考向07 函数的单调性与最值（重点）-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题（新高考地区专用）（解析版）

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考向07 函数的单调性与最值

【2021·北京·高考真题】已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（       ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
利用两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系.
【详解】
若函数在上单调递增，则在上的最大值为，
若在上的最大值为，
比如，
但在为减函数，在为增函数，
故在上的最大值为推不出在上单调递增，
故“函数在上单调递增”是“在上的最大值为”的充分不必要条件，
故选：A.
【2020·山东·高考真题】已知函数的定义域是，若对于任意两个不相等的实数，，总有成立，则函数一定是（       ）
A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．减函数
【答案】C
【解析】
【分析】
利用函数单调性定义即可得到答案.
【详解】
对于任意两个不相等的实数，，总有成立，
等价于对于任意两个不相等的实数，总有.
所以函数一定是增函数.
故选：C

1.函数的单调性是对函数定义内的某个区间而言的。
2.函数在给定区间上的单调性是函数在该区间上的整体性质。
3.函数的单调定义中的、有三个特征：（1）任意性（2）有大小（3）属于同一个单调区间。
4.求函数的单调区间必须先求定义域。
5.判断函数单调性常用以下几种方法：
（1）定义法：一般步骤为设元作差变形判断符号→得出结论.
（2）图象法：如果是以图象形式给出的，或者的图象易作出，则可由图象的上升或下䧏确定单调性.
（3）导数法：先求导数，利用导数值的正负确定函数的单调区间.
（4）性质法：（1）对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各初等函数的增减性及增减性质进行判断；
6.求函数最值（值域）的常用方法
（1）单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.
（2）图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.
（3）基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.
（4）导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.

1.单调性技巧
（1）证明函数单调性的步骤
①取值：设，是定义域内一个区间上的任意两个量，且；
②变形：作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形；
③定号：判断差的正负或商与的大小关系；
④得出结论．
（2）函数单调性的判断方法
①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．
②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．
③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．
（3）记住几条常用的结论：
①若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数；
②若和均为增（或减）函数，则在和的公共定义域上为增（或减）函数；
③若且为增函数，则函数为增函数，为减函数；
④若且为减函数，则函数为减函数，为增函数．

1.函数的单调性
（1）单调函数的定义
一般地，设函数的定义域为，区间：
如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是增函数．
如果对于内的任意两个自变量的值，，当时，都有，那么就说在区间上是减函数．
①属于定义域内某个区间上；
②任意两个自变量，且；
③都有或；
④图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的．
（2）单调性与单调区间
①单调区间的定义：如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在区间上具有单调性，称为函数的单调区间．
②函数的单调性是函数在某个区间上的性质．
（3）复合函数的单调性
复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数.
2．函数的最值
前提
一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足
条件
（1）对于任意的，都有；
（2）存在，使得
（1）对于任意的，都有；
（2）存在，使得
结论
为最大值
为最小值


1．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））已知函数，则不等式的解集为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先判断出原函数的单调性，进而解出不等式即可.
【详解】
由题意，，易知函数在R上单调递减（减+减），而，所以.
故选：D.
2．（2022·吉林长春·模拟预测（理））对任意不相等的两个正实数，，满足的函数是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
结合函数运算、差比较法对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】
设，
A，对于函数，，
，不符合题意.
D，对于函数，
，
，不符合题意.
C选项，设，，
，
，不符合题意.
对于B选项，为正实数，
，
，
，
所以，
所以成立.故B选项正确.
故选：B
3．（2022·陕西·宝鸡中学模拟预测）下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由复合函数的单调性或单调性的定义判断单调性，再由奇偶性定义判断奇偶性，
【详解】
时，，而，即，时，取得最大值，因此在上不是增函数，A错；
，设，则，，
，所以，即，是增函数，
又记，定义域是实数集R，则，函数为奇函数，B正确；
，但，即在上不是增函数，C错；
设，则，，，
所以，即函数在上为减函数，D错．
故选：B．
4．（2022·浙江·高三专题练习）若不等式（且）对任意都成立，则的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据函数单调性先求出在的值域，进而数形结合得到不等关系，求出的取值范围.
【详解】
在上单调递增，且，，故在值域为，要想对任意都成立，则要满足，解得：；

