所以．综上，．
故选：A.
【2022·全国·高考真题】设，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
构造函数， 导数判断其单调性，由此确定的大小.
【详解】
设，因为，
当时，，当时，
所以函数在单调递减，在上单调递增，
所以，所以，故，即，
所以，所以，故，所以，
故，
设，则,
令，，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
又，
所以当时，，
所以当时，，函数单调递增，
所以，即，所以
故选：C.


1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并.
2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、
商、幂再运算.|
3.，且是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.
4.识别对数函数图象时，要注意底数以1为分界：当时，是增函数；当时，是减函数.注意对数函数图象恒过定点，且以轴为渐近线.
5.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.
6.比较对数值的大小
(1)若对数值同底数，利用对数函数的单调性比较
(2)若对数值同真数，利用图象法或转化为同底数进行比较
(3)若底数、真数均不同，引入中间量进行比较
7.解决对数函数的综合应用有以下三个步骤:
(1)求出函数的定义域；
(2)判断对数函数的底数与1的大小关系，当底数是含字母的代数式(包含单独一个字母)时，若涉及其单调性，就必须对底数进行分类讨论；
(3)判断内层函数和外层函数的单调性，运用复合函数“同增异减”原则判断函数的单调性


1.换底公式的两个重要结论
(1)(2).其中，且，且.
2.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大
3.对数函数，且的图象过定点，且过点，函数图象只在第一、四象限.

1.对数式的运算
(1)对数的定义：一般地，如果且，那么数叫做以为底的对数，记作，读作以为底的对数，其中叫做对数的底数，叫做真数．
(2)常见对数：
①一般对数：以且为底，记为，读作以为底的对数；
②常用对数：以为底，记为；
③自然对数：以为底，记为；
(3) 对数的性质和运算法则：
①；；其中且；
②(其中且，)；
③对数换底公式：；
④；
⑤；
⑥，；
⑦和；
⑧；
2.对数函数的定义及图像
(1)对数函数的定义：函数 且叫做对数函数．
对数函数的图象



图象


性质
定义域：
值域：
过定点，即时，
在上增函数
在上是减函数
当时，，当时，
当时，，当时，



1．（2022·全国·模拟预测）已知，，，则a，b，c的大小关系为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用指对互化以及指对函数的性质进行比较即可.
【详解】
由，，可得.
故选：C.
2．（2022·河南·模拟预测（文））已知，，，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
分别判断出每个数的范围，然后比较即可.
【详解】
因为，，，所以.
故选：D.
3．（2022·全国·模拟预测（文））已知，用科学记数法表示为，则的值约为（       ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意得，再分析求解即可.
【详解】
因为，，所以，
所以，所以，
又无限接近于，所以.
故选：B.
4．（2022·黑龙江·鸡西市第四中学三模（理））若两个函数的图象经过若干次平移后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数，给出下列三个函数：，，，则（       ）
A．，，为“同形”函数
B．，为“同形”函数，且它们与不为“同形”函数
C．，为“同形”函数，且它们与不为“同形”函数
D．，为“同形”函数，且它们与不为“同形”函数
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题中“同形”函数的定义和、均可化简成以3为底的指数形式，可得答案．
【详解】
解：，
，
故，的图象可分别由的图象向左平移个单位、向右平移1个单位得到，
故，，为“同形”函数．
故选：A．
5．（2022·山东·德州市教育科学研究院三模）已知对数函数的图像经过点与点，，，，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据对数函数可以解得，，再结合中间值法比较大小．
【详解】
设，由题意可得：，则
∴
，，
∴
故选：C．
6．（2022·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测（文））已知函数，若，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
构建，根据奇偶性定义可证是定义在R上的奇函数，利用奇函数理解运算．
【详解】
令，
，是R上的奇函数，，即，
又，所以．
故选：A．
7．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知函数，若是奇函数，则实数a=______．
【答案】1
【解析】
【分析】
利用奇函数的性质列方程求参数.
【详解】
由题意，，即，
所以，化简得，解得．
故答案为：1
8．（2022·福建·三明一中模拟预测）写出一个满足对定义域内的任意x，y，都有的函数：___________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】
利用对数的运算性质可知函数符合题意.
【详解】
若函数，则满足题意，
故答案为：（答案不唯一）



