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    人教版八年级下册18.2.3 正方形同步训练题

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    这是一份人教版八年级下册18.2.3 正方形同步训练题,共9页。

    正方形(提高)

     

    【学习目标】

    1.理解正方形的概念,了解平行四边形、矩形及菱形与正方形的概念之间的从属关系;

    2.掌握正方形的性质及判定方法.

    【要点梳理】

    要点一、正方形的定义

    四条边都相等,四个角都是直角的四边形叫做正方形.

    要点诠释:既是矩形又是菱形的四边形是正方形,它是特殊的菱形,又是特殊的矩形,更为特殊的平行四边形,正方形是有一组邻边相等的矩形,还是有一个角是直角的菱形.

    要点二、正方形的性质

    正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.

    1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行;

    2.角——四个角都是直角;

    3.对角线——①相等,互相垂直平分,每条对角线平分一组对角;

    4.是轴对称图形,有4条对称轴;又是中心对称图形,两条对角线的交点是对称中心.

    要点诠释:正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质,其对角线将正方形分为四个等腰直角三角形.

    要点三、正方形的判定

        正方形的判定除定义外,判定思路有两条:或先证四边形是菱形,再证明它有一个角是直角或对角线相等(即矩形);或先证四边形是矩形,再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直(即菱形).

    要点四、特殊平行四边形之间的关系

    或者可表示为:

    要点五、顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状

    (1)顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.

    (2)顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形.

    (3)顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形.

    (4)顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.

    要点诠释:新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成.

    (1)若原四边形的对角线互相垂直,则新四边形是矩形.

    (2)若原四边形的对角线相等,则新四边形是菱形.

    (3)若原四边形的对角线垂直且相等,则新四边形是正方形.

    【典型例题】

    类型一、正方形的性质 

    1、如图,在正方形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,E、F分别在OD、OC上,且DE=CF,连接DF、AE,AE的延长线交DF于点M.

    求证:AM⊥DF.

    【思路点拨】根据DE=CF,可得出OE=OF,继而证明△AOE≌△DOF,得出∠OAE=∠ODF,然后利用等角代换可得出∠DME=90°,即得出了结论.

    【答案与解析】

    证明:∵ABCD是正方形,

    ∴OD=OC,

    又∵DE=CF,

    ∴OD-DE=OC-CF,即OE=OF,

    在Rt△AOE和Rt△DOF中,

    ∴△AOE≌△DOF,

    ∴∠OAE=∠ODF,

    ∵∠OAE+∠AEO=90°,∠AEO=∠DEM,

    ∴∠ODF+∠DEM=90°,

    即可得AM⊥DF.

    总结升华此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质,解答本题的关键是通过全等的证明得出∠OAE=∠ODF,利用等角代换解题.

    举一反三:

    【变式1】如图四边形ABCD是正方形,点E、K分别在BC,AB上,点G在BA的延长线上,且CE=BK=AG.以线段DE、DG为边作DEFG.

        (1)求证:DE=DG,且DEDG.

    (2)连接KF,猜想四边形CEFK是怎样的特殊四边形,并证明你的猜想.

    【答案】

    证明:(1)  四边形ABCD是正方形,

               DC=DA,DCE=DAG=90°

               CE=AG,

      DCE≌△DAG,

               EDC=GDA,DE=DG.

      ADE+EDC=90°

      ADE+GDA=90°

               DEDG.

          (2)四边形CEFK为平行四边形.

    证明:设CK,DE相交于M点,

      四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形,

            ABCD,AB=CD,EF=DG,EFDG;

            BK=AG,  KG=AB=CD.

            四边形CKGD为平行四边形.

            CK=DG=EF,CKDGEF

           四边形CEFK为平行四边形.

    【变式2】如图,三个边长均为2的正方形重叠在一起,O1、O2是其中两个正方形的中心,则阴影部分的面积是_______

      

    【答案】2;

    提示:阴影部分面积等于正方形面积的一半.

     

    类型二、正方形的判定 

    2、2020闸北区模拟)如图,在RtABC中,BAC=90°AD=CD,点E是边AC的中点,连接DEDE的延长线与边BC相交于点FAGBC,交DE于点G,连接AFCG

    1)求证:AF=BF

    2)如果AB=AC,求证:四边形AFCG是正方形.

    【思路点拨】1)根据线段垂直平分线的性质,可得AF=CF,再根据等角的余角相等可得B=BAF,所以AF=BF

    2)由AAS可证AEG≌△CEF,所以AG=CF.由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得四边形AFCG是平行四边形,进而证得四边形AFCG是菱形,最后根据有一个角为直角的菱形是正方形得证四边形AFCG是正方形.

    【答案与解析

    证明:(1AD=CD,点E是边AC的中点,

    DEAC

    即得DE是线段AC的垂直平分线.

    AF=CF

    ∴∠FAC=ACB

    RtABC中,由BAC=90°

    B+ACB=90°FAC+BAF=90°

    ∴∠B=BAF

    AF=BF

    2AGCF∴∠AGE=CFE

    E是边AC的中点,AE=CE

    AEGCEF中,

    ∴△AEG≌△CEFAAS).

    AG=CF

    AGCF四边形AFCG是平行四边形.

    AF=CF四边形AFCG是菱形.

    RtABC中,由AF=CFAF=BF,得BF=CF

    即得点F是边BC的中点.

    AB=ACAFBC.即得AFC=90°

    四边形AFCG是正方形.