故选：B
5．（2022·河北·石家庄二中高三开学考试）已知函数在区间的最大值是M，最小值是m，则的值等于(       )
A．0 B．10 C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
令，则，f(x)和g(x)在上单调性相同，g(x)时奇函数，可得g(x)在，据此可求M＋m，从而求出.
【详解】
令，则，
∴f(x)和g(x)在上单调性相同，
∴设g(x)在上有最大值，有最小值.
∵，
∴，
∴g(x)在上为奇函数，∴，
∴，∴，
.
故选：C.
6．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数，若时，则实数a的取值范围为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
将不等式转化为，然后再求最值即可.
【详解】
不等式可化为，有，有，当时，（当且仅当时取等号），，故有．
故选：C
7．（2022·全国·高三专题练习（文））函数，若满足恒成立，则实数的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【详解】
∵，且，
∴函数为单调递增的奇函数．
于是，可以变为，
即，∴，而，可知实数，
故实数的取值范围为．
故选：C.


1．（2022·江苏无锡·模拟预测）已知，则，，的大小为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据给定条件，构造函数，利用函数的单调性比较大小作答.
【详解】
令函数，当时，求导得：，
则函数在上单调递减，又，，，
显然，则有，所以.
故选：C
【点睛】
思路点睛：某些数或式大小比较问题，探讨给定数或式的内在联系，构造函数，分析并运用函数的单调性求解.
2．（2022·青海·模拟预测（理））若，则（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
对于A,B，构造函数，利用导数判断其单调性，根据，比较，可判断A,B；对于C,D, 设,利用导数判断其单调性，根据，比较，可判断C,D.
【详解】
对于A,B,令 ，则，
当时，单调递增，
且
故存在 ，使得，
则当时，递减，当时，递增，
由于，此时大小关系不确定，
故A,B均不正确；
对于C,D,设 ，则，
当时，，故单调递减，
所以当时， ，即 ，即，
故C错误，D正确，
故选：D
3．（2022·河南·开封市东信学校模拟预测（理））已知函数，则a，b，c的大小关系为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先判断出为偶函数，再求导确定单调性，借助指数、对数运算比较的大小，再由单调性即可求解.
【详解】
显然，定义域为R，由可知函数为偶函数，又当时，，有，
可知函数的减区间为，增区间为，又由，
，由，可得．
故选：D.
4．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））已知定义在R上的函数满足，对于，，当时，都有，则不等式的解集为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由题设知在R上递增，将不等式转化为，利用单调性求解集即可.
【详解】
由题设时，即在R上递增，
又，而等价于，
所以，即，可得.
故不等式解集为.
故选：B
5．（2022·江西萍乡·三模（理））设，，，则（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
令，，求导研究函数的单调性，从而得到，利用不等式的性质比较得出，从而求得答案.
【详解】
令，
，
，可以判断在上单调递增，