1．（2022·河南安阳·模拟预测（理））已知，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据给定条件，利用指数函数、对数函数单调性，借助“媒介”数比较作答.
【详解】
函数在上单调递增，，则，
函数在R上单调递减，，，而，
所以.
故选：D
2．（2022·青海·模拟预测（理））设，，，则a、b、c的大小关系为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用指数函数、对数函数的性质，再借助“媒介”数比较大小作答.
【详解】
函数在上都是增函数，，即，，则，
函数在R上单调递增，而，则，
所以.
故选：A
3．（2022·江苏无锡·模拟预测）已知，则，，的大小为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据给定条件，构造函数，利用函数的单调性比较大小作答.
【详解】
令函数，当时，求导得：，
则函数在上单调递减，又，，，
显然，则有，所以.
故选：C
【点睛】
思路点睛：某些数或式大小比较问题，探讨给定数或式的内在联系，构造函数，分析并运用函数的单调性求解.
4．（2022·全国·模拟预测）“熵”是用来形容系统混乱程度的统计量，其计算公式为，其中i表示所有可能的微观态，表示微观态i出现的概率，为大于0的常数．则在以下四个系统中，混乱程度最高的是（       ）
A． B．，
C． D．，，
【答案】C
【解析】
【分析】
对选项逐一验证，分别计算系统的混乱程度，借助对数函数比较大小，计算得解.
【详解】
对选项逐一验证（不考虑负号和玻尔兹曼常数）．
A选项：系统的混乱程度；
B选项：系统的混乱程度；
C选项：系统的混乱程度；
D选项：系统的混乱程度，所以，，，所以最小，从而C选项对应的系统混乱程度最高．
故选：C.
5．（2022·辽宁实验中学模拟预测）已知实数，满足，则的最小值为（       ）
A． B． C． D．不存在
【答案】A
【解析】
【分析】
由题设条件可得，从而利用换底公式的推论可得，代入要求最小值的代数式中，消元，利用均值不等式求最值
【详解】

又，则

当且仅当即时取等号
故选：A
6．（2022·全国·模拟预测（理））已知，则下列结论正确的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据不等式的性质，结合指数函数、对数函数的单调性、作差法比较大小等知识，逐一分析各个选项，即可得答案.
【详解】
因为，所以，
对于A：，，所以，故A错误；
对于B：，所以在上为增函数，
又，所以，故B错误；
对于C：，
因为，，所以，
所以，故C错误；
对于D：，
因为，，
所以，即，故D正确.
故选：D
7．（2022·北京·北大附中三模）已知函数，则不等式的解集是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由可得，在同一坐标系中作出两函数的图象，即可得答案.
【详解】
解：依题意，等价于，
在同一坐标系中作出，的图象，如图所示：


如图可得的解集为：.
故选：D.
8．（2022·湖北省仙桃中学模拟预测）已知是奇函数，当时，，则的解集为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出函数的解析式，令，把原不等式转化为，利用单调性法解不等式即可得到答案.
【详解】
因为是奇函数，当时，；
所以当时，；
当时，则，所以.
因为是奇函数，所以，所以.即当时，.
综上所述：.
令，则，所以不等式可化为：.
当时，不合题意舍去.
当时，对于.
因为在上递增，在上递增，所以在上递增.
又，
所以由可解得：，即，解得：.
故选：C
9．（2022·全国·哈师大附中模拟预测（理））函数，其中，记，则（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由条件结合对数运算性质可求，再结合倒序相加法求，利用裂项相消法求.
【详解】
，∴
，

，∴
，
故选：A．
10．（2022·吉林·东北师大附中模拟预测（理））已知函数，若，且，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】
由，可得，，得，所以，然后构造函数，利用可求出其单调区间，从而可求出其范围
【详解】
的图象如图，

因为，
所以，
因为，
所以，，
所以，
所以，
所以，所以，
所以，则，
所以，
令，则，
当时，，
所以在上递减，
所以，
所以，
所以的取值范围为，
故答案为：
11．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室三模（文））若，，，则的最小值为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
由可得，变为，则可利用，结合基本不等式，即可求得答案.
【详解】
∵，∴，，，∴，
∴，
当且仅当，即，时取等号，
∴的最小值为,
故答案为：
12．（2022·云南师大附中模拟预测（理））给出下列命题：①；②；③；④，其中真命题的序号是______.
【答案】①②④
【解析】
【分析】
构造函数，借助函数的单调性分别比较大小即可.
【详解】
构造函数，所以，得，当时，；当时，，于是在上单调递增，在上单调递减. 对于①，，即，又，据的单调性知成立，故①正确；
对于②，，因为，所以，即，又，据的单调性知成立，故②正确；
对于③，
，即，又，据的单调性知成立，故③错误；
对于④，
，即，又，据的单调性可知成立，故④正确.
故答案为：①②④．
13．（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知函数，若对任意，存在使得恒成立，则实数a的取值范围为____________．
【答案】
【解析】
【分析】
恒成立存在性共存的不等式问题，需要根据题意确定最值比大小解不等式即可.
【详解】
根据题意可得只需即可，由题可知a为对数底数且或.当时，此时在各自定义域内都有意义，由复合函数单调性可知在上单调递减，在上单调递减，所以，，所以，即，可得；当时，由复合函数单调性可知在上单调递减，在上单调递增，所以，，所以，即，可得.综上：.
故答案为：.
14．（2022·四川·内江市教育科学研究所三模（文））已知函数，数列是公差为2的等差数列，若，则数列的前项和___________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用定义判断的奇偶性，并确定值域范围，根据已知条件易得，进而求出首项，根据等差数列前n项和公式求.
【详解】
由且定义域为R，
所以为偶函数，而，当时等号成立，
所以在R上恒成立，
故要使，又是公差为2的等差数列，
所以，则，故.
故答案为：.
【点睛】
关键点点睛：判断函数的奇偶性，根据其对称性确定的数量关系.
15．（2022·山西运城·模拟预测（文））若，则__________.
【答案】##
【解析】
【分析】
将变形为，换元整理为，
构造函数，由单增得到即可求解.
【详解】
由，两边取以为底的对数，得，即.
由，令，则，所以，即.
设，则，所以在上单调递增.
由以及，则，又，所以.
故答案为：.