    总结升华本题考查的是正方形的判定方法,考查了线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质等基础知识的灵活运用,判别一个四边形是正方形主要是根据正方形的定义及其性质.

    举一反三:

    【变式】2020上城区期末)如图,矩形ABCD中,AD=6DC=8,菱形EFGH的三个顶点EGH分别在矩形ABCD的边ABCDDA上,AH=2,连结CF

    1)若DG=2,求证:四边形EFGH为正方形;

    2)若DG=6,求FCG的面积.

    【答案】

    1)证明:四边形EFGH为菱形,

    HG=EH

    AH=2DG=2

    DG=AH

    RtDHGAEH中,

    RtDHG≌△AEH

    ∴∠DHG=AEH

    ∵∠AEH+AHG=90°

    ∴∠DHG+AHG=90°

    ∴∠GHE=90°

    四边形EFGH为菱形,

    四边形EFGH为正方形;

    2)解:作FQCDQ,连结GE,如图,

    四边形ABCD为矩形,

    ABCD

    ∴∠AEG=QGE,即AEH+HEG=QGF+FGE

    四边形EFGH为菱形,

    HE=GFHEGF

    ∴∠HEG=FGE

    ∴∠AEH=QGF

    AEHQGF

    ∴△AEH≌△QGF

    AH=QF=2

    DG=6CD=8

    CG=2

    ∴△FCG的面积=CGFQ=×2×2=2

    类型三、正方形综合应用

    3、E、F分别是正方形ABCD的边AD和CD上的点,若EBF=45°

    (1)求证:AE+CF=EF.

    (2)若E点、F点分别是边DA、CD的延长线上的点,结论(1)仍成立吗?若成立,请证明,若不成立,写出正确结论并加以证明.

    【答案与解析

    证明:(1)延长DC,使CH=AE,连接BH,

            四边形ABCD是正方形,

      A=BCH=90°,又AB=BC,CH=AE,

      RtBAERtBCH,

      1=2,BE=BH.

      1+3+4=90°4=45°

      1+3=45°2+3=45°

    EBF和HBF中,

      EBF≌△HBF,

      EF=FH=FC+CH=AE+CF.即AE+CF=EF.

     (2)如图所示:不成立,正确结论:EF=CF-AE.

    证明:在CF上截取CH=AE,连接BH.

      四边形ABCD是正方形,

      在RtEAB和RtHCB中,

      RtEABRtHCB,

      BE=BH,EBA=HBC.

      HBC +ABH=90°  EBA +ABH=90°

      EBF=45°  HBF=45°

    EBF=HBF.

    EBF和HBF中

      EBF≌△HBF,

      EF=FH=CF-CH=CF-AE,即EF=CF-AE.

    总结升华本题主要考察正方形的性质,全等三角形的性质和判定,关键在于用截长补短的方法正确地作出辅助线.

    4、正方形ABCD的对角线交点为O,如图所示,AE平分BAC交BC于E,交OB于F,求证:EC=2FO.

    【思路点拨】在平面几何中,要证明一条线段等于另一条线段的2倍或,通常采用折半法或加倍法.而折半法又可分直接折半法和间接折半法;加倍又可分直接加倍法和间接加倍法.这就需要学生仔细研究,找到解决问题的合适方法.

    【答案与解析

     证法一:(间接折半法)如图所示.

          3=1+4,5=2+6.

        1=2,4=6=45°

          3=5,BE=BF.

        取AE的中点G,连接OG,

          AO=OC,  OGEC.

        7=5,8=3,

          7=8,  FO=GO.

          EC=2OG=2FO.

        证法二:(直接折半法)如图所示.

        由证法一得BE=BF.

        取EC的中点H,连接OH.

          AO=OC,  OHAE.

          BOH=BFE=BEF=BHO.

          BO=BH,  FO=EH.

          EC=2EH=2FO.

        证法三:(直接加倍法)如图所示.

        由证法一得BE=BF.

    在OD上截取OM=OF,连接MC.

    易证RtAOFRtCOM.

      OAF=OCM,

      AEMC.

        BMC=BFE=BEF=BCM,

          FM=EC.

          EC=FM=2FO.

    总结升华若题目中涉及线段的倍半关系和中点问题时,要联想中位线定理,利用中点构造中位线,要注意从不同的角度进行思构,构造不同的辅助线来解决问题.

    举一反三:

    【变式】在正方形ABCD的边AB上任取一点E,作EFAB交BD于点F,取FD的中点G,连接EG、CG,如图,易证EG=CG,且EGCG.

        (1)将BEF绕点B逆时针旋转90°,如图,则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系?请直接写出你的猜想.

    (2)将BEF绕点B逆时针旋转180°,如图,则线段EG和CG又有怎样的数量关系和位置关系?请写出你的猜想,并加以证明.

    【答案】

    解:(1)EG=CG,且EGCG.

    (2)EG=CG,且EGCG.

     证明:延长FE交DC延长线于M,连MG,如图

          AEM=90°EBC=90°BCM=90°

          四边形BEMC是矩形.

          BE=CM,EMC=90°

          BE=EF,  EF=CM.

          EMC=90°,FG=DG,

          MG=FD=FG.

          BC=EM,BC=CD,  EM=CD.

          EF=CM,  FM=DM,  F=45°

        又FG=DG,CMG=EMD=45°

          F=GMC,  GFE≌△GMC,

      EG=CG,FGE=MGC,

      MGDF,

      FGE+EGM=90°

      MGC+EGM=90°EGC=90°

      EGCG.

     

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