所以，
，
所以，
又因为，，
所以，即，所以，
故选：D.
6．（2022·湖北·黄冈中学三模）若函数为偶函数，对任意的，且，都有，则（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意可得函数在上递减，且关于对称，则，利用作差法比较三者之间的大小关系，再根据函数的单调性即可得解.
【详解】
解：由对，且，都有，
所以函数在上递减，
又函数为偶函数，
所以函数关于对称，
所以，
又，
因为，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以，
即.
故选：A.
7．（2022·河南·模拟预测（文））设偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由函数为偶函数化简不等式，再由函数的单调性列出不等式组求解即可.
【详解】
因为是偶函数，所以等价于．
又在上单调递增，所以在上单调递减．
由，得或
又，解得或．
故选：D
8．（2022·安徽·合肥一中模拟预测（理））设函数（），若，则x的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
确定函数为奇函数，证明函数为增函数，构造函数，确定其单调性，而不等式化为，利用单调性解不等式．注意函数的定义域．
【详解】
函数，，定义域关于原点对称，
且，所以是奇函数，
当时，，
，则，，
所以，即，所以函数单调递增，
所以当时，函数单调递增，所以函数当单调递增
所以令，，解得，
令，
则在上单调递增，
原不等式可化为，而，
所以，解得，则，即解集为．
故选：A．
9．（2022·河北·石家庄二中模拟预测）设，函数，若的最小值为，则实数的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
当时，结合不等式求得其最小值为，当时，，根据函数的最小值为，列出不等式组，即可求解.
【详解】
当时，，
当且仅当时，等号成立；
即当时，函数的最小值为，
当时，，
要使得函数的最小值为，则满足，解得，
即实数的取值范围是.
故选：A.
10．（2022·浙江·温州中学模拟预测）已知，则的最大值为（       ）
A．3 B． C．4 D．
【答案】C
【解析】
【分析】
分和去绝对值后，分别求出最大值，即可求解.
【详解】
当时，，又，显然当或2，时，该式取得最大值；
当时，，又，显然当，时，该式取得最大值；
综上：的最大值为4.
故选：C.
11．（2022·河南·开封高中模拟预测（文））若关于x的不等式有实数解，则实数a的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
参变分离得到，根据指数函数的性质求出的取值范围，即可得解；
【详解】
解：由题知，而，所以，
又，所以．
因为关于的不等式有实数解，
即有实数解，所以，即．
故选：A
12．（2022·陕西·榆林市教育科学研究所模拟预测（理））已知函数，若对任意，，恒成立，则m的最大值为（       ）
A．－1 B．0 C．1 D．e
【答案】C
【解析】
【分析】
对任意，恒成立等价于对任意，恒成立；可换元，设，令，则，即在恒成立，求导由单调性即可求出最值.
【详解】
由题知对任意，恒成立，
等价于，即，即对任意，恒成立，
不妨设，令，则，
则原式等价于，即在恒成立，
设，，则，
所以在上为增函数，所以，
所以，即m的最大值为，当且仅当，即时取得最大值，
故选：C.
13．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数，则的最大值为______．
【答案】
【解析】
【分析】
利用分段函数的单调性可得结果.
【详解】
解：时，单调递增，；
时，单调递减，.
所以的最大值为．
故答案为：．
14．（2022·全国·高三专题练习）如果 ，则的取值范围是___________．
【答案】．
【解析】
【分析】
先根据不等式的形式构造新函数，利用导数研究函数的单调性，再利用单调性解不等式即可
【详解】
解：由已知得
令 ，则 对任意恒成立，于是在上单调减．
即
由在上单调递减得 ，解得
所以的取值范围是．
故答案为：
15．（2022·上海民办南模中学高三阶段练习）函数的单调减区间是______．
【答案】，
【解析】
【分析】
根据绝对值的定义去绝对值，写成分段函数形式，再根据函数单调性求得单调递减区间．
【详解】
去绝对值，得函数
当 时，函数 的单调递减区间为
当 时，函数的单调递减区间为
综上，函数   的单调递减区间为，
故答案为：，
16．（2022·北京密云·高三期末）设函数满足条件，，，且在区间上，其中集中．给出下列四个结论：
①；
②函数的值域为；
③函数在上单调递增；
④函数在上单调递减．
其中所有正确结论的序号是________．
【答案】①③
【解析】
【分析】
根据题意和周期函数的定义求出即可判断①；
举例说明即可判断②；
求出函数在上的解析式即可判断③；
作出函数的大致图象，利用数形结合的思想即可判断④.
【详解】
由题意知，函数是定义域为R上的偶函数，且周期为2，
①：，又，所以，故①正确；
②：当时，，又函数的定义域不含，
所以原分段函数的值域不含，故②错误；
③：由，得，且，
所以函数在上的解析式为，单调递增，故③正确；
④：因为函数为R上的偶函数，所以在上的图象与在上
的图象关于y轴对称，而集合M为断续的数集，则在上的图象大致如图，

由图可知在上不单调，故④错误.
故答案为：①③
17．（2022·湖北·房县第一中学模拟预测）已知函数在上的最小值为1，则的值为________.
【答案】1
【解析】
【分析】
分，讨论，利用函数的单调性求最值即得.
【详解】
由题意得，
当时，在上单调递减，
∴的最小值为，，
所以不成立；
当时，，在单调递减，在上单调递增，
∴的最小值为，符合题意.
故.
故答案为：1.
18．（2022·全国·高三专题练习）函数的最小值为______．
【答案】1
【解析】
【分析】
分类讨论，去掉绝对值，利用导函数研究函数单调性和极值，进而求出最小值.
【详解】
当时，，此时，，令得：，令得：，故此时在处取得最小值，；
当时，，此时，此时在单调递减，且；
综上：函数的最小值为1.
故答案为：1