1．（2022·全国·高考真题（文））已知，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据指对互化以及对数函数的单调性即可知，再利用基本不等式，换底公式可得，，然后由指数函数的单调性即可解出．
【详解】
由可得，而，所以，即，所以．
又，所以，即，
所以．综上，．
故选：A.
2．（2022·全国·高考真题）设，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
构造函数， 导数判断其单调性，由此确定的大小.
【详解】
设，因为，
当时，，当时，
所以函数在单调递减，在上单调递增，
所以，所以，故，即，
所以，所以，故，所以，
故，
设，则,
令，，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
又，
所以当时，，
所以当时，，函数单调递增，
所以，即，所以
故选：C.
3．（2022·浙江·高考真题）已知，则（       ）
A．25 B．5 C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出．
【详解】
因为，，即，所以．
故选：C.
4．（2021·天津·高考真题）设，则a，b，c的大小关系为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据指数函数和对数函数的性质求出的范围即可求解.
【详解】
，，
，，
，，
.
故选：D.
5．（2020·全国·高考真题（理））若，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
将不等式变为，根据的单调性知，以此去判断各个选项中真数与的大小关系，进而得到结果.
【详解】
由得：，
令，
为上的增函数，为上的减函数，为上的增函数，
，
，，，则A正确，B错误；
与的大小不确定，故CD无法确定.
故选：A.
【点睛】
本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.
6．（2020·全国·高考真题（文））设，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据已知等式，利用指数对数运算性质即可得解
【详解】
由可得，所以，
所以有，
故选：B.
【点睛】
本题考查的是有关指对式的运算的问题，涉及到的知识点有对数的运算法则，指数的运算法则，属于基础题目.
7．（2019·天津·高考真题（理））已知，，，则的大小关系为
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
利用等中间值区分各个数值的大小．
【详解】
，
，
，故，
所以．
故选A．
【点睛】
本题考查大小比较问题，关键选择中间量和函数的单调性进行比较．
8．（2019·全国·高考真题（文））已知，则
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
运用中间量比较，运用中间量比较
【详解】
则．故选B．
【点睛】
本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题．
9．（2019·全国·高考真题（理））若a>b，则
A．ln(a−b)>0 B．3a<3b
C．a3−b3>0 D．│a│>│b│
【答案】C
【解析】
【分析】
本题也可用直接法，因为，所以，当时，，知A错，因为是增函数，所以，故B错；因为幂函数是增函数，，所以，知C正确；取，满足，，知D错．
【详解】
取，满足，，知A错，排除A；因为，知B错，排除B；取，满足，，知D错，排除D，因为幂函数是增函数，，所以，故选C．
【点睛】
本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、幂函数性质及绝对值意义，渗透了逻辑推理和运算能力素养，利用特殊值排除即可判断．
10．（2016·全国·高考真题（理））已知，，，则
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【详解】
因为，，，
因为幂函数在R上单调递增，所以，
因为指数函数在R上单调递增，所以，
即b 故选：A.
11．（2018·天津·高考真题（文））已知，则的大小关系为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【详解】
分析：由题意结合对数的性质，对数函数的单调性和指数的性质整理计算即可确定a,b,c的大小关系.
详解：由题意可知：，即，，即，
，即，综上可得：.本题选择D选项.
点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．
12．（2016·全国·高考真题（文））已知，则
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【详解】
因为，且幂函数在 上单调递增，所以b 故选A.
点睛：本题主要考查幂函数的单调性及比较大小问题，解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间 ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用；三是借助于中间变量比较大小.
13．（2016·全国·高考真题（文））若a＞b＞0，0＜c＜1，则
A．logac＜logbc B．logca＜logcb C．ac＜bc D．ca＞cb
【答案】B
【解析】
【详解】
试题分析：对于选项A，，，，而，所以，但不能确定的正负，所以它们的大小不能确定;对于选项B，,，两边同乘以一个负数改变不等号方向，所以选项B正确;对于选项C，利用在第一象限内是增函数即可得到，所以C错误;对于选项D，利用在上为减函数易得，所以D错误.所以本题选B.
【考点】指数函数与对数函数的性质
【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.
14．（2016·浙江·高考真题（理））已知a＞b＞1.若logab+logba=，ab=ba，则a=___，b=____.
【答案】         
【解析】
【详解】
试题分析：设，因为，
因此
指数运算，对数运算．
在解方程时，要注意，若没注意到，方程的根有两个，由于增根导致错误
15．（2015·北京·高考真题（文）），，三个数中最大数的是 ．
【答案】
【解析】
【详解】
，，，所以最大.