1．（2021·北京·高考真题）已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（       ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
利用两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系.
【详解】
若函数在上单调递增，则在上的最大值为，
若在上的最大值为，
比如，
但在为减函数，在为增函数，
故在上的最大值为推不出在上单调递增，
故“函数在上单调递增”是“在上的最大值为”的充分不必要条件，
故选：A.
2．（2021·全国·高考真题（文））下列函数中是增函数的为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项.
【详解】
对于A，为上的减函数，不合题意，舍.
对于B，为上的减函数，不合题意，舍.
对于C，在为减函数，不合题意，舍.
对于D，为上的增函数，符合题意，
故选：D.
3．（2020·山东·高考真题）已知函数的定义域是，若对于任意两个不相等的实数，，总有成立，则函数一定是（       ）
A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．减函数
【答案】C
【解析】
【分析】
利用函数单调性定义即可得到答案.
【详解】
对于任意两个不相等的实数，，总有成立，
等价于对于任意两个不相等的实数，总有.
所以函数一定是增函数.
故选：C
4．（2020·北京·高考真题）已知函数，则不等式的解集是（       ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
作出函数和的图象，观察图象可得结果.
【详解】
因为，所以等价于，
在同一直角坐标系中作出和的图象如图：

两函数图象的交点坐标为，
不等式的解为或.
所以不等式的解集为：.
故选：D.
【点睛】
本题考查了图象法解不等式，属于基础题.
5．（2020·全国·高考真题（文））设函数,则（       ）
A．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减
C．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增 D．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减
【答案】A
【解析】
【分析】
根据函数的解析式可知函数的定义域为，利用定义可得出函数为奇函数，
再根据函数的单调性法则，即可解出．
【详解】
因为函数定义域为，其关于原点对称，而，
所以函数为奇函数．
又因为函数在上单调递增，在上单调递增，
而在上单调递减，在上单调递减，
所以函数在上单调递增，在上单调递增．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查利用函数的解析式研究函数的性质，属于基础题．
6．（2020·全国·高考真题（理））设函数，则f(x)（       ）
A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减
C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减
【答案】D
【解析】
【分析】
根据奇偶性的定义可判断出为奇函数，排除AC；当时，利用函数单调性的性质可判断出单调递增，排除B；当时，利用复合函数单调性可判断出单调递减，从而得到结果.
【详解】
由得定义域为，关于坐标原点对称，
又，
为定义域上的奇函数，可排除AC；
当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，排除B；
当时，，
在上单调递减，在定义域内单调递增，
根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确.
故选：D.
【点睛】
本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据与的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论.
7．（2019·北京·高考真题（文））下列函数中，在区间（0，+）上单调递增的是
A． B．y= C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意结合函数的解析式考查函数的单调性即可.
【详解】
函数，
在区间 上单调递减，
函数 在区间上单调递增，故选A.
【点睛】
本题考查简单的指数函数、对数函数、幂函数的单调性，注重对重要知识、基础知识的考查，蕴含数形结合思想，属于容易题.
8．（2021·全国·高考真题）写出一个同时具有下列性质①②③的函数_______．
①；②当时，；③是奇函数．
【答案】（答案不唯一，均满足）
【解析】
【分析】
根据幂函数的性质可得所求的.
【详解】
取，则，满足①，
，时有，满足②，
的定义域为，
又，故是奇函数，满足③.
故答案为：（答案不唯一，均满足）
9．（2020·北京·高考真题）为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W与时间t的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.


给出下列四个结论：
①在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
②在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
③在时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；
④甲企业在这三段时间中，在的污水治理能力最强．
其中所有正确结论的序号是____________________．
【答案】①②③
【解析】
【分析】
根据定义逐一判断，即可得到结果
【详解】
表示区间端点连线斜率的负数，
在这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；①正确；
甲企业在这三段时间中，甲企业在这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在的污水治理能力最强．④错误；
在时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②正确；
在时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；③正确；
故答案为：①②③
【点睛】
本题考查斜率应用、切线斜率应用、函数图象应用，考查基本分析识别能力，属中档题.
10．（2019·浙江·高考真题）已知，函数，若存在，使得，则实数的最大值是____.
【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查含参绝对值不等式、函数方程思想及数形结合思想，属于能力型考题.从研究入手，令，从而使问题加以转化，通过绘制函数图象，观察得解.
【详解】
使得，
使得令，则原不等式转化为存在，
由折线函数，如图

只需，即，即的最大值是
【点睛】
对于函数不等式问题，需充分利用转化与化归思想、数形结合思想.